数值分析题库

121231CD1.5230012n11入AB入n1A必收敛B必发散C散A解函数B近似解函数C解函数值D近似解函数值A追赶法BLU分解法C雅可比迭代法D高斯—塞德尔迭代法(x+x=4(|〈l|l「_101]「]|123|123〈x+x+x=1，考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。|l21+x2x3=14．试确定常数A，B，C及a，使求积公式j1f(x)dx=Af(-a)+Bf(0)+Cf(a)-1为高斯求积公式。1．设有迭代公式x=k+12x-3，试证明该公式在邻近是2阶收敛的，并求klimK)w(x-4)2。k=x。21A充分条件B必要条件C充分必要条件A雅可比迭代B高斯-塞德尔迭代C平方根法D追赶法A1阶B2阶C3阶D无法确定「-21-1](2x-x=1(|l|l「](2x-x+x=0j1f(x)dx=Af(-a)+Bf(0)+Cf(a)-1有尽可能高的代数精度，并问该公式是否为高斯求积公式。T射阵H，使H=(1,0四．证明题(共20分)kk)w(x-2)2k求limxk)w(x-2)2k1f(x)-L(x)三1(x-x)2maxf''(x)101ABAB1212122 )。kwxxk)w(x一x*)3kwxxk)w(x一x*)3kk)次代数精度。A.4B.5C.8D.94、三次样条插值与二阶常微分方程的边值问题中，都会用到求解线性方程组的()。A.LU分解法B.追赶法C.高斯消去法D.平方根法2222入1012是是(x-x=16>=12根10-4。试估计由此引起的解的相对误差->w。wxwAfAf012-1|123(x+2x|123222222 (提示：||A||=p(ATA))2n+1n2nn-1n+1n2nn-1CD.-7.0003CADA占优阵A对xm准确成立，而对xm+1不准确成立mDm的多项式准确成立，而对xm+1不准确成立_1三、计算题(每小题10分，共50分)。「031]_1「1aa]5、称函数5、称函数e(x)为[a,b]上的三次样条函数，是指e(x)满足条件()。A角占优阵B.正交阵C.非奇异阵D.对称正定阵A.0B.p!4、设Ln(x)和Nn(x)是相同的插值条件下关于f(x)的拉格朗日插值和牛顿插值，则下述式子中其中w(x)=nn(x一x))jj=0A.f(n+1)(飞)=f[x,x,...,x]w(x)(n+1)!01nC.f(x)一Ln(x)士f[x,x,x,...,x]w(x)01nD.f(x)一Ln(x)=f[x,x,x,...,x]w(x)01nA为分段三次多项式且有二阶连续导数D.为分段三次埃尔米特插值多项式3、设有求积公式Af3、设有求积公式Af(一)+Af()是插值型求积公式，则0313014、设f(x)=x，若其在[0，1]上与g(x)=ax2+b带权p(x)=x正交，则a与byykk->的(x-22)2k＝。1、已知数据表如下xxy'34dx得最小值。dx得最小值。试确定用牛顿法求解f(x)=0时的收敛性及收敛阶数。取值范围。「064]5、设A=|，求其QR分解。四、证明题(每小题10分，共20分)1、设f(x)=xnaxk有n个不同的实根x,x,...,x，证明k12n2、设A是对称矩阵，入,x(||x||=1)是A的一个特征值及其相应的特征向量。又设P是一个正21时，有()ee3Ak+1)cBk+ee3kkeeCek+1)3De+1)eekk7．已知入是A的特征值，p是给定参数，则B=A-pE的特征值是()Bp算法是求()的算法。A微分方法B插值函数C数值积分D线性方程组Ap(B)<1Bp(B)>110．反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的()A高斯—塞德尔迭代法BLU分解法C雅可比迭代法D追赶法「](2x+x+4x=-13、3、试确定常数A，B，C及a，使求积公式j2f(x)dx=Af(-a)+Bf(0)+Cf(a)-2有尽可能高的代数精度，并问该公式是否为高斯求积公式。kkkjkkkk01CD1.52300时，有()Ak+Ak+1)cBk+1)cee3kkeeCek+1)3De+1)eekkA雅可比迭代B高斯-塞德尔迭代C平方根法D追赶法A追赶法BLU分解法C雅可比迭代法D高斯—塞德尔迭代法|23|23(||l「-101]|L]|(x+2x-2x=1a有尽可能高的代数精度，指出其代数精度。七、证明题(共20)1．设x*是f(x)=0的一个单根，在x*邻近f''(x)存在且连续。试证明牛顿法在x*邻近具有nnnnnn-12．证明解y,=f(x,y)的差分方程y=1(y+y)nnnnnn-1n-1n-1n-1n-1n+1n+1方法(假设y=y(x),y,n-1n-1n-1n-1n+1n+1模拟八一、单项选择题(每小题2分，共10分)1ACBDBA必收敛B必发散CA解函数B近似解函数C解函数值D近似解函数值A追赶法BLU分解法C雅可比迭代法D平方根法ApBBp(B)>1|23|23(||l「-101]「]l--xx<0l--xx<0j1f(x)dx=Af(x)+Bf(x)试求出A，B，及x,x。2十、证明题(共20)(9x-3x+2x=20|1||jj=01ABAp(B)<1Bp(B)>1六阶牛顿-柯特斯公式至少具有()次代数精度。A7B6CD13A解函数B近似解函数CD函数值5、若尤拉公式的局部截断误差是o(h2)，则该公式是()方法(2x一x=1(a「]22343、设f(x)=x4_3x3_1,在[0，1]上求其三次最佳均方逼近多项式。yy(8x_3x+2x=201．证明求解线性方程组〈|l11．证明求解线性方程组〈|l12的雅可比迭代对任意初值均收敛。2．写出辛卜生公式，并验证其具有三次代数精度。模拟十一、单项选择题(每小题2分，共10分)112n111ABnn11A必收敛B必发散C可能收敛也可能发散至少具有()次代数精度。A7B6C12D135、三次样条插值法中遇到的线性方程组应该用()求解。A雅可比迭代B高斯-塞德尔迭代C平方根法D追赶法(x+x=12(||||lxkkk4、若s(x)是[a,b]上的分段三次多项式，且，则称s(x)是[a,b]上的三次样条函「](na-x)/(na-xxfx4。求f(x)的二次插值多项式。4、试确定常数A，B，C及a，使求积公式j1f(x)dx=Af(-a)+Bf(0)+Cf(a)-1有尽可能高的代数精度，并问该公式是否为高斯求积公式。十六、证明题(共20)22、设x=(x,x,...,x)T，验证x=xnx满足向量范数的定义。12n1ii1(10x_x_3x=7.2、矩阵范数A(v=1,2,w)与谱半径p(A)所满足的关系是：()。vvvvv3、求解线性方程组的追赶法是用来求解下列哪种类型的方程组?()A矩阵为对称阵B．系数矩阵为正交阵CD．系数矩阵为三对角阵n+1kn_kkn_kn+1kn_kkn_k00n00AApA。3、设x,x,x,...,x是n+1个互异的插值节点，l(x)(k=0,1,2,...,n)是拉格朗日插值基函数，012nk则xnl(x)=。kk=0|123(3x_x+|123为。为「1_23]5、设矩阵A=|，则矩阵A的行范数是。01n1n「a13]范围。(y'=x+y0<x<14、取h=0.2公式,并求y(0.4)的近似值。5、利用龙贝格求积公式计算积分j21dx的近似值，要求误差小于10-6。1xkkk(j=0,1,2,…,n)。2、设有数值积分公式xnAf(x)，若其至少有n次代数精度，试证该公式是插值型求积公式。kk1、设非奇异矩阵(可逆阵)A，若用反幂法求得的按模最小特征值为入n，则用幂法求得的A-1的按模最大的特征值为()。(其中入1为矩阵A的按模最大的特征值)11()A．x-p(x)B．1p(x)C．p-1(x)(反函数)D．[x-p(x)]-13、若某个数值积分公式对m次多项式准确成立，则可判定该积分公式的代数精度为()。 a62、常微分方程求解中，改进尤拉公式的增量函数是。04、设有求积公式j1f(x)dx=f(-1)+f(1)成立，验证该公式是否为高斯公式。-1335、设B=，f=。考察迭代格式x(k+1)=Bx(k)+f的收敛性。1、设l(x)是以n+1个互异点x,x,...x为节点的拉格朗日插值基函数001nl(x)=(x-x1)(x-x2)...(x-xn)0(x-x)(x-x)...(x-x)020nl(x)=1+(x-x0)+(x-x0)(x-x1)++(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)0(x-x)(x-x)(x-x)...(x-x)(x-x)...(x-x)0201020n2、证明求解常微分方程数值方法中改进尤拉方法是收敛的。模拟十三共10分)格式x(k+1)=Bx(k)+f收敛的()条件。A．充分B．必要C．充分且必要D．都不是b3、x*=0.06800是按“四舍五入”原则得到的近似数，则它有()位有效数字。A．20ly(x0kk5、用二分法求方程f(x)=0在区间[a,b]内的根x，已知误差限e，确定二分的次数n是使n ()成立。nn二、填空题(每小题4分，共20分)1、方程x=f(x)的牛顿迭代公式是。2、如果用复化梯形公式计算定积分j1e-xdx，要求截断误差的绝对值不超过0.5×10－4，试问03、设方程组Ax=b3、设方程组Ax=b有唯一解。如果扰动||6A||=0，||b||丰0，则解的相对误差有估计式共4、求积公式j1f(x)dx如3f(1)+1f(1)的代数精度为。0434n+1nnnn+1nnn10分，共50分)「24-4]「x]「2]223、求f(x)=2ex在[-1，1]上表示为用勒让德多项式作线性组合的二次最佳均方逼近函数(即二次勒让德展开式)。4、构造连续可导函数f(x)在[-1，1]区间上的两点高斯-勒让德求积公式。「120](每小题10分，共20分)02、机械求积公式xnAf(x)至少具有n次代数精度的充分条件是该公式是插值型求积公式。kkk模拟十四1、对于迭代过程xk+1=Q(xk)，如果迭代函数Q(x)在所求的根x*的附近有连续的二阶导数，且2、插值型求积公式I=xnAf(x)能达到的最高代数精度是()次。nkk3、牛顿插值多项式的余项的表述形式是()。012n12n－1n012n012n－1n4、设某数x',对其进行四舍五入的近似值是(),则它有3位有效数字，绝对误差限是12。5、n次勒让德多项式p(x)在[-1，1]内有()不同的实零点。nA．2nB.nC.n-1D.n+11、给定一组实验数据(x,y),(k=1,2,3,...)，求拟合的直线方程y=a+ax的系数a,a是使kk0101小。fxxxf=。3、设x>0，x的近似值x*的相对误差是6，则lnx*的相对误差限是。「108]A的行范数为。nnn+1x2n(前者或后者)收敛较快。10分，共50分)1、用欧拉法解初值问题〈,取步长h=0.2。(要求迭代进行三次)ly(0)=1它的绝对误差和相对误差。lim(na_xk+1)的值。k_>w(na_x)2k「1aa]ki=1提示：利用拉格朗日插值及其余项证明，或者差商的函数值表达形式及差商与导数间的关系论证。模拟十五j1f(x)dx~5f(-3)+8f(0)+5f(3)的代数精度是()。-1959952、若某常微分方程数值计算公式的局部截断误差是O(h4)，则该公式是()方法3、设f(x)=axn+1(a丰0)，则n阶均差f[a,a,...,a]的值是()。nn01nnn形求积公式和辛卜生求积公式都是插值型求积公式”()。1、已知函数y=f(x),过点(2,5),(5,9),那么f(x)的拉格朗日插值多项式的基函数为。2、改进尤拉预测－校正公式是|k+1ky|k+1k次可达到精度要求。5、如果f(x)=xnaxi是一个n次多项式，则f[x,x,...,x]=。(k>n)i01ki=0xxxA1、已知数据如下表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。xxyk4684xxkkyk12_1试确定其求积节点x,x，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度的次数。24、用下面的例子说明按行(或按列)为严格对角占优；则雅可比迭代法和赛德尔迭代法都是收敛的。2]12]1|0计解的相对误差。「1]L2」1、设f(x)的次数不超过n的多项式，过插值点(x,y)(k=0,1,2,...,n)做f(x)的n次插值多kk项式L(x)。试证f(x)=L(x)nn2、证明：高斯求积公式f(x)dx则xnwf(x)iiai=0中的求积系数w可表示为iwlxdxlxn格朗日插值基函数。)iiiaxxy=f(x)0-2122所确定的插值多项式的次数是()。()。A．都收敛B．都发散CD．前者发散，后者收敛n+1n一12nnn+1n+14、求解常微分方程初值问题的数值公式：y=y+h[f(xn+1n一12nnn+1n+1()。AB．多步二阶C．单步一阶D．多步一阶5、使两点的数值求积公式：f(x)dx必f(x)+f(x)具有最高的代数精确度，则其求积节01点x,x应分别为()。013333D33331、若A是n非奇异阶阵，则必存在单位下三角阵L和单位上三角阵U，使得A=LU分解成立。()iiai=1「2aa0]Aa0，方程组Ax=b中矩阵A的条件数。 (用||.||w形式表示)。于权函数p(x)=1的最佳平方逼近多项式。3、写出解线性代数方程组00(4x-2x=44、推导常微分方程的初值问题 n+1n-13n+1nn-1n+1n-13n+1nn-15、用“追赶法”求线性方程组|L1218|=1|||=44所得到的数值计算公式结果比准确值大。11、ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是()。于0.05，那么需要二分()次即可满足要求。y=xray+hxrby'n+1kn-kkn-k-1-100133128A．B．1C．D285、插值型求积公式I=xnAf(x)需要达到()次代数精度才是高斯公式。nkk3、解常微分方程初值问题的显尤拉方法的局部截断误差为。4、A=(a)是n阶方阵，那么矩阵A的行范数的表达式是，列范数表达式是。1、已知函数y=f(x)的观察数据为xxkyk4505试构造f(x)的拉格朗日多项式P(x)，并计算f(-1)。n2、设f(x)=(x-x)(x-x)...(x-x)，节点{x}n互异，求差商(均差)f[x,x,...,x]01nii3、数值积分公式f(x)dx~3[f(1)+f(2)]是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多204、设线性方程组为(7x+10x=112(1)求系数矩阵A的条件数Cond(A)；的5、讨论线性方程组|121|x=|1|的高斯－赛德尔迭代法的收敛性。]012证明：Q(x),Q(x),Q(x)是H(次数不超过n的全体多项式构成集合)中的一组基函数，0122并且H中的任一多项式都可由这组基函数线性表出，且表示法唯一。2212j01nfxxj01n (y,=f(x,y)ly(x)=ly(x)=y004、下面关于收敛性的叙述，哪一个不正确()A．迭代格式x=Bx+f收敛的充分必要条件是B得谱半径p(B)C．若方程组AX=b的系数矩阵是对角占优的矩阵，则方程组有唯一解且雅可比迭代和高斯赛DxBxf收敛的充分条件是迭代矩阵B的某种算子范数||B||5、()是将幂法应用于A-1，通过求A-1得主特征值得到A的按模最小的特征值及其特征向3、已知节点-1,0,1,2，及其对应的函数值1,0,1,16，则过这些节点的三次插值多项式L(x)3为 。为4、求积公式f(x)dx~3f(1)+1f(1)的代数精度为。43402|2|LU(可以或不可以)进行11、已知函数y=f(x)的数据如表中第1，2列。计算它的各阶均差并填表。x4f(xk)kxf(x)dx~Af(x)+Bf(x)的节点及系数。0103、已知函数值列表x-2-101y0121二次多项式y=c+cx+cx2拟合这组数据。012问题迭代两步并与精确解比较。1A=A2112112说明，用雅可比迭代法解此方程组发散，而高-塞斯德尔迭代法收敛。2a0一、单项选择题(每小题2分，共10分)jexdx要求截断误差的绝对值不超过0.5×10－4，试问n之()0A1B2C4D3(y,=f(x,y)ly(x)=yly(x)=y00AO(h2)BO(h3)CO(h4)DO(h5)A1B4！C0