力学大会2015集一种基于分段多项式映射的对称型三阶格式

1*，+，2*，+，信3*，+*（中国空气动力研究与空气动力学国家，绵阳+（中国空气动力研究与计算空气动力，绵阳本文采用映射函数的思想，将一种五阶分段多项式映射函数（PiecewisePolynomialMap数作对比（SYMNND-M）NND、WNND更高的分辨能力，SYMNND-PPM5的分辨率要略高于 比于传统的二阶精度格式（TVD格式），高阶精度格式具有更小的数值耗散和色散误差，可以Jiang&Shu[3]提出了一种有效地实现WENO的方式，并将其用于有限差分，其五阶形式(WENO5)成标准。尽管拥有很多的优势，但WENO5还存在一定的缺陷。Henrick等人[4]首先，WENO5在数，相应的格式称为WENO-M。WENO-M可以保持精度一致，且分辨率有所提高。对非线性行改进并提出新格式的还有Borges[5]，Ha[6]，Fan[7]等。国内信[8]较早地提出了构造差分格式应该满足的四个原则，提出了一种无振荡、无自由参数耗散算法，即二阶精度的NND格式。由于NND形式简单、物理概念清楚、易于编程和计算量小，在国内工程领域得到了广泛的应用。随后，张及其团队进一步发展了一系列高精度计算格式，包括ENN[9]、WNND[10]、WENN[11,12]、中心对称型三阶格式[13]等。最近，等人[14]提出了一种分段多项式映射函数，对WENO5格式的非线性行映射，提出了WENN-PPM格式。新格式在保持计算稳定性下的，进

utf(u)x

jutjfˆj1/2fˆ1/2 jfˆ的数值离散方式也不同。等人[13]NND格式的基础上增加了一SMNND1n3rdπ处，SYMNNDWENO3线性格式的1n3rd 变n3rd的值就可以调整对称型三阶格式的耗散。本文的计算中取n3rd=10。将f 分为正、负通量 0i1/ 1i1/ 2i1/ 0i1/ 1i1/ 2i1/ ffffˆ(0) f,fˆ(1) f,fˆ(2) ffff i3/ ˆ 1f 1f 1ffi1/2 i3/2,fi1/2f i1/2,fi1/2f n3/1/3,/2/3,/ n3k2 kkISkpk2p21016ISkk2

f

fj1

22

fj

fˆf

IS 2 fˆ(i i为了增强格式的稳定性，在使用(5)IS后，要对最下风模板进IS2maxi02 jHenrick等人[4]最先，在极值点（f'0）时，WENO5的五阶精度不能保持。他们提出j g()232 212 gk(0)0,gk(1) g() ) kkgkLgL(0)0，gL(),gL(i)()0fori1 k

gR(1)1，gR(),gR(i)()0fori1 ak且b1k1，映射函数gL：1a15 gR：b4 k 此函数将使用(4)ωk进行一次映射，再将得到的值进行归一化作为最终 SYMNND-PPM5格式的性能。所有问题使用具有TVD性质的三阶Runge-Kutta格式，对于定常问题则使用LU-SGS格式。,u,p

(1.0,0.0, 5.0x (0.125,0.0, 0.0x计算时间推进到t2.023 图3t=2.0，局部密度分,u,p(3.857143,2.629369, x (1.00.2sin(5x),0.0, x图4t=1.8，密度分 图5t=1.8，局部密度分WNND格式，并且使SYMNND-PPM5SYMMNND-M以使非线性权在kSYMNND-PPM5的分辨率也要略高于SYMMNND-M。M2.0，T293K，Re2.96105，Pr0.7232.585，为激波入射角；壁面为粘性绝热条件 皆为超声速边界。计算域为0.0x2.020.0y1.30nxny=102121，x方向均匀分布，yy=0.3045处的压力分布(6中红线位置)WENO57x=1.4附近，NND格式SYMNND-PPM5SYMNNDM格式也能够较好分辨到此区域，分辨率明显优于NND格式和WNND格式。 图7沿y=0.3045处的压力分89分别给出了壁面压力分布和壁面摩阻系数分布，对比的实验数据来自文献[15]。可而采用SYMNND-PPM5和SYMNND-M格式则较大。图8物面压力分 图9物面摩阻系数分Ms3.0Borges[5]

2

rr0e(1rr0)/p(r) M2 (r)

1 2exp(1r

21/(

r 其中u代表旋涡诱导的速度。r0(4,0)代表初始时旋涡中心所在位置。1.4。p(r)(rx0.0处。旋涡强度0.4以上三个量分别采用uu2

系计算得到。计算域为[20,10][15,15]。并使用15011501的均匀网格。计算时间步长t0.002，计算至无量纲时间t14.0SYMNND-PPM5、SYMNND-M、WNND及NND，并进行了比较。10-图13给出了四种格式计算得到的密度等值线。可以看到，SYMNNDPPM5和SYMNND-M格式分辨出的流场结构明显比WNND和NND更加丰富。由于初始流场含有激波间断，为了适应Eluerx3.6处会形成垂直方向的二次干扰波。NNDWNND格式由于耗散较扰波。同样还有图10中方框区域内的流场结构。且从图10左侧方框区域流场可以看出， 图11SYMNND-M格式的密度等值 图12WNND格式的密度等值 图13NND格式的密度等值计算结果与Gnoffo[17]给出的实验结果进行对比。Gnoffo数值模拟时使用的网格是512256。SYMNND-MSYMNND-PPM5分辨出的漩涡数最多，NND格式最少。1819比较了SYMNND-PPM5WNND格式计算的壁面压力和热流分布。可以看出， 图15SYMNND-M的密度梯度等值图16NND的密度梯度等值 图17WNND的密度梯度等值图18不同格式壁面压力分 图19不同格式壁面热流分 SYMNND-PPM5。同时与Henrick等人映射函数作对比（SYMNND-。一维Euler算例、NND、WNND更高的分辨能力，可以有效地捕捉到流场中的激波、接触间断面等复杂Henrick的映射函数，分段多项式映射函数可以使最终的非线性权更加接近于格式的线性权，因此SYMNND-PPM5的分辨率也要略高于SYMMNND-M。制关键基础问题研究”的支持，项目编号2014CB744100，特此感谢。HartenA,EnquistB,OsherS,etal.Uniformlyhighorderessentiallynon-oscillatoryschemes[J].JournalofComputationalPhysics,1987,71(231):231-303.LiuX,OsherS,ChanT.Weightedessentiallynon-oscillatoryschemes[J].JournalofComputationalPhysics,1994,115(200):JiangG,ShuQiwang.EfficientimplementationofweightedENOschemes[J].JournalofComputationalPhysics,1996,126(1):A.K.Henrick,T.D.Aslam,J.M.Powers.Mappedweightedessentiallynon-oscillatoryschemes:achievingoptimalordernearcriticalpoints[J].JournalofComputationalPhysics,2005,207:542-567.R.Borges,M.Carmona,B.Costa,W-S.Don.Animprovedweightedessentiallynon-oscillatoryschemeforhyperbolilcconservationlaws[J].JournalofComputationalPhysics,2008,227:3191-3211.Y.Ha,C.-H.Kim,Y.-J.Lee,J.Yoon.Animprovedweightedessentiallynon-oscillatoryschemewithanewsmoothnessindicator[J].JournalofComputationalPhysics,2013,232:68-86.7Fan,YiqingShen,NaolinTian,ChaoYang.Anewsmoothnessindicatorforimprovingtheweightedessentiallynon-oscillatoryscheme[J].JournalofComputationalPhysics,2014,269:329-354.8信.无波动、无自由参数的耗散差分格式[J].空气动力学学报,1988,6(2):143-9信,贺国宏,张雷等.高精度求解气动方程的几个问题[J].空气动力学学报,1993,11(4):341-10刘伟.细长机翼摇滚机理的非线性动力学分析及数值模拟方法研究[D].国防科学技术大学博士.11,信,高树椿.基于NND格式的色散关系保持格式[A].第九届计算流体力学会议[C].云南,12,信,高树椿.关于超声速剪切流动的数值模拟[J].空气动力学学报,2000,18(增):67-13,孙东,郑永康,信.一类中心型三阶格式及应用[J].空气动力学学报,2013,31(4):466-14QinLi,PengxinLiu,HanxinZhang.PiecewisepolynomialmapmethodandcorrespondingWENOschemewithimprovedresolution[J].CommunicationinComputationalPhysics(accepted),2015.15MacCormackR.W.AnumericalmethodforsolvingtheequationsofcompressibleviscousFlow[J].AIAAJournal.1982,16O.Inoue,Y.Hattori.Soundgenerationbyshockvortexinctions[J],JournalofFluidMechanics,1990,380:81-17P.Gnoffo.CFDvalidationstudiesforhyicflowprediction[C].AIAA2001-ASYMMETRICTHIRDORDERSCHEMEBASEDONPIECEWISEPOLYNOMIALMAPMETHODLiu Li Zhang(1StateKeyLaboratoryofAerodynamics.AerodynamicsResearchandDevelopmentCenter,MianyangSichuan621000,)(2ComputationalAerodynamicsInstitute,AerodynamicsResearchandDevelopmentCenter,MianyangSichuan621000,Theideaofmapfunctionisadoptedinthisarticle.ThefifthorderPiecewisePolynomialMapFunctionandHenrick'smapfunctionareappliedtoasymmetricthirdorderschemeandcompared.Thepropertieshaveb