等比数列前项和公式的推导

关于等比数列前项和公式的推导第1页，课件共87页，创作于2023年2月复习等差数列等比数列定义通项公式性质Sn第2页，课件共87页，创作于2023年2月预备知识：

Sn=a1+a2+…+an

Sn-1=a1+a2+…+an-1(n>2)an=Sn–Sn-1(n》2)你能得出吗?第3页，课件共87页，创作于2023年2月第4页，课件共87页，创作于2023年2月问题：如何来求麦子的总量？得:2S64=2+22+23+······+263+264错位相减得：S64=264–1>1.8×1019即求：1，2，22，······，263的和；令：S64=1+2+22+······+262+263，

以小麦千粒重为40麦子质量超过7000亿吨！麦粒总质量达7000亿吨——国王是拿不出的。第5页，课件共87页，创作于2023年2月⑴×q, 得⑵⑴－⑵，得由此得q≠1时，等比数列的前n项和设等比数列它的前n项和是⑴即说明：这种求和方法称为错位相减法第6页，课件共87页，创作于2023年2月当q≠1时，∵∴显然，当q=1时，第7页，课件共87页，创作于2023年2月(q=1).(q≠1).等比数列的前n项和表述为：第8页，课件共87页，创作于2023年2月已知a1

、n、q时已知a1

、an、q时等比数列的前n项和公式第9页，课件共87页，创作于2023年2月

(1)

等比数列前n项和公式：等比数列前n项和公式你了解多少？Sn={1-q(q=1)(q=1)Sn={1-q(q=1)(q=1)

(2)

等比数列前n项和公式的应用：1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提；２.在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。利用“错位相减法”推导第10页，课件共87页，创作于2023年2月例1、求下列等比数列前8项的和第11页，课件共87页，创作于2023年2月说明：２.１.第12页，课件共87页，创作于2023年2月1．数列{2n－1}的前99项和为(

)A．2100－1

B．1－2100C．299－1 D．1－299答案：C第13页，课件共87页，创作于2023年2月2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96，Sn＝189，则n的值为(

)A．4 B．5C．6 D．7答案：C第14页，课件共87页，创作于2023年2月3．已知等比数列{an}中，an>0，n＝1,2,3，…，a2＝2，a4＝8，则前5项和S5的值为________．答案：31第15页，课件共87页，创作于2023年2月4．求Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．第16页，课件共87页，创作于2023年2月第17页，课件共87页，创作于2023年2月(一)用等比定理推导当q=1时Sn=na1因为所以

合比定理：第18页，课件共87页，创作于2023年2月Sn=a1+a2+a3+…….+an-1+an=a1+a1q+a1q2+…..+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+….+a1qn-3+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn–an)Sn=a1(1–qn)1–q

递推公式：第19页，课件共87页，创作于2023年2月答案：

B第20页，课件共87页，创作于2023年2月2．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(

)A．4 B．－4C．2 D．－2答案：

A第21页，课件共87页，创作于2023年2月3．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2等于________．第22页，课件共87页，创作于2023年2月4．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，求公比q的值．第23页，课件共87页，创作于2023年2月分析：第1年产量为5000台第2年产量为5000×(1+10%)=5000×1.1台第3年产量为5000×(1+10%)×(1+10%)……第n年产量为则n年内的总产量为：第24页，课件共87页，创作于2023年2月解：第25页，课件共87页，创作于2023年2月第26页，课件共87页，创作于2023年2月第27页，课件共87页，创作于2023年2月第28页，课件共87页，创作于2023年2月第29页，课件共87页，创作于2023年2月第30页，课件共87页，创作于2023年2月[分析]

由题目可获取以下主要信息：已知等比数列的前3项和前6项的和，求其通项．解答本题可直接利用前n项和公式，列方程求解．第31页，课件共87页，创作于2023年2月第32页，课件共87页，创作于2023年2月[点评]

在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解．第33页，课件共87页，创作于2023年2月迁移变式2设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求公比q的值．第34页，课件共87页，创作于2023年2月第35页，课件共87页，创作于2023年2月第36页，课件共87页，创作于2023年2月第37页，课件共87页，创作于2023年2月[点评]

在求含有参数的等比数列的前n项和时，容易忽略对a＝1和q＝1的讨论，从而丢掉一种情况．第38页，课件共87页，创作于2023年2月第39页，课件共87页，创作于2023年2月第40页，课件共87页，创作于2023年2月第41页，课件共87页，创作于2023年2月如图1，一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？第42页，课件共87页，创作于2023年2月[分析]

通过仔细审题，抓住“在以后每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%”这一“题眼”，从而构造出等比数列模型——热气球在每分钟里上升的高度组成一个等比数列，于是热气球上升的总高度便是该等比数列的前n项和，利用公式即可．第43页，课件共87页，创作于2023年2月第44页，课件共87页，创作于2023年2月第45页，课件共87页，创作于2023年2月迁移变式4如果某人在听到喜讯后的1h后将这一喜讯传给2个人，这2个人又以同样的速度各传给未听到喜讯的另2个人，……，如果每人只传2人，这样继续下去，要把喜讯传遍一个有2047人(包括第一个人)的小镇，所需时间为(

)A．8h B．9hC．10h D．11h第46页，课件共87页，创作于2023年2月解析：设第n个小时后知道喜讯的总人数为Sn，Sn＝1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1＝2047，n＝10，故选C.答案：C第47页，课件共87页，创作于2023年2月第48页，课件共87页，创作于2023年2月2．因为公比为1和不为1时等比数列前n项和有不同的公式，所以若公比为字母时，应进行分类讨论．这也是由公式的适用范围引发的分类讨论的典型例子之一．第49页，课件共87页，创作于2023年2月第50页，课件共87页，创作于2023年2月第51页，课件共87页，创作于2023年2月第52页，课件共87页，创作于2023年2月第53页，课件共87页，创作于2023年2月第54页，课件共87页，创作于2023年2月第55页，课件共87页，创作于2023年2月[题后感悟]在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解．,第56页，课件共87页，创作于2023年2月1.在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n项和Sn＝126，求n和q.第57页，课件共87页，创作于2023年2月第58页，课件共87页，创作于2023年2月第59页，课件共87页，创作于2023年2月第60页，课件共87页，创作于2023年2月

已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30.第61页，课件共87页，创作于2023年2月第62页，课件共87页，创作于2023年2月第63页，课件共87页，创作于2023年2月[题后感悟]等比数列前n项和的常用性质：(1)“片断和”性质：等比数列{an}中，公比为q，前m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为qm的等比数列，即等比数列的前m项的和与以后依次m项的和构成等比数列．第64页，课件共87页，创作于2023年2月3.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于(

)A．80

B．30C．26

D．16第65页，课件共87页，创作于2023年2月解析：

∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)∴(S2n－2)2＝2·(14－S2n)，解得S2n＝6又∵(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)·(S4n－S3n)∴(14－6)2＝(6－2)·(S4n－14)∴S4n＝30.故选B.答案：

B第66页，课件共87页，创作于2023年2月

已知等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比与项数．由题目可获取以下主要信息：①等比数列的奇数项与偶数项分别依次构成等比数列；②当项数为2n时，S偶∶S奇＝q.解答本题的关键是设出项数与公比，然后建立方程组求解．第67页，课件共87页，创作于2023年2月②÷①，得q＝2，代入①得22n＝256，解得2n＝8，所以这个数列共8项，公比为2.第68页，课件共87页，创作于2023年2月第69页，课件共87页，创作于2023年2月4.等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，求该数列的公比q.第70页，课件共87页，创作于2023年2月

求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1的前n项和(a≠0)．由题目可获取以下主要信息：①数列的通项公式an＝(2n－1)·an－1.②每一项可分成两个因式，由前一个因式可构成等差数列，后一因式可构成等比数列．解答本题可选用错位相减法求数列的和．第71页，课件共87页，创作于2023年2月第72页，课件共87页，创作于2023年2月[题后感悟]错位相减法一般来说，如果数列{an}是等差数列，公差为d；数列{bn}是等比数列，公比为q，则求数列{anbn}的前n项和就可以运用错位相减法．第73页，课件共87页，创作于2023年2月在运用错位相减法求数列的和时，要注意以下四个问题：(1)注意对q的讨论，在前面的讨论中，我们已知q是等比数列{bn}的公比，所以q≠0，但求和Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1