静定结构位移计算著名院校

第五章静定结构位移计算DisplacementofStaticallyDeterminateStructures§5-1概述§5-2变形体的虚功原理§5-3结构位移计算的一般公式（单位荷载法）§5-4静定结构在荷载作用下的位移计算§5-5图乘法§5-6静定结构在广义荷载作用下的位移计算§5-7线弹性体系的互等定理结构力学§5-1概述

一、结构的位移(DisplacementofStructures)结构位移线位移角位移A点线位移A点水平线位移A点竖向线位移A截面角位移（转角）位移（Displacement）与变形（Deformation）的区别位移指位置的变化。线位移主体一般是点，角位移主体一般是截面或杆件。变形指物体在外部作用下，由于材料应变引起的尺寸或形状的变化。如杆件拉伸、弯曲、剪切等。变形一般会引起位移。位移不一定产生变形（刚体位移无变形）。静定结构位移计算第五章产生位移的原因一般荷载——力的作用广义荷载温度变化支座位移制造误差一般荷载温度变化支座位移制造误差静定结构位移计算第五章为了控制位移，需要起拱。二、位移计算的目的⑴刚度要求结构设计计算应考虑的内容强度校核稳定性验算刚度验算在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600跨度；房屋主梁允许挠度<1/350跨度。高层建筑框架结构，风荷载作用下的最大位移<1/450高度，最大层间位移<1/550层高；地震作用下的最大位移<1/400高度；最大层间位移<1/500层高。⑵超静定结构的计算基础超静定结构必须考虑几何条件(位移约束或变形协调)方可求解。⑶施工要求静定结构位移计算第五章⑵小变形(SmallDeformation)假定：变形很小以致于不影响荷载的作用，故，可忽略变形对平衡方程的影响。三、本章位移计算的基本假定满足上述两个假定的结构体系称为线弹性体系。⑴线弹性(LinearElastic)材料假定：材料服从虎克定律(Hooke’sLaw)，应力应变成线性关系。线弹性体系的特征⑴变形与作用力成正比。非线性结构体系材料非线性：不满足假定⑴几何非线性：不满足假定⑵基本假定位移符号一般规则：静定结构位移计算第五章三、本章位移计算的基本假定⑵叠加原理（PrincipleofSuperposition)适用。线弹性体系的特征⑴变形与作用力成正比。位移符号一般规则：静定结构位移计算第五章§5-2

变形体的虚功原理(PrincipleofVirtualWork)一、功(Work)、实功(RealWork)和虚功(VirtualWork)力对物体作用的累计效果的度量。功=力×力作用点沿力方向上的位移功力在自身所产生的位移上所做的功。实功力在非自身所产生的位移上所做的功。虚功【例】静定结构位移计算第五章二、广义力(Generalizedforce)、广义位移(Generalizeddisplacement)一个力系作的总虚功W=P×其中，P—广义力；—与P对应的广义位移。【例】

⑴作虚功的力系为一个集中力⑵作虚功的力系为一个集中力偶⑶作虚功的力系为两个等值反向的集中力偶⑷作虚功的力系为两个等值反向的集中力静定结构位移计算第五章三、变形体的虚功原理原理的表述变形体平衡的充分必要条件是，对于任意微小的虚位移，外力所做虚功之和等于变形体所接受的应变能（即内力虚功之和），即原理的证明状态Ⅰ(力状态)：外力作用下AB杆平衡状态Ⅱ

(位移状态)：其它原因引起的位移和变形ds微段受力图ds微段变形图静定结构位移计算第五章三、变形体的虚功原理原理的证明状态Ⅰ(力状态)：外力作用下AB杆平衡状态Ⅱ

(位移状态)：其它原因引起的位移和变形ds微段受力图ds微段变形图状态Ⅰ的外力在状态Ⅱ的位移上做的虚功为静定结构位移计算第五章状态Ⅰ的外力在状态Ⅱ的位移上做的虚功为上式代入We中，得静定结构位移计算第五章状态Ⅰ的内力在状态Ⅱ的位移上做的虚功为该项即为内力虚功之和Wi从而，静定结构位移计算第五章⑴必要性的证明：即由AB平衡证明We=Wi由AB平衡可知：微元体的平衡力的边界条件由得（必要性证毕）⑵充分性的证明：即由We=Wi证明AB平衡由上述We的表达式，并根据，可得静定结构位移计算第五章（充分性证毕）从而得到AB的平衡条件，即AB平衡。由于虚位移

是满足位移约束条件的任意位移，故，上式积分号内和方括号内每一项均应为零。即静定结构位移计算第五章变形体虚功原理的必要性也可以通过功的物理含义得到证明1.利用变形连续性条件计算所有微段的外力虚功之和W微段外力分为两部分体系外力微段间相互作用力微段外力功分为两部分体系外力功dWe相互作用力功dWn微段总外力功dW=dWe+dWn2.利用平衡条件条件计算所有微段的外力虚功之和W微段外力功分为两部分在刚体位移上的功dWg在变形位移上的功dWi微段总外力功dW=dWg+dWi所有微段的外力功之和:W=∫dWg

+∫dWi=Wi微段位移分为两部分刚体位移变形位移故有We=Wi成立。所有微段的外力功之和:W=∫dWe+∫dWn=∫dWe=We相邻微段间作用力与反作用力大小相等，方向相反；截面变形连续，位移相同；故相互作用力虚功和为零。平衡力系在刚体位移上做的虚功之和为零（刚体体系的虚功原理）。静定结构位移计算第五章变形体虚功原理应用的几点说明⑴虚功原理涉及到同一体系的两个不同状态：力状态和位移状态是相互独立的，二者之间不存在因果关系。力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足变形协调条件。⑵虚位移必须是约束所允许的任意微小的位移。

⑶虚功原理的适用范围：上述虚功原理的论述和证明过程中没有涉及到结构类型、材料性质、加载过程、变形大小等问题，所以虚功原理适用于任何变形体和任何结构。包括线弹性问题、非线性弹性问题、弹塑性问题、塑性问题等等。⑷虚功原理的应用方式：虚功原理讲述了充分和必要两个条件，对应地反映了两个方程：

①反映了几何方程（变形协调条件）；②反映了平衡方程（力的平衡条件）。相应地有两个方面的应用：①虚力原理应用方式（虚设力的状态，求位移）；②虚位移原理应用方式（虚设位移状态，求未知约束力）。静定结构位移计算第五章四、虚功原理的两种应用方式例题【例1】求A端的支座反力(ReactionatSupport)。【解】去掉A端约束并代以反力X，构造相应的虚位移状态。待分析的力状态虚设的位移状态由外力虚功总和为零，得单位位移法(Unit-DisplacementMethod)虚位移原理虚功原理用于虚设的位移状态与实际的力状态之间。单位位移法本质：将力的平衡问题化为几何问题来求解。(a)X(b)(c)将代入，得通常取单位位移法的虚功方程平衡方程静定结构位移计算第五章【例2】求A支座发生竖向位移c时引起C点的竖向位移C。【解】首先构造出相应的虚设力状态。通常，在拟求位移点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置与拟求位移对应得单位荷载。待分析的位移状态虚设的力状态上述方法称为单位荷载法

(Dummy-UnitLoadMethod)。它是Maxwell,1864和Mohr,1874提出的，故也称为Maxwell-MohrMethod。虚力原理虚功原理用于虚设的力状态与实际的位移状态之间。单位荷载法本质：将几何问题化为力的平衡问题来求解。虚功方程解得单位荷载法的虚功方程几何方程由得静定结构位移计算第五章平面杆系结构虚功方程表达式

We的计算：任意荷载作用下，We=ΣPiDi+ΣMiqi+Σ∫p(s)u(s)ds+Σ∫q(s)v(s)ds（集中荷载外力虚功）（分布荷载外力虚功）Wi的计算:微段变形由如下几部分组成:微段外力:微段剪切微段拉伸微段弯曲Wi=Σ∫[Nε+Qγ+Mk]ds对于直杆，上述三种变形互不耦连，有:结构中截取微段dsΣPiDi+ΣMiqi+Σ∫puds+Σ∫qvds

=Σ∫[Nε+Qγ+Mk]ds可得平面杆系结构虚功方程如下:静定结构位移计算第五章§5贵-3结构愚位移垒计算傻的一孩般公争式（糕单位婆荷载配法）一、龙位移错计算重一般掉公式(G幼en答er加al崇F旧or讽mu堡la楼o祸f倚Di狮sp喂la柔ce同me怎nt绞s)下面秋从虚拣功方皂程入缴手，罪以图焦示结陡构为欧例，树建立约杆系图结构稍位移购计算抄的一纷般公乒式。实际位移状态【虚拟涝力】与待辈求位印移对行应的已单位礼力。【问题】求B点水仙平位绣移DBx=?虚拟力状态设内力为：外力包括：设变形为：位移包括：虚功方程为（外力虚功）（内力虚功）∫表旦示沿猫杆件梁长度祸积分∑表泪示对浓杆件惠数量泽求和上式历就是杠位移药计算五一般优表达灭式。适用弃条件妇如何似？静定嫂结构福位移容计算第五久章位移计算一般表达式中，虚力状态的内力可求，位移状态的变形与位移状态的内力、截面几何特征和材料特征有关。对于线弹性结构，取直杆的ds微段，有所以，线弹性结构位移计算的一般公式为位移馒计算跳一般暖表达援式理男解和票应用陶中应队注意选的两吊个问违题：⑴两放个表蓄达式干的适列用范使围有速何不业同？⑵表案达式抹及其那中每膝项、赵每个纱符号劝的物息理含男义是丘什么暮？单位荷载法计算位移的步骤：⑴剪力虚力状态：在拟求位移点、沿拟求位移方向、施加与拟求位移对应的广义单位力。⑵分别计算实际位移状态的内力和虚力状态的内力。⑶按位移计算一般公式计算拟求位移。D正负表示真实位移的方向，如正表示位移与虚拟单位力方向相同，反之，则方向相反。静定幸结构霸位移吹计算第五云章⑵券结构淋类型堤：适榨用于所梁、表刚架雀、桁接架、稼拱、邪组合进结构朗；静定巩和超再静定壤结构光；⑴熊位移歪原因柴：该莫公式午虽然咸是按升一般捷荷载闲作用皂下的屡受力琴情况题推导役出来桂的，但方冤法适踩用于威荷载耳、温昌度改禾变、零支座亦移动蔬等各滔种情杏况。⑶葱材料种性质储：线评性、娃非线捆性；弹性狮、弹龟塑性雄、塑豪性。贞（仅持指变紫形展枝开前赠的第类一个杜表达封式）⑷容变形肠类型志：弯友曲变呢形、怖拉(夺压)返变形鬼、剪翁切变悄形。⑸监位移唉种类暮：线惧位移问、角排位移扣；相矛对位片移、糕绝对型位移裹。位移喂计算予一般象表达详式的伟普遍敞性表德现二、问虚力推状态品的建考立目的企与要俯求目的侧：尽暴量简效化虚参功的诱计算鹿，使通外力弱虚功捡恰好摸等于剖拟求涛的位洗移。要求予：虚材力状寻态的巩广义竖单位婚力与先位移逐状态越的拟涝求广饱义位袖移一圈一对季应。具体雹三个恳要求塘：①吨在拟丝式求位埋移点扮②沿阵拟求规位移夏方向君③施痕加与酸拟求炼位移葵对应查的广醋义单因位力垫。静定咱结构冲位移病计算第五肌章⑴纷求某纯点的魄绝对叼线位陡移：赤在拟烂求位晕移点券沿拟群求位略移方驱向施迅加单化位力馅。与四刷种可驾能拟司求位洲移类去型对季应的小虚力政状态求DC，在耳C点乒沿DC方向农加单泪位力肥。⑵就求受遇弯杆凡某截厘面或竟桁架骂某杆编件的相转角萝：在捡拟求皇转角亭处施社加一玻单位护力距痰或力偶鞋矩。力偶虑矩仍况为1松，但白力与蹲杆轴贩不垂狐直可跃以吗挪？求A属B转状角，鹅由于开桁架庙只能典承受在结点最荷载织，虚绑力状美态应蛾在A颜B两尾端施缎加一玻力偶炊矩为耀1的恢力偶乔。静定童结构荐位移军计算第五蛇章外加力偶的轴向分量FN在AB轴向伸缩变形上做的功外力拦虚功谎≠待话求位跌移内力镜虚功墨≠待祖求位匆移静定狂结构哄位移嘉计算第五妨章⑶带求两膜点的筛相对索线位疼移：碧在拟捉求位乏移两猎点沿烘相对宰线位悟移方展向施归加一间对方向相士反的柳单位模力。求DAB，⑷女求两助截面岁或两稳桁架吩杆件叠的相筝对转涛角：亡在两嗽处施屡加一寒对反搜向作英用的乐单位狗力矩或锁单位滩力偶冬矩。求C认左右罚截面档相对消转角求AB享、B效C相对宰转角静定婶结构愁位移群计算第五返章桁架只有狗轴力停，无葬弯矩伏和剪失力，先故，伍位移抬计算脉公式麻简化切为【例虫1】提求贡图示础桁架挺C点躲的竖跪向位甲移DCV。所垦有各喜杆EA为常校量。真实位移状态虚拟力状态§5湿-4静定洪结构圆在荷他载作剩用下员的位让移计哀算静定孔结构磨位移猴计算第五弓章梁和州刚架对于铃杆系鉴结构寄，轴拍力和谣剪力止对位曾移的届影响捏一般楚要比析弯矩产的影传响小怠得多确，通受常可材以忽卖略不触计，槐故，庭位移唤计算物公式离简化奋为【例脸2】餐求专图示狭刚架早C截扶面的绘转角qC。所圆有各拐杆EI为常抚量。真实位移状态虚拟力状态静定担结构处位移易计算第五例章组合耻结构对于逼组合捎结构港，桁膀架杆烟只有卷轴力舒，而倦受弯拦杆件援与梁叔和刚颜架类义似，别通常状只考诉虑弯决矩的障影响闻，故讲，位核移计演算公猴式简嫌化为该项仅对桁架杆曲杆锹和拱严格地说，位移计算的一般公式只适用于直杆，当时，可不考虑曲率的影响，按直杆公式近似计算位移，即静定汤结构今位移赤计算第五腾章【例控3】析求股图示抢圆弧骨悬臂乔端B的竖罢向位群移DBV。已股知EI为常示量。真实位移状态虚拟力状态可见屑，DN、DQ通常仆可以猛忽略遥。静定基结构则位移来计算第五何章梁和刚架位移计算公式，当杆件数量较多，荷载复杂时，积分计算工作量很大，应用比较麻烦。一定条件下，上述积分计算可以简化。§5歇-5图乘侧法（抗Gr板ap少hi相c务Mu溪lt扔ip托li愚ca薪ti庆on量M深et福ho悔d肥）⑴直密杆；晚⑵EI为常菠量；之⑶两重个弯新矩图误中至筝少有国一个输是直竿线。静定嚼结构艰位移被计算第五后章图乘件法是丽Ve祥re独sh肝ag侮in夏于1酒92客5年约提出愚的，吨他当管时为朽莫斯膏科铁希路运固输学挡院的蛮学生才。图乘秀法本滥质：挡把复贫杂的械数学骆积分直计算店化成曲求图深形的巴面积岗、形另心和征纵标翼问题司。图乘壁法应竟用说望明⑴图车乘法伤的适盒用条霉件是芳什么趁？⑵正负号规则：若与在杆件的同侧，取正值；反之，取负值。⑶常百见图决形的清面积骆和形捷心：抛物援线顶阅点处绑的切寒线应石与基牧线平证行，裹否则仔，为件非标把抛物摘线。旦非标半抛物花线的数面积辨和形澡心不饲能按袄上式趴计算捐，属围于复桨杂图哥形，屠面积批、形扯心计第算方僵法后神述。非标抛物线（三资角形纹的面奸积和乓形心矛此不历赘述架）静定什结构纱位移虫计算第五鉴章⑷两乘梯形降图乘素公式垮：注意隔：ab音cd同侧棍同号参，异敢侧异升号。⑸复抹杂图吩形可剧根据局叠加骡原理骆分解购成简揪单图喉形【例】=+静定穗结构雾位移慕计算第五慨章②如其果求yc的图滔形是毁分段学直线遥，那调么w图摇形也盟应该露对应续地分芦段，我即yc只能取自颠一条而直线。【例】上例（×）（√）正确做法为：【例】⑹两本个容稿易犯史的错事误：①纵稍标yc必须纸取自役直线休图形狼，即签，两仆图形详中如稻果只定有一梁个是册直线揪变化薄，那么干，曲直线的匹求w，派直线库的求yc。（×）静定仪结构秀位移偿计算第五愁章【例1】判意别下己列位新移计孟算是尝否正扮确，射并说番明理沫由。深如错己误，包改正熔之。位移状态虚力状态⑴求DCV错误，yc应取自一条直线。正确做法为：位移状态虚力状态⑵求DBV错误，MP图非标准抛物线。正确做法为：静定股结构足位移念计算第五窜章虚力状态【例2】已知图示梁EI=1.5×105kNm2，求给定荷载作用下C点的竖向位移。【解】静定祸结构励位移嫁计算第五纽奉章【解】【例3】求水压力作用下C、D之间的距离变化。已知各杆EI相同。三次抛物线二次抛物线静定宝结构锅位移咐计算第五跟章【解】【例4】求C截面转角。已知各杆EI为常量。静定忆结构慈位移改计算第五庸章【解】如何物求M煮图？复杂乖刚架先附茶属(眠BD恐E)越，再纱基本去(A挂CD誉)【例5】求E结点截面转角。已知各杆EI为常量。静定缠结构瓶位移凤计算第五龙章(转动弹簧)(线弹簧)(EB段)(CD+DE段)【解】杆件弯曲内力功线弹簧内力功转动弹簧内力功静定岔结构场位移扔计算第五最章【解】【例6】求涛图示涝结构耗C点徐的竖答向位练移。埋已知I＝0际.0异3Am2。静定痕结构岭位移愈计算第五细章§5孩-6静定闲结构食在广帐义荷唇载作航用下住的位丙移计发算一、劳静定舟结构声温度侧变化名时的爹位移星计算(A晓na裳ly炊si造s闹of寺D惹is终pl伟ac梢em舱en郊ts匆i疏n粘a指St损at得ic众al冲ly焰D改et支er陕mi筐na左te勇S巩tr唉uc寸tu伶re音s钟In殿du息ce荒d喜by卫Te轧mp辟er载at漏ur段e侨Ch浅an汽ge拆s)温度变化产生位移计算的一般公式等式泛及式权中各抓项的物嗽理含渗义？要求Dt的关键是温度产生的变形的计算。图示厚结构崖，设悠外侧网温度倾升高t1℃，内扎侧温册度升邻高t2℃，求K点的虑竖向善位移Dkt。为了分析，在结构杆件上任意截取ds微段。静定岗结构选位移枕计算第五踢章设温获度沿护杆件瓶截面挪厚度踢为线纸性分过布（筐温度隐场假衰定），则杆轴温度变化t0为：上、下边缘的温差Dt为：微段轴向伸长

为：温度变化不产生剪应变：微段截面相对转角

为：其中a为犬材料括的线荣膨胀触系数程。静定培结构蜜位移禁计算第五头章虚力获状态凳如下属：FP=1静定怜结构刑位移破计算第五鉴章由虚询功原类理，姿得对于想等截兴面直尤杆轴力图面积弯矩图面积上式礼中的元符号吗判断糖规则忠：注意闭：对丸于梁寻和刚吓架，换一般哲荷载由作用握下通我常忽捉略轴扶力产威生的叶位移，而括温度誓变化跟情况捉下轴沾力产冻生的伟位移不可攻忽略。t0、Dt取绝对值。若Dt引起的杆件弯曲变形方向和由

引起的弯曲方向一致，取正，反之取负。若t0引起的杆件轴向伸缩和由

引起的杆件轴向伸缩一致，取正，反之取负。静定旺结构距位移绢计算第五广章【解】建散立虚苗力状惭态【例1】图左示刚丧架施扰工时剥温度奶为2恨0℃器，试排求冬跌季外粮侧温蚁度赵-1辞0险℃，内侧串温度先为0迎℃这时A豪点的压竖向粥位移DAy。已沿知l=4拿m，a=1参0-5，各杆耕均为撤矩形史截面边杆，降高度h=0妨.4我m。虚拟力状态真实位移状态虚力页状态练内力辜图为检：图图静定炊结构仙位移烂计算第五翁章（支座位移引起的位移计算一般表达式）从而二、矿静定粮结构职支座王位移穿时的阵位移事计算(A辅na蹈ly耽si拐s朴of钥D闷is星pl效ac坚em属en唉ts属i少n采a诱St茅at鉴ic呀al亿ly搂D条et陷er绸mi末na款te仁S港tr麻uc群tu笛re旬s护In兼du螺ce止d躺by跳S扯up旦po女rt灶M由ov辣em筛en昂t)图(焦a)而所示写结构拖发生车支座晌位移C1、C2、C3，欲歼求K点竖那向位悲移DKC，建峡立图网(b琴)所起示的科虚力僚状态现。K(a)K1(b)真实位移状态虚拟力状态虚功财方程娇为We=Wi。静定结构在支座位移情况下，既不产生内力，也不产生变形，只发生刚体位移，故正确田理解菊公式强及其北各符特号的次物理晓含义静定霞结构根位移线计算第五离章【解】【例1】求C点水德平位飞移DCx。CBAA’C’CBA虚拟力状态位移萌方向风根据勿数值愚计算妄结果姻的正赤负判催别。静定巾结构旁位移缸计算第五遵章【例2】已咳知l=1述2m锦，h=8她m，DBx=0还.0倍4m哭，DBy=0昨.0歉6m疲，求A截面白转角fA。FAyFAx【解】建立虚力状态，并求支座反力。()静定散结构说位移窑计算第五烦章三、障静定巧结构庙制造鼻误差邪引起岔的位元移计讨算(A姓na炮ly应si访s佣of星D司is毒pl奇ac绳em盒en逝ts隙i泻n贴a野St奏at积ic肿al川ly匙D泄et赔er李mi举na鸡te尤S循tr劲uc浓tu本re绩s特In合du唯ce着d淋by摧M奋an普uf血ac序tu资ri雀ng萝E车rr顷or揪)制造轨误差瞎就是帜结构馒在位饿移状兵态的健变形须，故当应用警位移字计算广一般婆公式貌计算絮由制扣造误厌差引盐起的勺位移猎时，役只需伴建立遣虚力肌状态遵并求岛与制膀造误乎差对等应的挤结构评内力米，然昨后代该入位着移计催算一骂般公滔式即贵可。【例1】图询示桁救架每军根上坡弦杆灭加长甜了8她mm毅，求匙由此干引起贴的A减点竖般向位够移。AA静定葛结构喇位移纽奉计算第五抄章【例2】图义示结伶构A户B、土BC税原设绍计为申直杆萌，现瞧加工概成圆足弧，欣求由张此引吩起的威D点狭竖向讲位移端。DCAB【解】本软例制忆造误律差为勉弯曲苍变形震。建段立虚岸力状刊态如并下：DCAB弯矩鸽与弯捞曲变怀形一收致为追正静定授结构拜位移尖计算第五津章§5棵-7线弹稿性体崖系的渡互等丘定理（Re墓ci根pr详oc啊al筒T们he吊or北y警in怠L略in孝ea象r卵St孤ru宝ct袍ur用es）考虑敌体系贪受P1、P2共同如作用战的情提况。一、资功的缺互等宿定理推导方法一(a)(b)是同一线弹性体系的两个不同受力状态。12(b)状态Ⅱ12(a)状态Ⅰ⑴先役加P1、再誓加P2：12实功虚功静定粮结构嗽位移枣计算第五益章⑴先松加P1、再缠加P2：12实功虚功⑵先挨加P2、再虾加P1：12实功虚功因为功与路径无关，是状态的函数，所以，从而在线任性变皱形体条系中然，I迎状敞态的世外力盲在遍II扭状白态位竿移上兰所做蚊虚功朗，等涌于雁II蚂状俗态外惩力在员I欢状届态位念移上捉所做齐虚功晒，简进称功芽的互哀等。静定枣结构侧位移脾计算第五店章推导盏方法奥二12(a)状态Ⅰ内力记为N1、Q1、M1⑴状飞态Ⅰ眼作为垂力状原态，利状态斩Ⅱ作蛙为位茎移状吴态：12(b)状态Ⅱ内力记为N2、Q2、M2⑵状灾态Ⅱ旨作为型力状抛态，虽状态窗Ⅰ作桨为位屋移状职态：比较可见，功的互等定理适用条件？适用养条件监：线挪弹性欢结构凯体系状，小求变形胞假定伤。静定们结构撤位移嘴计算第五抽章二、悦位移骨互等闻定理12(b)状态Ⅱ12(a)状态Ⅰ对图示同一线弹性体系的两个不同受力状态应用功的互等定理，有从而，对同