材料力学之杆件的变形简单超静定问题

第四章杆件的变形.简单超静定问题研究变形的目的刚度问题超静定问题振动计算若车床主轴的弯曲变形过大，将影响齿轮的啮合与轴承的配合，造成磨损不均，降低寿命，还会影响加工精度。——限制变形车辆中的叠板弹簧应有较大的变形，才能更好地起缓冲减振作用。——利用变形注册筑龙结构超爽会员超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561§4-1轴向拉伸或压缩时的变形注册筑龙结构超爽会员超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561例4-1

设横梁ABCD为刚体。横截面积为76.36mm2的钢索绕过无摩擦的滑轮。设F＝20kN，试求钢索内的应力和C点的垂直位移。设钢索的E=177GPa。

解：1.求钢索内的应力解得

钢索的应力2.求C点的垂直位移以横梁ABCD为为研究对象，受力如图b所示。作结构的变形位移图如图c所示。因ABCD为刚体，故发生位移后，A、B、C、D仍为一直线。小变形条件下。可以“以切线代替圆弧”画变形图。

列平衡方程注册筑龙结构超爽会员超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561由B1向钢索作垂线得点，设。同理由D1向钢索作垂线得点，设。则钢索的伸长为。

由胡克定律

由图c得C点的垂直位移为

注册筑龙结构超爽会员超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561§4-2拉伸、压缩超静定问题

超静定问题：杆系未知力的数目超过静力平衡方程的数目，仅用静力平衡方程不能确定全部未知力。这类问题，称为超静定问题，或静不定问题。

未知力个数与平衡方程式数之差，称为超静定次数。一、超静定问题的概念及其解法注册筑龙结构超爽会员超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561超静定问题的求解方法

根据变形协调条件建立变形几何方程，将变形与力之间的物理关系带入几何方程得到补充方程，再与静力平衡方程联立求解，可得到全部未知力。

解题步骤：（1）画出杆件或节点的受力图，列出平衡方程，确定超静定次数；（2）根据结构的约束条件画出变形位移图，建立变形几何方程；（3）将力与变形间的物理关系代入变形几何方程，得补充方程；（4）联立静力平衡方程及补充方程，求出全部未知力。超静定结构的特点：（1）各杆的内力按其刚度分配；（2）温度变化，制造不准确与支座沉陷等都可能使杆内产生初应力。

注册筑龙结构超爽会员超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561例4-2如图所示的三杆桁架，设1、2两杆的抗拉刚度为EA，3杆的抗拉刚度为E3A3，α、F、l均为已知，求三杆的轴力。

解：取节点A为研究对象，列静力平衡方程：变形几何方程：物理关系：补充方程：联立(1)、(2)、(3)式，得由于结构在几何物性及受力方面都是对称。所以变形后A点将沿铅垂方向下移。注册筑龙结构超爽会员超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561例4-3求图示两端固定杆的支反力。设杆的抗拉刚度为EA，F、a、b、l均为已知。

解：取杆AB为研究对象，列静力平衡方程：变形几何方程：物理关系：补充方程：联立(1)、(2)、(3)式，得注册筑龙结构超爽会员超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561例4-4如图所示的杆系结构，设AB杆为刚性杆，1、2杆刚度为EA，载荷为F，求1、2杆的轴力。

解：静力平衡方程：变形几何方程：物理关系：补充方程：注册筑龙结构超爽会员超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561注：受力图与变形图要对应起来力方向可根据变形可能性进行假设，且使力方向与变形图一致。注册筑龙结构超爽会员超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561二、温度应力由于温度变化会引起物体的膨胀或收缩，对于超静定结构由于温度变化而引起的内力，称为温度内力；与之相应的应力称为温度应力。例4-5已知：求当温度升高△t时杆内的温度应力。解：静力平衡方程：变形几何方程：物理关系：注册筑龙结构超爽会员超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561二、装配应力超静定结构由于杆件制作误差在装配时所引起的内力，称为装配内力；与之相应的应力称为装配应力。例4-6已知：1、2杆刚度为EA，3杆刚度为E3A3

，并且3杆短了δ。求将杆系装配后三杆的轴力。(1)变形几何方程(2)物理方程补充方程:(3)平衡方程：注册筑龙结构超爽会员超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561§4-3圆轴扭转变形与刚度条件.超静定问题

一、圆轴扭转时的变形相距为dx的两个横截面的相对扭转角相距为l的两个横截面的相对扭转角为：注册筑龙结构超爽会员超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561二、刚度条件为了消除的影响，引入单位长度扭转角

φ´（单位：rad/m）——扭转的刚度条件注册筑龙结构超爽会员超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561例4-7

图示传动轴系钢制实心圆截面轴，已知：Me1=1592N.m，Me2=955N.m，Me3=637N.m。截面A与截面B、C之间的距离分别为l1=300mm和l2=500mm。轴的直径d=70mm，钢的切变模量G＝80GPa。试求截面C对B的扭转角。

负号表明转向与Me3相同的转向相同注册筑龙结构超爽会员超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561例4-8某机床中的传动轴上有三个齿轮。主动轮Ⅱ输入功率为3.74kW，从动轮Ⅰ、Ⅲ输出功率分别为0.76kW和2.98kW，轴的转速n＝184r/min，材料为45号钢，G＝80GPa。若[τ]＝40MPa，[φ´]＝1.5°/m。试设计轴的直径。解:计算外力偶矩由强度条件由刚度条件注册筑龙结构超爽会员超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561三、扭转超静定问题例4-9有一空心圆管A套在实心圆杆B的一端，两杆在同一截面处各有一直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线的夹角为β。设钢管与圆杆的抗扭刚度分别为GAIPA和GBIPB。现在杆B上施加外力偶，使其扭转到两孔对准的位置，并在孔中装上销钉。试求在外力偶除去后两杆所受到的约束反力偶矩。解：静力平衡方程：变形几何方程：物理关系：补充方程：注册筑龙结构超爽会员超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561§4-4梁的变形.挠曲线微分方程及其积分

挠度w—横截面形心C(即轴线上的点)在垂直于x轴方向的线位移，称为该截面的挠度。

挠曲线挠曲线方程截面转角θ—横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角。正负号规定：①挠度w的正负号与坐标一致。②转角θ：根据挠曲线斜率规定：斜率为正为正，反之为负；根据截面转向规定：逆时针为正，顺时针为负w、θ是衡量弯曲变形的两个基本量。注册筑龙结构超爽会员超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561工程实际中，梁变形均为小变形，注册筑龙结构超爽会员超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561积分戴常数点C、诸D的萌确定阁：连续性条件边界条件注册很筑龙轻结构画超爽居会员厉超爽壮0币抵、超阶爽1拣币资顾料海节量资比料即堤刻下糠载详矮情咨烦询：堤QQ益：2优94赞36价56虽1补充弱：挠略曲线僻的大史致形孩状注册绕筑龙哭结构大超爽衔会员斗超爽竞0币期、超渴爽1小币资萍料海咬量资棉料即樱刻下颗载详井情咨忧询：既QQ某：2我94被36袭56法1例4撕-1独0麻如图思示的虫悬臂骄梁，迁抗弯御刚度晓为EI，集嘴中载粉荷F,求w(x)、θ(x)及wma矛x、θma请x。解：民弯矩奏方程笔：挠曲严线近库似微源分方量程：积分略得边界寨条件哈为己:C=0鲜及D=0将边界条件代入(1)(2)两式中,可得注册石筑龙踢结构苦超爽秤会员昆超爽员0币怠、超勺爽1偏币资砍料海稻量资拴料即委刻下或载详僚情咨延询：证QQ栋：2简94贝36兔56痕1例4输-1错1跳如图网示的龙简支记梁，述抗弯踪蝶刚度割为EI，均障布载辩荷q,求w(x)、θ(x)及wma良x、θma踏x。解：弯矩掀方程泥：挠曲浓线近婶似微紧分方泪程：积分买得边界慎条件元为其:将边界条件代入(1)(2)两式中,可得D=0注册浪筑龙辈结构吩超爽谢会员腊超爽怒0币灶、超礼爽1修币资仅料海风量资红料即耍刻下古载详巾情咨爆询：记QQ续：2施94载36认56降1例4问-1糖2袋如图体示的寇简支既梁，杠抗弯吵刚度靠为EI，集沫中载门荷F,求w(x)、θ(x)及wma氧x、θma卸x。解：分段报列出听弯矩陪方程飘：注册健筑龙墓结构油超爽爪会员每超爽扔0币福、超香爽1柴币资盲料海析量资末料即刃刻下穿载详丧情咨斑询：功QQ驼：2摊94封36济56抵1C点的连续条件：在x=a

处边界条件:在处，在x=0处，两段梁的挠曲线方程分别为12挠曲线方程转角方程挠度方程(0«

x«a)(a«x«)注册拨筑龙收结构疫超爽捧会员踪蝶超爽同0币尿、超备爽1嫩币资齐料海泥量资倡料即篮刻下锡载详殃情咨扫询：德QQ筹：2凉94投36惩56咽1代入泄方程佛可解搅得:将积醒分常鼻数代耕入顺后,党即洞得两乖段梁迎的转袍角方波程和尽挠曲梦线方毕程如厘下1段2段注册初筑龙辨结构创超爽手会员糟超爽必0币环、超邀爽1豪币资晚料海结量资吊料即像刻下泽载详损情咨梦询：歌QQ族：2窃94危36继56羞1将x=炒0供和x=l分别有代入役转角积方程迷左右艇两支喷座处敲截面爽的转猛角当a>b时,迷右您支座粱处截惊面的承转角替绝对炼值为而最大简支梁的最大挠度应在处当a>b时，注册竞筑龙月结构紫超爽名会员禾超爽牛0币嘱、超晚爽1爸币资夫料海买量资响料即剃刻下渴载详屡情咨舰询：希QQ合：2移94辽36婶56樱1令代入第一段的转角方程得梁中名点处移的挠退度为结论拒:寒在简姿支梁缴中,忆不过论它像受什劲么荷触载作街用,轿只榴要挠盯曲线俘上无叮拐技点,青其盲最大仔挠度词值都递可用低梁跨做中点压处的立挠度仪值来郊代替善,痛其精建确度沟是能超满足钱工程梢要求子的.注册捐筑龙离结构换超爽与会员嫌超爽蜂0币归、超加爽1袍币资若料海正量资窗料即裳刻下六载详门情咨作询：芽QQ膀：2羊94快36沸56扮1用积分法计算梁变形时应遵循的两个规则对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程。只增加了（x-a）的项。对（x-a）的项作积分时，应该将（x-a）项作为积分变量。从而简化了确定积分常数的工作。注册慨筑龙棕结构纹超爽屈会员贼超爽峡0币畅、超庸爽1来币资补料海愁量资敏料即快刻下架载详率情咨巡寿询：您QQ笔：2姐94清36著56头1§4-袋5章用叠笔加法鞋求弯渣曲变揪形梁上同时受几个载荷作用下的变形，等于各载荷分别作用时引起的变形的代数和。叠加法例4铲-1谁3举如图调示的继简支壳梁，落抗弯促刚度为EI，集陡中载纤荷F卵,均考布载汇荷q,求wC及θA、θB。注册耗筑龙肢结构禾超爽捷会员拨超爽昂0币炎、超琴爽1臣币资嘴料海死量资桌料即妹刻下灶载详螺情咨牵询：爱QQ屿：2顽94户36樱56附1例4摩-1扩4辈试用亦叠加枣法求佛图示伯的简亮支梁岩跨度答中点喇的挠会度wC和两威端截些面的迁转角θA、θB，梁兼的抗归弯刚肌度为EI。注册腹筑龙章结构忌超爽们会员仇超爽巾0币竿、超卷爽1鉴币资趟料海过量资梦料即堵刻下散载详青情咨籍询：奏QQ愚：2筝94咬36旺56昼1例4窗-1秃5试用叠携加法撑求图鬼示梁A截面卖的挠夜度与B截面猎的转更角。EI为已钩知。1）在qa单独亡作用住时，2）在疫均布台载荷q单独榴作用永时注册锻筑龙腔结构传超爽兽会员幻玉超爽淋0币膜、超额爽1黎币资厉料海晨量资总料即妇刻下轿载详从情咨哄询：食QQ止：2示94誉36津56循1§4同-6对简单健静不围定梁会.窃提高宁梁得临刚度辰得措绵施超静协定梁不：约束展反力傅数目线多于配静力丙平衡仇方程制数目勤的梁凑称为丹超静厦定梁跟。两者船数目腾的差讯称为婆超静讯定次脏数。相当拣系统吉：在静字定基骨上加耐上外率载荷启以及职多余号约束检力，垮便得温到受兴力和勤变形钻与超晓静定蜂梁完保全相它同的微相当坡系统甚。一、概简单懒静不交定静定条基：指将某超静左定梁起上的养多余椅约束价除去浊后所碗得到县的“梳静定针基本撕系统亲”。注册训筑龙侧结构漫超爽辉会员意超爽抱0币殊、超廊爽1许币资宰料海月量资殖料即金刻下微载详昂情咨希询：吹QQ西：2睬94情36趋56此1例1弊如奥图示院的简傍支梁盘，抗堪弯刚摩度为旁EI妻，集使中载怀荷F借,均孔布载捧荷q耗,试令绘出晴其剪断力图跪和弯秩矩图沈。注册羡筑龙社结构拥超爽据会员葱超爽合0币杏、超阴爽1扎币资察料海盏量资们料即桨刻下施载详填情咨属询：俘QQ诱：2敢94业36呢56衫1例2硬如选图示符结构该，已巾知A领B梁性截面乔的惯也性矩猴为I视，杆粘BD绍的截技面积规为A受,二奔者材候料相凡同，俊弹性甜模量剂为E脂。试导求B丝式D杆穷所受扬的拉纠力FN。注册够筑龙躺结构桃超爽伶会员投超爽漏0币冬、超在爽1豪币资向料海鹅量资兄料即闻刻下亦载详铺情咨昆询：者QQ追：2梁94补36纷56壮1例3淋抗坟弯刚手度为注EI集的梁核的支姨承及鞠受力慨如图叛所示杰，试求朋约束锹反力锄。注册详筑龙遭结构筛超爽擦会员励超爽火0币亩、超杂爽1童币资袍料海份量资倚料即贯刻下历载详挠情咨乱询：诉QQ格：2群94蔬36膝56亩1二、宜提高吸梁的肆刚度普的措掌施从挠烫曲线址的近堤似微套分方顽程及刺其积寒分可扰以看即出，爹弯曲暮变形冷与弯朋矩大掠小、坑跨度感长短棚、支惑座条怎件，嗓梁截名面的严惯性沸矩、且材料买的弹键性模版量有范关。概故提史高梁革刚度涉的措伶施为侄：（1）改阳善结级构形禾式，位减小瞒弯矩行；（2）增呆加支遵承，镇减小舒跨度毯；（3）选谜用合订适的建材料晚，增搬加弹肤性模斤量。谷但因金各种蜻钢材估的弹狱性模恢量基筐本相愤同，龄所以涂为提顿高梁宋的刚侄度而添采用狸高强曲度钢换，效垂果并牵不显岁著；（4值）选秘择合均理的尿截面地形状律，提镰高惯策性矩跟，如奋工字酿形截麦面、烟空心束截面袜等注册联筑龙唐结构邻超爽首会员绝超爽尊0币闪、超柏爽1微币资呆料海恰量资道料即妹刻下牧载详掉情咨卧询：作QQ批：2膜94夜36傲56抽1§4秒-5杆的档应变袖能应变能：弹性体在外力作用下，因变形而储存的能量称为应变能(或变形能)。能量威法二、丹拉、子压杆烘的应坡变能一、功能原理应变蓝能比吹密度鱼：单售位体较积的香应变贵能注册肉筑龙外结构程超爽剖会员御超爽票0币排、超造爽1巧币资妙料海屠量资后料即矛刻下恼载详丝式情咨枯询：差QQ危：2亲94遍36雾56贱1三、捐等直胜圆轴梅在扭悲转时烫的应届变能应变屑能比陵密度亭:注册斜筑龙穴结构辅超爽染会员捉超爽盖0币泄、超沿爽1秀币