“千课万人”小学数学“学本课堂”研讨观摩会-史宁中义务教育阶段数学基本思想理解与把握

义务教育阶段数学基本思想

理解与把握东北师范大学史宁中2015.4报告目录一、数学的基本思想二、义务教育数学中的抽象三、义务教育数学中的推理四、义务教育数学中的模型一、数学的基本思想1.课程目标：由双基到四基（实现教育理念的转变）

过去的教育理念：以知识为本教学大纲关心问题是：

应当教那些内容；应当教到什么程度考核内容是：

规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求教学目标是：

基础知识（概念记忆与命题理解）扎实（记忆）基本技能（证明技能与运算技能）熟练（训练）

教学形式是：

课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）现代教育理念：以人为本

工作目标：育人为本（纲要）、立德树人（十八大）

以人为本：以学生的发展为本，站在学生立场思考问题。人的成功依赖：知识技能、把握机遇、思维方法数学教育：不仅要让学生记住一些数学的知识、掌握一些数学的技能，还要培养学生的数学素养。一堂好课：把握数学内容的本质，创设合理的教学情境，启发学生思考，让学生在掌握知识技能的同时，理解数学内容的本质，感悟数学的基本思想，积累思维的经验。终极目标：会用数学的眼睛观察现实世界，会用数学的思维分析现实世界，会用数学的语言表达现实世界。如何实现？

义务教育数学课程总目标

四基：基础知识、基本技能+基本思想、基本活动经验

四能：发现问题、提出问题+分析问题、解决问题

科学：敢于质疑、善于思考、实事求是、一丝不苟基本活动经验：思维的经验，实践的经验（过程性目标的目标）

会思考问题、会做事情能力的培养，依赖的不是说教和理解，依赖的是学生参与其中的活动，依赖的是学生在这个过程中自己的思考和感悟，这种能力是经验的积累。2.数学基本核心素养（核心词、核心概念）如何理解数学：数学的研究源于对现实世界的抽象，通过基于抽象结构的符号运算、形式推理、一般结论，理解和表达现实世界中事物的本质、关系与规律。数学不仅是计算和推理的工具，数学还是表达与交流的语言，数学承载着思想和文化。

教学内容–核心素养–数学思想：质量监测四个原则义务教育阶段（8个）{核心词、核心概念}

数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、

运算能力、推理能力、模型思想高中教育阶段（6个）

数学抽象、逻辑推理、数学建模、

运算能力、直观想象、数据分析3.什么是数学的基本思想图形结合、递归、换元、等量替换？

确定数学的基本思想的原则：

数学的产生与发展必须依赖的思想学习过数学与没有学习数学的思维差异

抽象、推理、模型义务教育阶段数学教学的责任：

感悟抽象、懂得推理通过抽象：现实→数学

把研究对象、以及对象之间的关系形成概念从现实世界到数学内部，数学具有一般性通过推理：数学→数学

从假设前提出发，通过推理得到数学的结果数学内部的发展，数学具有逻辑性通过模型：数学→现实

解决现实世界中的与数量和图形有关的问题从数学内部到现实世界，数学具有应用性

得到数学的基本特征：一般性（抽象）、严谨性（逻辑）、应用的广泛性（模型）数学思想：不是知识，不是靠讲解让学生理解

是创设情境让学生感悟教学要点：感悟什么？（教师对数学内容的把握）

如何感悟？（情境创设、教师引导）参见著作：基本概念与运算法则--小学数学教学中的核心问题，

高教社，2013年通过抽象得到概念定义有两种方法：对应的方法、内涵的方法。建议：开始用对应的方法（感悟），以后用内涵方法（理解）数是什么？数的本质是什么？表示数的关键是什么？数是对数量的抽象，本质是大小关系：从数量的多少到数的大小。

二、义务教育数学中的抽象开始用对应的方法：

三个苹果、三只鸡→□□□←→3（去掉物理属性）对应方法负数与自然数：数量相等、意义相反。以后用内涵的方法：

自然数是一个一个多起来的（算数公理体系、后继数）

1=0+1，2=1+1，3=2+1，4=3+1，……

如何认识10000?10个1000？10个千？

比9999多1（读法可以不同，表达必须一致）数的符号表达：把握本质、表达简洁、具有一般性读数的关键：十个符号+数位如何读2002：符号0很重要

1～

10

→1～

9+

0、10

数位与数不同数位：从左到右、从小到大个(ones)、十(tens)，“十”是十个“个”“万”是十个“千”

需要知道十进制、不需要知道计数单位数：10=9+1，10000=9999+10对于加法很重要：相反数；减法：自然数集合→整数集合1对于乘法很重要：倒数；除法：整数集合→有理数集合数的运算

与数的抽象一样，有两种方法定义加法：对应、内涵。内涵：□□□←□3+1=4？

4=3+1

→3+1=4

对应：

□□□□□□□哪边多

□□□←□

□□□□哪边多？

→3+1=4

理解等号的意义：等号两边讲两个故事，两个故事量相等。方程的定义？方程与函数的关系？如何定义乘法？为什么负负得正？乘法是加法的简便运算：2+2+2=2×3=6(-2)×3=(-2)+(-2)+(-2)=-62×(-3)=-6？在自然数集合上，乘法是加法的简便运算。在整数集合上？乘法的本质。两个性质：0×a=0；1×a=a

两个法则：a×b=b×a;

(a+b)×c=a×c+b×c连同性质和法则，把乘法由自然数集合扩张到整数集合。

1×1=1，(-1)×1=-11×(-1)=-1,(-1)×(-1)=1点、线、面的抽象0维是点、1维是线、2维是面、3维是体。日常生活看到的几何图形都是三维的，点线面是抽象的结果。角的抽象角是由有公共端点的两条射线所组成的图形。→称下面的图形为角。角由两条线段所夹部分组成，这两条线段的一个端点重合。称这两条线段为角的边，角的大小与边长无关。（小学：画同样大小的角）（初中：如何判断直角）几何作图（画角平分线）的教育价值：培养想象力。抽象钞小结抽象听出数跟学研遇究对乒象、丈以及仿研究仿对象逮的关亦系和代运算废法则语：把外夸部世围界数岁量和青数量般关系、图形朽与图邮形关童系抽寸象到姓数学游内部。概念：自鼠然数定、负吊数；简点、硬线、处面、始体、偷角关系：数的家大小推关系蒙；两燥点决们定一帝条直难线、脑三点略决定形一个轨平面运算：加治法许、减无法、纳乘法乔、除碧法；颗距离久、面主积、切体积小学狗数学逼主要屋研究毅三个忧关系朋：数量悔关系春、图响形关贼系、蔬随机吹关系抽象巩的东耽西不菠存在蕉：现合实中仰没有2，只欢有具板体的衰两匹摇马、污两头威牛抽象妖的东恢西是搅理念送的存绣在郑板工桥：我画此的不阳是我莫眼中涌之竹带，而掀是我闲心中钓之竹煎。三、耐义务烦教育正数学旱中的谋推理推理览：数学锄内部摆的发宽展依堪赖的连是逻江辑推枕理数学工的结雾论都简是命选题数学歌命题展：可供正确摆或者虚错误判断占的陈领述可以恰判断。下电面陈态述不喷是数踩学命云题这个四三角捕形是陈美的仅供俘判断。下让面两摊个陈洒述都跌是数灶学命规题三角嗽形内兆角和18六0度三角富形内艇角和12岸0度直接游推理球：对奥命题区直接仅判断一般史推理号：一馅个命尽题判督断到荡另一仰个命施题判饼断的涨思维颜过程数学右命题纹主要次有两朱种形默式性质霜命题节：A是B。充蹈分条恩件：A→B必要句条件沾：B→A充分粮不必浴要：两个泪偶数轮的和籍是偶菜数。必要细不充穗分：数可渣以比误较大永小。充分哲且必镜要：直角扯三角效形是寻一条卧边长帐的平忍方等咏于其烘他两壮条边长平缠方之怜和的死三角端形。数学渠定义邪必须役充分饥必要：称遮含有个未知猾数的环等式册为方何程。？什么搂是数亭学的减推理盾？什释么是伙有逻敞辑的呈推理灰？苹果断是酸畏的，乔酸的峡是一剧种味颠道，盟所以厕苹果糊是一皱种味盛道。？三角秒形内翁角和会是18玻0度，18钳0度是盆平角流，所再以三景角形艇是平滥角。？逻辑要推理绕：具膀有传泥递性胡的推午理。在数宪学上黄有两井种形槐式演绎旷推理：从扛大范猾围内些成立练的命腊题推常断小低范围躲内命奏题也透成立榜。凡人警都有创死，压苏格学拉底革是人低，所见以苏屑格拉催底有差死。结果剂是必然甘成立的，边用于验证蚁知识。是钥数学真教学扮中推爱理的重点。归纳榨类比：从获小范渗围内块成立往的命止题推跳断更杨大范除围类肥似命丛题成口立。苏格宴拉底日是人思、苏艺格拉你底有钉死，月柏拉循图是止人、肥柏拉盏图有死潮，所购以凡谜人都方有死仍。结果甘是或然畅成立的，拾用于发现屡知识。是剃数学言教学样中推平理的弱点。苏格护拉底修不到80岁死法去，享柏拉吗图不烘到80岁死岭去，披所以凡人毛不到80岁死土去。演绎果推理演绎以推理跳需要佩前提旺：公泳理或鞋者假茧设。找基本狗前提同一帜律：a背=罗a，（a属于A或者a不属歌于A）。矛盾圣律：a→P和a→Pc不能轧同时创成立善。排中牧律：a→P和a→Pc必有勿一个钓成立肌。命题素数换有无膨数多索个。迅（反清证法晓）证明假设贺素数增有限丽个（归谬替假设）。比如厉只有n个素挑数，暮表示替为：p1,…缺,pn。令p温=栗p1..稀.pn+饿1。因为p不能捐被p1,…烤,pn中任卡何一表个素队数整洗除，绕所以p是与上述n个素珠数不有同的忙素数肢，与脆只有n个素榨数不时符（矛盾昏律）。假设剥错误事。因五此，完有无停数多斩个素抱数（排中蔽律）。“数勿与代柱数”宫演绎默推理世的前叉提（床基本腹事实底）命题1等式秋（不饲等式粮）关旺系具细有传哥递性绒。a鹊=浩b特(a象﹥厘b），b偷=承c案(b江﹥滋c）→a跳=锋c旅(a掠﹥节c）命题2等式窜（不挖等式饥）两睡边加荡减相企同量彻，等吵式（肝不等糖式）欣不变斜。a育=嫩b桂(a搏﹥律b）→a蹲+态c瞧=笑b舅+榜c翻(a唇+快c衫﹥商b歇+暑c）a驶-抗c岛=税b稿-筝c练(a暖-解c搅﹥严b组-朝c）演绎管推理有理巨数加缓法的骡定义印？加上翠一个苹正数第比原耀来的引数大。符号柜表示：对初于任荣意的您数a和正抹数b，有a居+幕b＞a。因为b为正荐数，闯所以b＞0在上全面不割等式丛两边糠分别信加上a，由富命题2得到a咬+多b＞a结论罗成立役。类似棍方法慕可以设证明猴对称呢命题输：加上裙一个秘负数悉比原邀来的船数小。演绎数推理减去柱一个帽正数壶等于摆加上逮这个楚正数得的相系反数减去泛一个齿正数忽比原弄来的叉数小用数称学符翠号表绑示这脏个命泼题：b＞0，则a菊-牛b恼=辰a样+摆(-嘴b)证明：因为匙“减号法是饥加法矛逆运妻算”庄：a肺-迹b稠=槐x优←院→呆a苗=貌b暖+付x由命普题2，等扔式的裳两边藏分别辞加上（-b）等式短不变磨：a偿+氧(-谷b)讽=绸b简+刮(睡-b愚)博+载x。根据许相反衣数的凶定义瓜：a标+族(-捷b)炸=纤x。由竿命题1：a机-胜b利=暗x养=太a洪+狸(-国b)演绎胃推理减去唇一个答负数案等于偶加上方这个趟负数舅的相捎反数减去喝一个凝负数蜻等于退加上不一个计正数减去帖一个跳负数找比原例来的乎数大用数怎学符掉号表塌示这公个命播题a华-注(-浓b)竟=钥a煌+宾b证明：令x锐=照a离+崭b。等成式两耗边加b的相农反数（-b），由贩命题2x未+透(-互b)呜=扶a级+关b霜+捏(适-b仁)窝=雕a上面惜等式夕的两吓边同恭时减离去(-贺b)，再貌由命挺题2：x横+意(-尺b)款–捷(降-b酬)田=辆a厌–撞(-盏b)因为麻同数加相减纺为0：x尾=裙a地–鉴(-黄b)。由基命题1：a毯-乖(-失b)孙=交a甘+咱b图形壶的运艇动（丈变换泉）：居参照穗物平移跪：参湖照物椒是一贤条射变线旋转扇：参傅照物巩是一螺条射拖线轴对尤称：蹦参照禁物是将一条弦直线不变耐量是爹本质壁：两铃点间喊距离演绎戚推理演绎啊推理聚只能缩慧用来劣验证祸知识帝，不今能用念来发打现知密识。论证毫问题遍的形引式是归：已知A求证B其中A和B都是努确定咸性命芽题，油没有座新的蹦知识温。发现律知识灯需要串下面蛋两种俗推理危：从条眠件预倘测结妻果的坊推理孝，从结忌果探收究成沫因的暂推理需要提归纳责推理捡：从经越验过忆的东器西推插断未汗曾经揭验的反东西从小赛范围候成立腹的命原题推芽断更停大的咱范围台类似摸命题归纳丹推理归纳晓推理好需要肤的前得提：砖经验驶或者层想象经验织：从个脚别到不一般盒，从虑具体奋到符寻号加法顺交换排律3责+清5算=棵8，5狡+使3霞=两8属→请3菜+谋5献=隶5哨+笋36炊+假9经=桑15，9新+若6拆=理15娘→朴6扩+息9继=饥9科+呜63涉+抹(-再2)侨=得1，(-遣2)循+党3咐=谁1禾→腔3危+搅(压-2脂)疏=牛(-兰2)蜘+触3→a固+海b查=投b丛+霉a结论里的正愧确与港否需张要演津绎推吓理的匹证明归纳筒推理探究对成因混合屈运算晕：先括雕号、艺先乘深除后飞加减。为什仍么？(3悔+牙2仔)×疏6执=摄5榜×陷6使=辉303墙+浩2×穿6秤=执3榨+绞12者=西1歌8举例赛说明上：一队直同学悬，每势排3名女叶生2名男薄生，皱共6排，早问有祖多少园同学商。下：操场吴上有3名同仿学，险又来低了一胞队同皮学，2人一蓝排共6排，摆问现在操伍场上养有多画少同悲学。现在寄同学端数=原来夸同学跟数+后来攀同学目数=3模+钓2×巨6混合犁运算匙讲两理个以晨上的骨故事。除分咏数等需于乘垦这个左分数舰的倒数如何亭得到旷和差蒜化积滔的公梯式：a2–b2=舍(a堵-b熔)(疯a+刊b)？用归爪纳的倒方法问题都化简：b洲=夺1，a2–b2=肯a2–仙1逐步碗尝试：a泛=死2，4封–润1有=陷3a叔=烧3,格9跑–鲜1笨=丹8a村=层4,辉1警6扭–粮1挠=烈15a登=匪5,例2瓣5涛-采1委=漫24a茶=涌6,赤3氏6患–狱1跃=浆35发现喇具体潮规律：35窜=悲5盾×蓬7南=昌(越6-偿1)霜(6六+1学)24分=夸4帝×把6检=赖(昂5-遗1)六(5蛋+1且)避……猜想识一般乖规律：a2–拍1蜡=姻(a标-1岗)(叙a+喉1)证明段一般挥规律：还原沃一般粘问题：a2-絮b2=淘(a柔-b旷)(爪a+师b)归纳民推理类比毒的方鬼法：绵几何一个毒点把浆直线复分为览两个匠部分堤。如脉何表迟达？脆两个抛点呢坐？一条泄直线录把平本面分泪两个菊部分赛。如切何表胸达？避两条须直线晓呢？一个较平面斩把空登间分蓄两个舰部分习。如勒何表米达？起两个柿平面反呢？数学厉推理宋：通过泼归纳纹推理领发现描、提晓出命盼题通过颠演绎蛛推理爷证明凑、得腿到命渠题归纳畜推理捆和演援绎推牌理都排是逻酒辑推汽理，另因此学数学蛇具有范严谨屈性。四、膜义务抬教育芦数学剂中的聚模型模型弓：使埋数学殿回归酸现实询世界清。模型层是用嫌数学男的语荣言讲皇述的趟是现饲实世员界的婆故事脚。模型本是沟辞通数箭学与湖现实峡世界吉的桥温梁。课标依中主贤要要刻求两际个模职型总量惰模型（加葬法模睬型）秀：总拐量=部分+部分部分=总量–部分→序列慰模型：现渔在=过去+变化路程阵模型（乘拥法模水型）秤：拢路程=速度×时间速度=路程/时间工程个模型、植树匆模型考察霸学生诊思维周能力五年弯一班左和五我年二柔班举编行跳秃绳比抱赛，淡每班门派10人参赢加比制赛。史现社在已辨经赛搬完9人，鄙将派观最后1名上直场。逐五年槽一班枣可以纸在A、B两名议同学芽中选雅出。脱这两剧名同确学最慈近成锤绩如演下：A:21付,熔35效,现39拒,瘦23有,拢40侦,交25B:27亭,但29归,粘31粪,液33硬,猫28叔,为32你建弯议让院哪位扯同学或上场脏比赛匙？建此议的降理由友是什包么？如果还在我复国的如中小攻学数即学教湿育中一方戒面保戏持“思数学怨双基稠教学还”合财理的良内核嘱，一穷方面座又添摊加了金“基雄本思罢想”箩和“臭基本壶活动张经验晕”，爸必将巴会出办现既叛有“讽演绎亿能力霞”又备有“序归纳炼能力特”的窑培养沿模式歼。就必饮将会倚出现妄“外骗国没钟有的丘我们捞有，层外国树有的兽我们灰也有税”的错局面，板到了毕那一支天，琴我们援就能垫自豪在地说志，中至国的现基础苦教育蛾领先任于世界里。谢谢趟！改造劣于《九章收算术》方程身篇第摘八题归。在汉科朝的踢时候订