量子力学习题解答-第3章

word文档精品文档分享第三章形式理论本章主要内容概要：力学量算符与其本征函数量子力学中力学量〔可观测量〕用厄米算符表示，厄米算符满足*??*Q(f)x(g)xdxf(x)Qg(x)dx或者用狄拉克符号，??fQgQfg，其中f(x),g(x)为任意满足平方可积条件的函数〔在x，f(x),g(x)为零〕。厄米算符具有实本征值的本征函数〔系〕，具有不同本征值的本征函数相互正交，假设本征值为别离谱，本征函数可归一化，是物理上可实现的态。假设本征值为连续谱，本征函数可归一化为函数，这种本征函数不是物理上可实现的态，但是它们的叠加可以是物理上可实现的态。一组相互对易的厄米算符有共同的本征函数系。而两个不对易的厄米算符没有共同的本征函数系，它们称为不相容力学量。对任意态测量不相容力学量??Q,F，不可能同时得到确定值，它们的标准差满足不确定原理2word文档精品文档分享2QF1??Q,F2iword文档精品文档分享2.广义统计诠释?具有别离谱的正交归一本征函数系fn(x)本征值为qn，即设力学量Q?x)x),*n(x)dxmnmn,1,2,3,...nnmf,Qfn((x)fqf(或?qnfn,fmfnQfnmn这个本征函数系是完备的，即fnfn1〔恒等算符，封闭型〕，任意一个波函数可以n用这个本征函数系展开(xtcnfnx或fnfncnfn,)(),nnn展开系数为cn(t)fn*(x,t)dxfn(x)假设(x,t)是归一化的，cn也是归一化的，cn21。广义统计诠释指出，对(x,t)态n测量力学量Q，得到的可能结果必是Q本征值中的一个，得到2qn几率为cn。对系综测量力学量Q〔具有大量一样态系综中的每一个进展测量〕所得的平均值〔期待值〕为Qqn2cnn*?dx计算方法等价。这与用QQ如果力学量?具有连续谱的本征函数系Q?(x)qfq(x),*(q'),Qfqfq(x)f'(x)dxqqword文档精品文档分享任意一个波函数可以用这个本征函数系展开为word文档精品文档分享(xt)cqfqxdq或cqfndq,()由于q连续变化的，展开系数cq是q的函数可以表示为c(q,t)，其归一化表示为2。广义统计诠释指出，对(x,t)态测量力学量Q，得到结果处于q到qdqc(q,t)dq1之间的几率为c(q,t)22dq，即c(q,t)是几率密度。3.表象理论对任意一个物理态可以用一个力学量的本征态展开，比方假设用坐标的本征态x〔连续谱〕，(x,t)x(x,t)xdx那么展开系数(x,t)称为坐标表象的波函数。我们可在坐标表象用波函数(x,t)来研究这个态。假设用动量的本征态p，那么有C(p,t)pdpC(p,t)p展开系数C(p,t)称为动量表象的波函数，我们可在动量表象用波函数C(p,t)来研究这个态。的性质都是唯一确定的，无论用什么表象研究都是一样的。当力学量F?的本征态为分立谱fn时，cnfn,cnfnn在F?表象中，可以方便的用矩阵形式来表示各种量子力学的公式。这个表象的波函数〔展word文档精品文档分享开系数cn可表示为一列矩阵，算符c1G11G12c2G21G22ΨG......cnGn1.........表示为一个方矩阵G...Gn1.....................?*?G(ffmGfnf(m)x)xdxGmnn...Gnn............word文档精品文档分享波函数的归一化表示为c1c2?***2cn11c1c2cnncn的平均值表示为G11G12...Gn1...c1?G21G22.........c2G?**cn*GGc1c2...............Gn1......G...............的本征方程表示为word文档精品文档分享解久期方程G11G12G21G22......Gn1............Gn1...........Gnn...... a1....a2.........an......aaa12nword文档精品文档分享可以得到本征值G11G12...Gn1...G21G22.....................0...Gn1......Gnn..................，把某一个本征值代入本征方程可以的到对应这个本征值的本征函数。word文档精品文档分享习题3.1：〔a〕证明，全体平方可积函数构成一个矢量空间〔参考A.1节中的定义〕。提示：要点是证明两个平方可积函数之和也是平方可积的，利用3.7式。全体可归一化的函数构成一个矢量空间吗？〔b〕证明3.6式中的积分满足内积条件〔A.2节〕。证明：〔a〕我们需要证明两个平方可积函数之和也是平方可积的。设为f,g为区域a,b上的任意两个平方可积函数，即b2b2。fffxdx,gggxdxaa设hfg那么有hhfgfgffggfggf，其中bb*fgf*gf*xgxdx,gxfxdxfg。aa由Schwarz不等式，假设f,g皆平方可积，那么fggfffgg。因此，fgfgffggfggf。即fg也是平方可积函数，因此特定区域上的全体平方可积函数构成矢量空间。word文档精品文档分享很容易证明全体可归一化函数不构成一个矢量空间：设f为任一可归一化函数，由于word文档精品文档分享ffff,f亦是可归一化函数，但f(f)0不可归一化，另外2fff，但是2f2f4，也不是归一化的，因此全体可归一化函数不构成一个矢量空间。b〕对于不同的条件有不同的矢量内积定义，此题所指是通常意义下的线性空间两矢量内积，即内积满足如下条件：1.c1f1c2f2g*f1g*c1c2f2g；2.fc1g1c2g2c1fg1c2fg2；3.fggf*；4.ff是实数，且ff0，仅当f(x)0等号成立。由3.6式定义的内积fgb*xgxdx,fa可验证：1.b**b**b*c1f1c2f2gc1fc2f2gxdxf1c1af1xgxdxc22xgxdxaa*b**b***fxgxdxcf2gc1a12af2xgxdxc1f1gc22.fc1g1c2g2b*xc1g1xc2g2xdxfabb*c1*xdxc2xg2xdxc1fg1c2fg2afxg1af3.bb**fgf*xgxdxg*xfxdxgfaa4.b20，为实数，等号仅当f0成立。ffafxdx所以关于内积的四个条件都成立。word文档精品文档分享习题〔a〕3.2：vX围取什么值时，函数f(x)xv〔0x 1〕是在希尔伯特空间中？假设v是实word文档精品文档分享〔b〕数，但不必是正数。对于特定情况 v1/2，f(x)在希尔伯特空间吗？xf(x)呢？d/dxf(x)呢？word文档精品文档分享解：word文档精品文档分享〔a〕1*，ff0xxdx由于为实数，因此ff121211xdxx0021显然〔1〕210时，ff〔；2〕210时，ff1〔；3〕21012时，ff11limx21。综上知，假设要使fxx,0x1处于21x0Hilbert空间中，必有210即1。2〔b〕由〔a〕知，fxx,0x1处于Hilbert空间中的条件为1/2，所以当3，d111/2时，f(x)x1/2，xfxx2fxx2，因此，fx、xfx在dx2Hilbert空间中，d不在。fxdx*习题3.3证明如果对于所有〔希尔伯特空间中〕的函数h都有??hQhQhh，那么，对于所有的f和g就有f??g〔即，两种对于厄密算符的定义—等式3.16和3.17—QgQf是等价的〕。提示：首先设hfg，然后令hfig。证明：假设对于Hilbert空间中任意函数h，都有??hQhQhh，设h(x)f(x)cg(x)，其中c是一任意常数〔复数〕我们有word文档精品文档分享hQhf?cg)??*?2cgQ(ffQfcfQgcgQfc?cg)fcg??*?2QhhQ(fQffcQfgcQgfc?*??*?cfQgcgQfcQfgcQgf?gQg?Qg gword文档精品文档分享上式对任意常数c都成立，分别取c1,i，有f?g?Qf?Qfg?QgfQgf?g?Qf?Qfg?QgfQgword文档精品文档分享两式相加得到所要结果word文档精品文档分享??。fQgQfg习题3.4〔a〕证明两个厄密算符之和仍为厄密算符。?是厄密的，是一个复数。在什么条件下〔的〕?也是厄密的？〔b〕假设QQ〔c〕在什么条件下两个厄密算符的积也是厄密的？〔d〕证明坐标算符〔xx〕和哈密顿算符〔H?(2/2m)d2/dx2V(x)〕是厄密算符。证明：??f(x),g(x)有〔a〕设Q,S是两个厄密算符，那么对任意函数??，??，fQgQfgfSgSfg又????????f(QS)gfQgfSgQfgSfg(QS)fg，??仍是厄密算符。QSb〕f?f?QgQg?g*?QfQfg两式相等，必须为实数。所以当为实数时?也是厄密的。Q〔c〕??是厄密算符，那么有Q,S??????????fQSgfQ(Sg)fQ(Sg)QfSgSQfg??是厄米的，必须有如果QSf????gQSgQSf)????即两厄密算符在对易的条件下，其积才是厄密的。即QSSQ，〔d〕证：?**?，fxxgxdxxfxgxdxgfxgxfword文档精品文档分享2d2f?f*xVxgxdxHg2mdx22*dg2df*dg*dxVxfxxdx2mf2mdxdxgdx2*2d2*dff*gdx2m2gdxfxVxgxdx2mdx2d2f*Vxfgdx?g2Hf2mdx中间两步利用了在x时，f()g()0以及势能V(x)是实函数的条件。所以我们有f??g，??即?fHgHfg，x?,H都为厄密算符。xgxf???，有习题3.5算符Q的厄密共轭算符〔伴算符〕是算符Q??〔对所有的f和g〕.fQgQfg〔所以一个厄密算符与它的厄密共轭算符相等：???。〕QQ〔a〕给出x，i，和d/dx的厄密共轭算符。〔b〕构建谐振子的升阶算符a〔等式2.47〕的厄密共轭算符。?c〕证明??????。QRRQ解：〔a〕由上题知，x?为厄密算符，所以?x?x?。由于figifg*ifg，ifg所以i?。ifdf*d*d*gxgxdxfgfxgxdxdxdxdxd*dxgxdxfgfdxdx所以?d。dxdxword文档精品文档分享b〕word文档精品文档分享?1(m??)，a2mxipx,p是厄米算符，?i〔i与任何算符都是对易的〕，所以i????1(m?????)1(m??)??a2mxip2mxipa〔c〕设f，g为任意函数，那么?????，fQRgQRfg又???????????，fQRgfQRgQfRgRQfg与上式比拟知word文档精品文档分享???QR推广????。〔注意算符的次序变化〕RQword文档精品文档分享???????????NM...QRRQ...MN习题3.6考虑算符?d2d2，其中是极坐标中的方位角〔同例3.1〕，并且函数同样遵从Q?是厄密算符吗？求出它的本征函数和本征值。?的谱是什么？这个谱是简并吗？3.26式。QQ解：2*dg2df*2df*?f2f*dgdf2dgddgQg0200ddddddd0*22*，df?2dfggdQfg02dd0?d22是厄密算符。以上证明中利用了周期条件所以Qdword文档精品文档分享f2d2的本征方程为Q2d2d2d解为f，g2g。fqf，word文档精品文档分享fqAe由周期性条件f2f，得到q22ni或者qin,(n0,1,2,...)因此本征值为qn2给定一个n，有两个本征函数〔ein,ein〕它们的本征值一样，所以是二重简并的〔n0除外〕。如果让n取负值，本征函数可以表示为fAein,n(0,1,2,...)习题3.7〔a〕假设f(x)和g(x)是算符Q?的两个具有一样的本征值q的本征函数。证明任何f和g的线性迭加也是与?具有一样本征值q的本征函数。Q〔b〕验证fxexpx与gxexpx是算符d2dx2具有一样的本征值的两个本征函数。构造两个的f和g的线性的组合，使它们在〔-1，1〕X围内是正交的。〔a〕证：依题意有?xqfx?xqgx。Qf,Qg设hxafxbgx，其中a,b为任意常数〔复数〕，那么有?x?afxbgx?x?xQhQaQfbQg。aqfxbqgxqafxbgxqh(x)〔b〕222d2dfxdexpxfx;dgxexpxgx。dx2dx2dx2dx2是算符d2因此，fx，gx属于本征值1的两个本征函数。可由对称化和反对称化来dx2构造正交的本征函数h1(x)1f(x)g(x)cosxh2h2(x)1f(x)g(x)sinhx2显然它们是正交的，因为一个是偶函数，一个是奇函数。习题3.8a〕验证例题3.1中厄密算符的本征值是实数。证明〔具有不同本征值的〕本征函数是正交的。word文档精品文档分享b〕对习题3.6中的算符做同样的验证。解：〔a〕例题3.1中的厄密算符和本征函数为?diqf()AeQid本征值〔分立谱〕q 0, 1, 2,...显然本征值是实数。对任意两个本征函数iq'q'fq()()i,qAe,'fAeqq有q'2'iq2iqefqf'*A'q*A'0AqedAq'qq0qi(qq)0〔b〕题3.6中的算符和本征函数为word文档精品文档分享dd22fn()Aein,n0,1,2word文档精品文档分享本征值为qn2〔二重简并〕，显然本征值为实数。i2ffA*AeinmdA*Anm2e0,nmnmnm0nmi(nm)word文档精品文档分享所以算符d02具有不同本征值的本征函数是正交的。〔在nm情况下，两个态的本征值2word文档精品文档分享d一样，但是它们也是正交的〕习题3.9(a)从第二章中列举一个仅具有分立谱线的哈密顿〔谐振子除外〕。(b)从第二章中列举一个仅具有连续谱的哈密顿〔自由粒子除外〕。(c)从第二章中列举一个既具有分立谱又具有连续谱的哈密顿〔有限深方势阱除外〕。解：易知〔a〕〔b〕〔c〕的答案分别为：无限深方势阱，函数势垒，函数势阱。习题3.10无限深方势阱的基态是动量的本征函数吗？如果是，它的动量是什么？如果不是，为什么不是？解：无限深方势阱的基态为2sinx,0xa，1xaa动量算符?d，由于pidxword文档精品文档分享p?d2x2cosxicotx1x，1xisinidxaaaaaaa由于?x常数1xp1所以1(x)不是动量的本征函数。〔对无限深方势阱的能量本征函数n，它是向右传播的平2mEnn面波和向左传播的平面波的叠加，两个波的动量数值一样〔〕，但是符号相a反，所以不是动量的本征函数，但是动量平方算符的本征函数。〕习题 3.11对谐振子的基态，求出其动量空间的波函数(p,t)。测量该状态的动量，发现其结果处于经典X围〔具有一样能量〕之外的几率是多大〔准确到两位数〕？提示：数值计算局部可查阅数学手册中“正态分布〞或“误差函数〞局部，或者使用Mathematic软件。解：谐振子基态在坐标空间中的波函数1mm42xit/2x,te2e,0那么动量空间的波函数为1it/2m42xp,teipx/0x,tdxmeeipx/e2dx2，1t/2i21m4ep2/2mp2/2meit/22me(m1/4e)p,t212ep/mm经典X围为p2mE0m所以发现粒子动量在经典动量以外的几率为m22word文档精品文档分享P pm(p,t) dpm2122(p,t)dp10m(p,t) dpmme p2/mdp0word文档精品文档分享令word文档精品文档分享2mzp, dpdzm21m122z/2211p2/mez2/21edpdzedzF(2)m020222查正态分布表F(2)0.9215所以Ppm12 F( 2)0.50.157习题3.12证明xid.pp提示：注意到xexp(ipx/)i(d/dp)exp(ipx/)。那么，在动量空间，坐标算符那么可表示为i/p。更普遍的有?dx,在坐标空间;Qx,xiQ(x,p)?,pdp，在动量空间.Qip原那么上，可以像在坐标空间一样在动量空间进展所有的计算〔当然并不总是很简便〕。证明：由x,teipx/p,t dp我们有word文档精品文档分享*x,txx,tdxx1*ip'x/eipx/p,tdpx''2ep,tdpdx1*p,tipx/ip'x/''2exedxp,tdpdp*p,td1ipx/ip'x/'i2eedxp,tdpdpdp*p,tid'''(pp)p,tdpdpdp*idp,tdpp,tdp习题3.13证明以下的对易关系等式：AB,CA,BC,AC.B(b)证明xn,pinxn1.(c〕对任意函数f(x)，更一般的证明f(x),pdf.idx证明：〔a〕可知左边??????，右边????????????????，ABCCABABCCBACCABABCCAB左边右边，故有?????????。AB,CAB,CA,CB〔b〕利用数学归纳法证明：〔1〕n1时，有x,pi，显然成立。〔2〕假设nk时成立，即有xk,pikxk1。〔3〕nk1时，有k1k，利用〔a〕中结论，那么有x,pxx,pk1kx,pxkx,pxx,p因为xk,pikxk1，所以xk1,pikxkixkik1xk。即nk1时也成立。所以word文档精品文档分享xn,pinxn1。〔c〕取任意波函数x，那么有fx,pxifxdxdfxxdxidxifdxdfxxifdxxdxix，dxdxidfxxdx由于(x)是任意函数，所以有fx,pidf。dx*习题3.14证明著名的“〔名副其实的〕不确定原理〞联系着坐标〔Ax〕的不确定性和能量〔Bp2/2mV〕的不确定性：xHp.m对于定态这个并不能告诉你更多为什么？证：由两个算符之间的不确定关系1，ABA,B2i对坐标和哈密顿算符有12x,p，xHV2i2m由于22x,pVx,px,V1x,p21px,px,pp12ip，2m2m2m2m2m所以有word文档精品文档分享xH11p。2i2ip2m2mword文档精品文档分享对于定态，我们已经知道H0〔能量有确定值〕，p0。上式显然成立，因此我们无法从中再获取新的信息。word文档精品文档分享习题3.15证明两个非对易算符不能拥有共同的完备本征函数系?.提示：证明如果P?和Qword文档精品文档分享拥有共同的完备本征函数系,那么对于希耳伯特空间的任意函数有??.[P,Q]f0证明????:假设Pnnn和Qnnn〔即：nx是P和Q的共同本征方程〕，并且函数集n是完备的，因此任意〔Hilbert空间中的〕函数f(x)都能表示成n线性叠加cnn，那么有word文档精品文档分享??????cn?cnnnP,QPQQPnPcnnnncnnnn0?cnnnQword文档精品文档分享因为上式对任意的都成立，所以得到??，这显然与所给条件矛盾，所以两个非P,Q0对易算符不能具有共同的完备本征函数系。习题3.16求3.67式所给方程hdiax-x-pidx的解。注意x和p都是实常数。:dipaxidxiaxiaxxpadaipdxlnax2xipxx2xx常数aax2aB是一个新的常数让常数B2lnax2ipB2xxa2ipxaxx2ipxBxxBe2Aexp2.Aedi?习题3.17在下面的具体例子中应用公式???Q：〔a〕Q=1；〔b〕dtQH,QtQH；〔c〕Qx；〔d〕Qp。在每种情况下，解释结果，特别是参考公式1.27，1.33，1.38和能量守恒〔2.39式后的评注〕。解：〔a〕di?d1100H,1dtdtt上式说明波函数的归一化不随时间改变.word文档精品文档分享〔b〕d?i??H?dtHH,Ht当H?中不显含时间时得到d?i??:0HH,Hdt此即能量守恒.di?i2p(c)???xp?dtxH,xt2m,xmdi?iV(d)???p?dtpH,ptV(x),px这就是Ehrenfest定理，量子力学中的牛顿运动方程。习题3.18对习题2.5中的波函数和可观测量x通过计算H,x和dx/dt来验证能量-时间不确定原理。解：习题2.5中的一维无限深势阱〔0xa〕的定态叠加波函数为x,t11eiE1t/2eiE2t/2HE11HE1HE11,HE2H2E2H22111222E22H21E12E22H1E1E2222H221221E121E22HH2E1E24E14E111E2E12E1,3HE222ma22x211|x2|12|x2|21|x2|2eiE1E2t/2|x2|1eiE2E1t/2n|x2|m2x2sinnxsinmxdx1ax2cosnmxcosnmxdxaa0aaa0aa而232a2kxkakxk2aaxcosxdx22cosx2sinx0akakaa0332a2ak是不为零的整数k22coskk221k2nmnm2114nm22a2a1nmn|x|m2nm2nm222m22nword文档精品文档分享22216a1|x|22|x|129由习题2.4知2211n|x|na322n所以1111122a2a216aiE2E1t/iE2E1t/x23238292ee221516cost,E2E132a31622292ma从习题2.5知22a322a6432cos2x12costx12cost2t29499dx16asintdt29所以25322222a1cos2txxx4322349能量时间不确定原理(3.72式)给出22dx22Hx4dtword文档精品文档分享22Hx121532216a22acos2t44322t22sin49922word文档精品文档分享11532cos2t8sint163292249221158sin2t8cos2t8163222249991532234292估算一下两边大小153220.20668;0.1297832924显然满足能量时间不确定原理。word文档精品文档分享习题3.19对习题2.43中的自由粒子波包和力学量x通过计算H,x和dx /dt来验证能量-时间不确定原理。解：由习题2.43，对题给的自由粒子波包，我们有ldxl21122atx,t，x42,mdtm4amH1p212al22m2m为了得到H我们需要计算H2。对自由粒子，Hp2所以2mH21p41p42dpp,t4m24m2其中p,t1eip/x,tdx2由习题2.43word文档精品文档分享1/4x,t2a11/42a211/42a2所以l2l2/1i1aix4ae2ae1i1l2/4apl/2aipy/eee1 i1e l2/4aepl/2aeipy/1 iay2/1iedyay2/1iedyword文档精品文档分享1/42aixl12a1l2/4a/1iilp,teipx/2a21ieedx令yx2a11/412ael2/4apl/2aipy/ay2/1i积分见习题2.22eeedy21i11/41p21i2ael2/4apl/2a1i4a2eae21i1/4p21i11l2/4apl/2ae4a2ee2aword文档精品文档分享2211p1l2/2apl/a2p,teee2ae2a2a1l22pl2p2a212lp//2ae2aword文档精品文档分享12/2adp令pp4p4elp/lz,dpdz2a1432a26l22a45z/2adz2a2al42azle22a2a424422423a2243a6allH26all4m2422224224HHH23a6alla2all4m4224aa2l24m22a4al22m41242a222a22atl212atHx2a2l1m4m21m2m4a2l422l22x2ld24m4dt4m所以题给的自由粒子波包满足能量时间不确定原理。习题3.20证明当问题中的可观测量为x时，能量-时间不确定原理复原为“名副其实〞的不确定原理〔习题3.14〕。dxdx证：当Qx时，能量-时间不确定原理为Hxdt，但是pm,所以2dtxHp，再由x,H1x,p21px,px,ppip2m2m2mm得到“名副其实〞的不确定原理，1x,HxH2i3.21证明投影算符是等幂的：2P。求出P本征值，描述它的本征矢量。习题P证：设任意态矢量，有2PPPPP所以P2注意:说两个算符相等是指这两个算符对于任意矢量作用结果一样]P[如果是P的属于本征值2P2所以2的本征矢量,那么有P，word文档精品文档分享因此P的本征值是 0和1，任何一个含有态的矢量是P的属于本征值1的本征矢，任何word文档精品文档分享与正交的本征矢是P的属于本征值0的本征矢。习题3.22考虑由正交归一基1，2，3X成的三维矢量空间。右矢和由下式给定i122i3，i123。〔a〕给出和〔以对偶基1,2,3表示的〕。〔b〕求出和并证实*。〔c〕在这个基中，求出算符A里的9个矩阵元，并写出矩阵A。它是厄密矩阵么？解：〔a〕i122i3;i123b〕i122i3i1231i2i123i122i31i*2c〕A1111ii1,A1212i00A1313i22i,A21212i2iA2222200,A2323224A3131ii1,A3232i00A3333i22i102iA2i04102i显然它不是厄密矩阵。word文档精品文档分享习题3.23一个两-能级体系的哈密顿为：word文档精品文档分享H(1 12 21 22 1)，word文档精品文档分享这里1，征矢〔用12是正交归一基，是量纲为能量的一个实数。求出它的本征值和归一化的本和2的线性迭加〕。相应于这个基表示H的矩阵H是什么？word文档精品文档分享解：相应于这个基表示H的矩阵H的矩阵元是1H 1,H12,H 21H,2211H11本征方程为word文档精品文档分享11c1Ec11c2c2久期方程为E0(E22)20E2E把E2代入本征方程，有11c12c1c1c22c1c221c11c2c2归一化22221c1211c1c21c11422〔得到c1时不计一任意相因子〕，所以对应E2的本征态为11212422同理把E2代入本征方程，有11c12c1c1c22c1c221c11c2c2归一化22221c11211c1c21c1422所以对应E2的本征态为11212422习题3.24?有一组完备的正交归一本征矢：设算符QQenqnen(n1,2,3,...).?证明Q可以被写成谱分解形式：?qnenenQnword文档精品文档分享提示：一个算符是通过它对所有可能矢量的作用来表征的，因此你需要证明的是，对于任意矢量来说，有：word文档精品文档分享Qqnen en.n证：设为一任意态矢量，它可以用en展开为cnen,cnen，n所以有??enqnenqnenen?qnenenQcnQenQnnnn习题3.25勒让德多项式。用格拉姆－施密特方法〔习题A.4〕在区间1x1里来正交归一化函数1，x,x2,x3。你可能会认出这些结果—(除了归一化外)它们是勒让德多项式〔表4.1〕。word文档精品文档分享e11;e1e112'11dxe112e'111ex;e2xdx0;e2e2xdx211212'1122'e3x;e1e3xdx,e2e3123设e'ce32e'cx213313它与e1'及e2'正交，归一化11281''2x2dx2ce3e3c1c345'45215321e38x322x2ex3;e'e113dx0;e'e44x12124e'e513x51x3dx03421222e2'3x3233xdx0,2458314326xdx21255word文档精品文档分享设e4'ce46e2'cx33x55word文档精品文档分享它与e1'，e2'及e3'正交，归一化word文档精品文档分享13x2817557''c23dx2ce4e4x5c1758221573x33x'375xe422x5222这样我们构造出了四个相互正交且归一的〔在区间1x1〕的函数e1',e2',e3',e4'。习题3.26一个反厄密算符等于它的负的厄密共轭：???QQ〔a〕证明一个反厄密算符的期望值是个虚数。〔b〕证明两个厄密算符的对易子是反厄密的。那么两个反厄密算符的对易子如何？证：〔a〕Q?????Q所以Q是个虚数QQQQ???????????〔b〕由??，所以如果那么PQQPPP和QQ??????????????????????P,QPQQPQPPQQPPQP,Q??????那么如果PP和QQ?????????????????P,QQPPQQPPQP,Q所以在两种情况下对易子都是反厄密的。习题3.27连续测量。一个算符?表示可观测量A，它的两个归一化本征态是1和2，分A别对应本征值a1和a2。算符B?表示可观测量B，它的两个归一化本征态是1和2，分别对应本征值b1和b2。两组本征态之间有关系：1(3142)/5,2(4132)/5.〔a〕测量可观测量A，所得结果为a1。那么在测量之后〔瞬时〕体系处在什么态？〔b〕如果现在再测量B，可能的结果是什么？它们出现的几率是多少？〔c〕在恰好测出B之后，再次测量A。那么结果为a1的几率是多少？〔注意如果我已经告诉你测量B所得结果，对不同的测量B所得结果，本问的答案将是不同的。〕解：〔a〕当对体系测量?a1时，体系的波函数会坍塌为?本征值为a1的本征态1，所以A得到A在测量之后〔瞬时〕体系在1态。〔b〕由1(3142)/5是?的本征态1和2的线性叠加，当对1态测量?时，可能BB得到b1或者b2，得到b1的几率为9/25,得到b2的几率为16/25.word文档精品文档分享〔c〕如果在测量B?时得到的结果是b1，那么波函数坍塌到1态〔几率为9/25〕，由1(3142)/5,2(4132)/5.可以解出13142/5，所以再测量A?时，得到a1的几率为9/25。同理，如果在测量B?得到的是b2，那么波函数坍塌到2态(几率为16/25)24132/5?a1的几率为16/25。所以再测量A时得到所以在测量??得到a1的几率为B,再测量AP991616337252525250.5392625**习题3.28对无限深方势阱第n定态求其动量空间的波函数n(p,t)。作为p的函数，画出222的期望值。1(p,t)和2(p,t)〔特别注意点pn/a〕。用n(p,t)来计算p并把答案和习题2.4比拟。解：一维无限深方势阱的定态波函数为n(x,t)2niEnt/,0xa;n1,2,3...;Enn222asinxe2ma2a动量空间的波函数由下式得出(p,t)1eipx/(x,t)dx;2所以word文档精品文档分享n(p,t)1aeipx/2sinnxeiEnt/dx20aa1eiEnt/aipx/einx/aeinx/a0e2idxaword文档精品文档分享1iEnt/ae1iEnt/ae1eiEnt/2a1ai(n/ap/)xi(n/ap/)xdx2i0eeei(nei(n/aa1/ap/)xp/)x2ii(n/ap/)i(n/ap/)0ei(n/ap/)a1ei(n/ap/)a1(n/ap/)(n/ap/)word文档精品文档分享1ea1ae2iEnt/ei(nap/)1ei(nap/)1(nap/a(nap/a))iEnt/(1)neiap/1(1)neiap/1(nap/)(nap/)word文档精品文档分享1aiEnt/2n(niap/e)21)e12(n(ap/)2aiEnt/n1(niap/e(n)2(ap/)1)e2注意到nia/pi/a2p/i2apn / iap1 ( 1)eee(1)eword文档精品文档分享e i a/p2eia/p2i a/p2ia/p2eeei/ap2e/i2apap1,3,5,...cos,n2ei/ap/i2apap2,,4,6,...2iesin,n2word文档精品文档分享所以word文档精品文档分享2eaiEnt/nn(p,t)e(n)2(ap/)22ieiap/2iap/2cosapn1,3,5,...,2sinapn2,4,6,...,2word文档精品文档分享n1,2有word文档精品文档分享2apsin2apcos2224a2(p,t)216a1(p,t)2,22,222(ap/)4(ap/)当pn/a时，上式的分母为零，但是分子也为零，所以在这些点波函数不会出现奇异行为。波函数的模平方图如下：222/2)p2p224napcos(apn(p,t)dp)22sin2(ap/2dp(n)2(ap/)令x(ap/nword文档精品文档分享na2x24n2222Tn(x)dx2In(1x)aword文档精品文档分享式中Tn(x)cos2(nx/2),n1,3,5,...,Inx2Tn(x)dxsin(nx/2),n2,4,6,...(1x2)2由因式分解公式x21111124x(2x(21)x(1)(1x)1)1)x(In11111Tn(x)dx4(x1)2(x1)2(x1)(x1)对n为奇数情况12n12n12n(xkcosxdxkcosy(1)dyksinydy1)2y2y2对n为偶数情况12nxdx1sin2n(y1)dy12ndy(xksin2k2ksiny1)yy2所以在两种情况下都有1112ny112nydyIn2sin2dy2sin22yy2yword文档精品文档分享〔第二项积分由于被积函数是奇函数为零〕所以word文档精品文档分享In11sin2nydynsin2udun22y224u24p24n2In4n2n2n222a2a24a2这与用坐标空间的定态波函数n(x,t)由公式2222p22n(x,t)dn(x,t)dxna2dx2计算的结果是一样的〔当然它们也必须一样〕。习题3.29考虑下面的波函数：1i2x/nxn,(x,0)e,2n0,其它地方,这里n是某个正整数。这个函数在区间nxn上是纯粹弦的〔波长为〕，但是它的动量仍然有一个分布X围，因为振荡没有伸展到无限远处。求出动量空间波函数(p,0)，画出2和wx2n,wpppnppn，求出峰宽wx和wp〔主峰(x,0)//2//2n两边零点之间的宽度〕。并考虑当n时每一个宽度会怎样,用wx和wp来估计x和p，验证不确定原理是否满足。提醒：如果你尝试计算p，你将会很意外。你能够分析问题所在么？解：1eipx/1np/)xdx(p,0)(x,0)dxei(2/22nnei(2/p/)xnei(2/p/)nei(2/p/)n112ni(2/p/)n2ni(2/p/)sin(np/)n(p2)2/)2sinnp((p,0)n(p22,p)1nxn,2,(x,0)2n0,其它地方,word文档精品文档分享它们的图形如下word文档精品文档分享22的宽度为wx2n。的最大值在2/处〔注意此处分母为零，但是211处，所以wp2分子也为零〕，这个最大值两侧的零点出现在2n。n当n，wx,wp0。在这个极限下，粒子有比拟确定的动量，但是坐标非常不确定。wxwp242n2n满足不确定原理。p22如果我们试图计算pp，我们发现p0，但是2np(/)2p2sin2np(/dp)pn(p22dpsin)出现这个问题的根源在于波函数(x,0)在端点n是不连续的，这导致?id/dx在端点产生函数，而2??是函数模平方pppp的积分，结果为无限大。一般来讲，如果想要p有限，波函数必须连续。习题3.30假设：(x,t)Ax2a2式中A和a是常数。〔a〕归一化(x,0)，确定A的值。〔b〕求出x，x2和x〔在t0时刻〕。〔c〕求出动量空间的波函数(p,0)，并验证它是归一化的。〔d〕用(p,0)来计算p，p2和p〔在t0时刻〕。e〕对这个态的验证不确定原理。解：〔a〕21211A(x22dx2A022dxa)(xa)21111(x/a)22A222tan3A2a(xa)a02aword文档精品文档分享所以word文档精品文档分享2a3Ab〕word文档精品文档分享xx2x2Aa2Aa2(x,0)22dxA(x2222x(x,0)dxA(x/a)22d(x/a)((x/a)1)/22cos4dtan2/2cosx22dx0〔被积函数是奇函数〕a)x222dx(x2a)令(x/a)tan2A/2sin2da/2word文档精品文档分享A=a2a2所以x22xxa〔c〕动量空间的而波函数为word文档精品文档分享(p,0)A2A22Aa22a2验证归一化1ipx/e(x,0)dx2cos(px/ ) isin(px/ )2acos(px/)dxAx2a2a2cospa02d13a2apa/pa/ee21ipx/Ae22dx2xadx被积函数为奇函数paxcosaxx/a(x/a)2da1cos()e/2,0012de/2,0word文档精品文档分享2a2e2pa/dp2aepa/1(p,0)dp02a0〔d〕p20.被积函数为奇函数p(p,0)dpa2a3222222pa/pp(p,0)dp2pedp2202a2a所以word文档精品文档分享22ppp2a〔e〕a满足不确定原理xp2a22问题3.31维里[Virial]定理。利用3.71式证明：d2TdV,xpxdtdx式中T是动能〔HTV〕。对定态上式的左边为是0〔为什么？〕所以有：2TdVx.dx这称为维里定理。用它来证明对谐振子的定态有TV，并验证这与你在习题2.11和2.12里得到的结果是一致的。解：由力学量期待值随时间演化的公式di???QQH,Q.dtt算符xp?不显含时间，所以diii2xpV,xppV,xpdtH,xpT,xp2mi22p,xpxp,pV,xpxV,p2m2mipp,xpp,xp2xV,pippp2dV2m2miixi2m2mdx2dVdVp2T2xx2mdxdx对于定态，所有力学量〔不显含时间〕的期待值都不随时间变化，即dxp/dt0，所以2TxdV/dx。对于谐振子，V1m2x2，dV/dxm2x，所以22TxdV/dx222VTVmx由于EnHTV所以对谐振子定态有TV111/2Enn22word文档精品文档分享习题3.32在一个关于能量-时间不确定原理的有趣版本里t/，这里是(x,t)演变word文档精品文档分享为与(x,0)相正交的态所需要的时间。用某个〔任意的〕势的两个〔正交归一的〕定态波函数的均匀迭加：(x,0)(1/2)[1(x)2(x)]，验证这个结论。解：1ii(x,t)1(x)eE1t2(x)eE2t2(x,t)(x,0)0*(x,0)dx(x,t)1[*iEt/*iEt/1(x)2(x)]dx21(x)e12(x)e2][1iEt/2iEt/2iEt/*iEt/*2e11e22e112e221dx1eiE1t/eiE2t/0eiE2t/eiE1t/ei(E2E1)t/12(E2E1)t/(2n1),n0,1,2,3,...0对应的时间E2E1是两个波函数第一次正交的时间，定义时间的不确定为tE2E1而111121112222E222H2E1E2,H2E14E14E2E1E2222H2H21E121E221E1E21E2E124424所以word文档精品文档分享EHH2H21E2E12word文档精品文档分享从而有1Et2我们得到了所谓的能量-时间不确定原理。**习题3.33以谐振子〔正交归一的〕定态为基，求矩阵元nxn'和npn'。你已在习题2.12里计算过对角元素〔nn'〕；用同样方法计算更一般的情况。构造出相应的〔无限〕矩阵，X和P。证明(1/2m)P2(m2/2)X2H在这个基中是对角的。你预期它的对角元素是什么？局部答案如下：nxn'(n'n,n'1nn',n1).2m解：利用产生和湮灭算符a,a以及a nn1 n1 , a nn n1word文档精品文档分享x(aa);pima).(a2m2n|x|n2mn|aa|n2mn|a|nn|a|nn1nn1'nn,n1n'2mnnn12mn,n1n|p|nmn|aa|nimn|a|nn|a|ni22imn1nn1n'nn1imnn,n1n'n,n122所以在占有数表象〔能量本征态表象〕坐标与动量的矩阵为01000010001020010200X=02030,P=im0203022m00304003040004000040......由此得到1012000302302=1205034,X2m023070003409...1012000302302m1205034P2023070003409...所以word文档精品文档分享H1P21222mmX2101200030230=12050344023070003409...10120003023012050344023070003409...10000030000050020007000009...由此，我们可以看出哈密顿算符在它自己的表象中是对角矩阵的〔也必须是〕，对角元素为(n 1/2), n0,1,2,3,...是谐振子的能量本征值。习题3.34一个谐振子处于这样的态，当对其测量能量时所得结果必是(1/2)或(3/2)其中之一，并且得到两者的几率相等。在此态中，p的可能的最大值是多少呢？如果假设在t0时刻为这个可能的最大值，(x,t)是什么？解：由题意波函数为x,tiE0t/iE2t/c00(x)ec11(x)eE0/2,E13/2并且221c01i1i0,1为实数c0c1，2e0;c1e122所以x,t1i(t/20)i(3t/21)0e1eword文档精品文档分享2word文档精品文档分享pp1mi(t/20)i(3t/21)i20e1e21im0ei(t/20)1ei(3t/21)221mit01it01i2ee2mtsin012aai(t/20)i(3t/21)0e1e1ei(t/20)22ei(3t/21)0ei(3t/21)word文档精品文档分享p可能的最大值为m，假设t0时刻为最大值，那么2n，取n1，取201200，那么12这样x,t1iE0t/i/2iE1t/1iE0t/iE1t/1e1ee21ei1e2**习题3.35谐振子的相干态。在谐振子定态中〔nn(x)，2.67式〕仅n0的态符合不确定原理的极限〔xp/2〕；一般情况下，xp(2n1)/2，如你在习题2.12求出的那样。但是某些线性迭加〔所谓的相干态〕也会减小不确定原理中的积。它们是降阶算符的本征函数：a,〔这里本征值可以是任何复数〕。〔a〕对态计算x，x2，p，p2。提示：利用例题2.5中的方法，并记住a是a的厄密共轭。不要假定是实数。〔b〕求出x和p；证明xp/2。〔c〕像其它的波函数一样，相干态可以用能量本征态展开：cnn.n0证明展开系数是：ncnc0.n!〔d〕由归一化确定c0。答案：exp(2/2)。〔e〕现在参加时间因子：niEnt/,en证明(t)仍然是a的本征态，但是本征值随时间变化：(t)iwt。e因此一个相干态维持相干，并继续减小不确定原理中的积。〔f〕基态〔n0〕本身是相干态吗？如果是，它的本征值是什么？解：〔a〕因为a是a的厄密共轭，所以有word文档精品文档分享aaxx(?2ma??2maa22?xx2m(a????2maaaa***??2maa***12m22m4Re21??m(?ppia2m??iaa2**a?)??aaa2m*2Re2mma?)(a?a?)a?a?a?a?1a,a12*12m?)m??aiaa2m*2mImi2word文档精品文档分享p2p2m????)2(aa)(aam????????2aaaaaaaam***??12aam***122mm*222124Im1〔b〕222122xxx2m4RemRe2m22m4Im2122mppp2mIm2mxp2m22〔c〕由word文档精品文档分享cnn,cnn,1annn!0n0所以1nnncnn0a0c0n!n!n!〔d〕归一化：n221*n*n2221c0ecn0n!c0c0n!c0n0nn0所以2/2c0e〔不考虑任意相因子ei〕〔e〕?n?n(t)c0eiEnt/iEnt/n1aann1c0en0n!n1!n1c0eiEn1t/EnEnn!n1n0nitiEnt/neitec0e(t)n0n!所以，(t)仍然是a的本征态，其本征值为ite〔f〕?0000，所以基态0是?的本征值为0的本征态，所以是相干态。因为aa习题3.36扩展的不确定原理。广义不确定原理〔3.62式〕指出：word文档精品文档分享2ABC2,word文档精品文档分享???。其中CiA,B〔ａ〕证明它可以扩展为22122,[3.99］ABCD4其中?????。提示：保存3.60式中的实部项Re(z)。DABBA2AB〔ｂ〕当BA时验证3.99〔在这种情况下标准的不确定原理是平庸的，因为?0；遗憾C的是扩展的不确定原理也没多少帮助〕。解：〔a〕由3.59式word文档精品文档分享2A2B?A)?A)ff(A(A?B)?B)gg(B(Bword文档精品文档分享2AB2f fggf gSchwarz不等式word文档精品文档分享和word文档精品文档分享fg?A?BAB?A?BABABABABABABABgfBAAB得：word文档精品文档分享2ABfg2Re2Im2gfgf*2*222word文档精品文档分享fgfgfgfgfggffggf22i22iABABBAAB2ABABBAAB222i22ABBA2ABiABBA221D2C24〔a〕???0，??222A2当AB时，CD2AA2212D24AACA4习题3.37某个三-能级体系的哈密顿的矩阵表示为a0bH0c0,b0a其中a，b和c都是实数。〔a〕如果体系的初始态是0(0)1,0(t)b〕如果初始态是0(0)0,1(t)word文档精品文档分享解：〔a〕首先解久期方程aE0b0cE00b0aE(aE)2(cE)b2(cE)0E1c,E2ab,E3ab代入本征方程a0b0c0Enb0a得到对应的本征函数为：01111E1100E2E302121所以t0时的波函数为ict/E1c2ei(ab)t/c3ei(ab)t/(t)c1eE2E3〔a〕由初始条件0(0)1E10得c1 1, c2c30，所以0(t)eict/E1eict/10〔b〕由初始条件(0)c1E1c2E2c3E30111(c2c3)/20c110c31c10c2022011(c2c3)/21c11,c21c32所以word文档精品文档分享111111(t)ei(ab)t/E2i(ab)t/E3i(ab)t/0i(ab)t/2eee022121iateibt/eibt/isinbt/e0eiat/02eibt/eibt/cosbt习题3.38某个三-能级体系的哈密顿的矩阵表示为100H020002另外两个可观测量A和B的矩阵表示为010200A100,B001，002010式中，和都是正实数。〔a〕求H，A和B的本征值和归一化的本征函数。〔b〕假设体系初始态为c1(0)c2,c3222其中c1c2c31，求H，A和B的期望值〔在t0时刻〕。〔c〕(t)是什么？如果你测量这个态的能量〔在t时刻〕，可能会得到什么值，它们的几率是多少？对A和B答复同样的问题。解：〔a〕H已经是对角的，所以是在自己的表象中，本征值为对角元，所以E1,E2E32对应的本征态为100E10E21E30001对算符A?，解久期方程a0a00a12,a2,a3002a本征值分别代入本征方程010100an002word文档精品文档分享求出本征函数01120111112200同样的步骤可以求出?算符的本征值和本征函数Bb12,b2,b3,对应的本征函数为，11010201102211〔b〕100c1H0H0***020c2c1c2c3002c3c1***2c2***22c1c2c3c1c12c2c22c3c31c2c32c