九年级人教版圆圆的复习

第一课时：圆的基本性质本章知识结构图圆的基本性质圆圆的对称性:垂径定理弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系与圆有关的位置关系正多边形和圆有关圆的计算点和圆的位置关系切线直线和圆的位置关系三角形的外接圆三角形内切圆等分圆圆和圆的位置关系弧长扇形的面积圆锥的侧面积和全面积圆的定义（运动观点）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O”第一部分：圆的定义辨析篮球是圆吗？圆必须在一个平面内以3cm为半径画圆，能画多少个？以点O为圆心画圆，能画多少个？由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置圆是“圆周”还是“圆面”？圆是一条封闭曲线圆周上的点与圆心有什么关系？点与圆的位置关系圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：点在圆上

d=r

点在圆内

d<r

点在圆外

d>r（拓展一）：1.在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,D为AB的中点，E为AC的中点，以B为圆心，BC为半径作⊙B，问：（1）A、C、D、E与⊙B的位置关系如何？（2）AB、AC与⊙B的位置关系如何？EDCAB··2.已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4，若以A为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？BDAC431.设AB＝3厘米，说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形．

(1)和点A的距离等于2厘米的点的集合；

(2)和点B的距离大于2厘米的点的集合；

(3)和点A，B的距离都等于2厘米的点的集合；

(4)和点A，B的距离都小于2厘米的点的集合（拓展二）、点的轨迹A·2cmB·2cmAB·2cm1．与半径3cm的定⊙O相外切的半径2cm的⊙P的圆心轨迹是____．2．与已知∠AOB的两边都相切的圆，圆心的轨迹是____．3．经过已知点A、B的圆的圆心轨迹是____．4．与两条平行线都相切的圆的圆心的轨迹是_____．5．与直线l相切且半径为2cm的圆的圆心轨迹是_____．6.在r=5cm的⊙O中，弦AB=6cm，弦AB在⊙O上滑动，则弦AB的中点C的轨迹是___________.练习二垂径定理垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。第二部分：判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！定理辨析练习OABE若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？变式1：AC、BD有什么关系？变式2：AC＝BD依然成立吗？变式3：EA＝____,EC=_____。FDFB变式4：______ AC=BD.OA=OB变式5：______ AC=BD.OC=OD变式练习如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。MAPBO辅助线关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。推论1（拓展一）过三点的圆及外接圆1.过一点的圆有______________个2.过两点的圆有______________个，这些圆的圆心的轨迹是_______________3.过三点的圆有______________个4.如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村庄距离相等）5.锐角三角形的外心在三角形____，直角三角形的外心在三角形____，钝角三角形的外心在三角形____。无数无数0或1内外连结着两点的线段的垂直平分线6.已知△ABC，AC=12，BC=5，AB=13。求作△ABC的外接圆。7.圆的半径为R，其内接正三角形的边长为__________8.Rt△ABC的斜边AB，他的外接圆半径面积为121πcm2，求AB的长9.一直角三角形的面积为12cm2，周长为 ，求直角三角形的外接圆半径10.△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求外接圆半径。·AOCB（拓展二）、四点共圆1.已知：△ABC中，BD、CE是两条高。求证：B、C、D、E四点在同一个圆上(或求证四边形BCDE一定有外接圆)AEDCB┏┏求证：菱形ABCD,对角线交于点O，各边的中点E、F、G、H四点在同一个圆上．

····DCBAHGFEO想一想：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形中，哪些有外接圆？相关知识点、反证法步骤：１．提出假设２．从假设出发，推出矛盾３．假设不成立１．在△ABC中，Ｄ、Ｅ分别在ＡＣ、ＡＢ上，ＢＤ、ＣＥ相交于点Ｏ，证明：ＢＤ和ＣＥ不可能互相平分证明：假设ＢＤ和ＣＥ互相平分则ＯＥ＝ＯＣ、ＢＯ＝ＯＤＤＡＣＢＯＥ第三部分：圆心角、弧、弦、弦心距的关系、圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合。圆心角：顶点在圆心的角。（如：∠AOB）C弦心距：从圆心到弦的距离。（如：OC）OAB相关定义圆心角所对的弧相等，圆心角所对的弦相等，圆心角所对弦的弦心距相等。推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。题设结论在同圆或等圆中(前提)圆心角相等（条件）定理推论1.在⊙O中，半径OA⊥OB，AC=CD=DB,AB交OC于E，交OD于F.求证：AE=CD=BF⌒⌒⌒·DCBAO2.⊙O1与⊙O2为等圆，M是O1O2的中点，过M作一直线交⊙O1于A、B，交⊙O2于C、D。求证：AB=CD⌒⌒··O2O1MDCBAEF┏┗4.如图，∠BAC=50°，则∠D+∠E=__________·ABEOCD5.在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，则这个三角形的外接圆直径是___________6.已知，点O是△ABC的外心，∠BOC=130°，则∠A的度数为________。230°10或865或115°··OACBCBAO如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？推论2弧AE＝弧BF圆的两条平行弦所夹的弧相等。FOBAECD第四部分：圆周角定理及推论CDF圆心角：如∠BOA圆内角：如∠BCA圆周角：如∠BDA圆外角：如∠BFA角的顶点在圆心角的顶点在圆周上是否顶点在圆周上的角就是圆周角呢?动起来!圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。圆心角:顶点在圆心的角.看清要点一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半定理化归化归圆周角定理分类讨论完全归纳法数学思想1、已知∠AOB＝75°，求：∠ACB2、已知∠AOB＝120°，求：∠ACB3、已知∠ACD＝30°，求：∠AOB4、已知∠AOB＝110°，求：∠ACB推论定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？什么时候圆周角是直角？反过来呢？直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？OBADEC1、如图，比较∠ACB、∠ADB、∠AEB的大小同弧所对的圆周角相等如图，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？反过来呢？DCEBFAO等弧所对的圆周角相等；在同圆中，相等的圆周角所对的弧也相等DCEO1BFAO22、如图，⊙O1和⊙O2是等圆，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？反过来呢？等圆也成立推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。思考：1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。FED推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。推论3 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。什么时候圆周角是直角？反过来呢？直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？1.在⊙O中，弦AB所对的圆心角∠AOB=100°，则弦AB所对的圆周角为______________.2.⊙C