新教材人教A版必修第二册8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积作业

课后素养落实(二十三)棱柱、棱锥、棱台的外表积和体积(建议用时：40分钟)一、选择题1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，那么它的外表积为()A．48(3＋eq\r(3)) B．48(3＋2eq\r(3))C．24(eq\r(6)＋eq\r(2)) D．144A[由题意，知侧面积为6×6×4＝144，两底面积之和为2×eq\f(\r(3),4)×42×6＝48eq\r(3)，所以外表积S＝48(3＋eq\r(3))．]2．长方体全部棱长的和为36，外表积为52，那么其体对角线的长为()A．4B．eq\r(29)C．2eq\r(23)D．4eq\r(17)B[设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xy＋yz＋zx＝52，,4x＋y＋z＝36，))可得体对角线的长为eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(x＋y＋z2－2xy＋yz＋zx)＝eq\r(92－52)＝eq\r(29)．]3．假设棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，那么该棱台的体积为()A．26B．28C．30D．32B[所求棱台的体积V＝eq\f(1,3)×(4＋16＋eq\r(4×16))×3＝28．]4．如图，ABC­A′B′C′是体积为1的三棱柱，那么四棱锥C­AA′B′B的体积是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)C[∵V三棱锥C­A′B′C′＝eq\f(1,3)V三棱柱ABC­A′B′C′＝eq\f(1,3)，∴V四棱锥C­AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)．]5．将一个正方体截去四个角后，得到一个四周体，这个四周体的体积是原正方体体积的()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,4)C[将正方体ABCD­A′B′C′D′截去四个角后得到一个四周体B­DA′C′．设正方体的棱长为a，那么V三棱锥B­B′A′C′＝V三棱锥A′­ABD＝V三棱锥C′­BCD＝V三棱锥D­A′C′D′＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×a×a×a＝eq\f(a3,6)，∴四周体B­DA′C′的体积V＝V正方体ABCD­A′B′C′D′－4V三棱锥B­B′A′C′＝a3－eq\f(2a3,3)＝eq\f(a3,3)，∴这个四周体的体积是原正方体体积的eq\f(1,3)．应选C．]二、填空题6．一个长方体的三个面的面积分别是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，那么这个长方体的体积为________．eq\r(6)[设长方体从一点动身的三条棱长分别为a，b，c，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝eq\r(6)．]7．棱长为1，各面均为等边三角形的四周体，那么它的外表积是________，体积是________．eq\r(3)eq\f(\r(2),12)[S表＝4×eq\f(\r(3),4)×12＝eq\r(3)，V体＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×12×eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),12)．]8．如图，正三棱锥S­ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，那么此正三棱锥的外表积________．27eq\r(3)[如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，那么SE⊥AB，SE＝h′．∵S侧＝2S底，∴eq\f(1,2)·3a·h′＝eq\f(\r(3),4)a2×2．∴a＝eq\r(3)h′．∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2．∴32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))eq\s\up12(2)＝h′2．∴h′＝2eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)h′＝6．∴S底＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，S侧＝2S底＝18eq\r(3)．∴S表＝S侧＋S底＝18eq\r(3)＋9eq\r(3)＝27eq\r(3)．]三、解答题9．四周体ABCD中，AB＝CD＝eq\r(13)，BC＝AD＝2eq\r(5)，BD＝AC＝5，求四周体ABCD的体积．[解]以四周体的各棱为对角线复原为长方体，如图．设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝13，,y2＋z2＝20，,x2＋z2＝25，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，,z＝4.))∵VD­ABE＝eq\f(1,3)DE·S△ABE＝eq\f(1,6)V长方体，同理，VC­ABF＝VD­ACG＝VD­BCH＝eq\f(1,6)V长方体，∴V四周体ABCD＝V长方体－4×eq\f(1,6)V长方体＝eq\f(1,3)V长方体．而V长方体＝2×3×4＝24，∴V四周体ABCD＝8．10．在四棱锥E­ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD,2AB＝3CD，M为AE的中点，设E­ABCD的体积为V，那么三棱锥M­EBC的体积为多少？[解]设点B到平面EMC的距离为h1，点D到平面EMC的距离为h2，连接MD，由于M是AE的中点，所以VM­ABCD＝eq\f(1,2)V，连接MB，MC，利用等体积法可知VE­MBC＝eq\f(1,2)V－VE­MDC，而VE­MBC＝VB­EMC，VE­MDC＝VD­EMC，所以eq\f(VE­MBC,VE­MDC)＝eq\f(VB­EMC,VD­EMC)＝eq\f(h1,h2)．又B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，而AB∥CD,2AB＝3CD，所以eq\f(h1,h2)＝eq\f(3,2)，即eq\f(VB­EMC,VD­EMC)＝eq\f(3,2)，所以VE­MBC＝VM­EBC＝eq\f(3,5)×eq\f(1,2)V＝eq\f(3,10)V．1．我国古代数学名著?九章算术?对立体几何有深化的讨论，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵〞意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马〞指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如下图的“堑堵〞即三棱柱ABC­A1B1C1，其中AC⊥BC，假设AA1＝AB＝1，当“阳马〞即四棱锥B­A1ACC1体积最大时，“堑堵〞即三棱柱ABC­A1B1CA．eq\r(2)＋1 B．eq\r(3)＋1C．eq\f(2\r(2)＋3,2) D．eq\f(\r(3)＋3,2)C[Veq\s\do7(四棱锥B­A1ACC1)＝eq\f(1,3)AC·AA1·BC＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)AC·BC·AA1＝eq\f(2,3)Veq\s\do7(三棱柱ABC­A1B1C1)，Veq\s\do7(三棱柱ABC­A1B1C1)＝eq\f(1,2)AC·BC·AA1＝eq\f(1,2)AC·BC≤eq\f(1,4)(AC2＋BC2)＝eq\f(1,4)AB2＝eq\f(1,4)，当且仅当AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)时取等号，即当AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)时，Veq\s\do7(三棱柱ABC­A1B1C1)取得最大值，此时四棱锥B­A1ACC1的体积最大．那么此时三棱柱ABC­A1B1C1的外表积为2×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)＋1))×1＝eq\f(3＋2\r(2),2)．应选C．]2．鲁班锁起源于中国古代建筑的榫卯结构．鲁班锁类玩具比拟多，外形和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装．图1是一个鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，那么该鲁班锁玩具的外表积为()图1图2A．8(6＋6eq\r(2)＋eq\r(3)) B．6(8＋8eq\r(2)＋eq\r(3))C．8(6＋6eq\r(3)＋eq\r(2)) D．6(8＋8eq\r(3)＋eq\r(2))A[由题图，可知该鲁班锁玩具可以看成是由一个棱长为2(1＋eq\r(2))的正方体截去了8个正三棱锥而得到的，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为eq\r(2)，那么该鲁班锁玩具的外表积为6×[4×(1＋eq\r(2))2－4×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)]＋8×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝8(6＋6eq\r(2)＋eq\r(3))．应选A．]3．如图，半径为2的半球内有一个内接正六棱锥P­ABCDEF，那么此正六棱锥的侧面积是________．6eq\r(7)[明显正六棱锥P­ABCDEF的底面的外接圆是球的直径所在的圆，由，可得该圆的半径为2．易得其内接正六边形的边长为2．又正六棱锥P­ABCDEF的高为2，那么斜高为eq\r(22＋\r(3)2)＝eq\r(7)，所以该正六棱锥的侧面积为6×eq\f(1,2)×2×eq\r(7)＝6eq\r(7)．]4．某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如下图，其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3，三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形，侧棱长为3，那么此几何体的体积是________，外表积是________．90138[该几何体的体积V＝4×6×3＋eq\f(1,2)×4×3×3＝90，外表积S＝2(4×6＋4×3＋6×3)－3×3＋eq\f(1,2)×4×3×2＋eq\r(32＋42)×3＋3×4＝138．]有两个相同的直三棱柱，高为eq\f(2,a)(a＞0)，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在全部可能的情形中，外表积最小的是一个四棱柱，求实数a的取值范围．[解]由题意，知这两个直三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，有如下四种状况：①边长为5a，eq\f(2,a)的面重合在一起，拼成一个四棱柱，外表积为24a2＋28；②边长为4a，eq\