材料力学讲义二八

Chapter13EnergyMethod第十三章能量法1

第十三章能量法

(EnergyMethods)§13-1概述（Introduction)§13-2杆件变形能的计算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)§13-3互等定理（Reciprocal

theorems)§13-4单位荷载法莫尔定理(Unit-loadmethod&mohr’stheorem)§13-5卡氏定理(Castigliano’sTheorem)§13-6计算莫尔积分的图乘法(Themeth-odofmomentareasformohr’sintegration)2§13-1概述（Introduction）在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量,称为弹性变形能,简称变形能.一、能量方法（Energymethods)三、变形能（Strainenergy）二、外力功（Workoftheexternalforce）固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移,外力因此而做功,则成为外力功.利用功能原理Vε=W来求解可变形固体的位移,变形和内力等的方法.3可变形固体在受外力作用而变形时,外力和内力均将作功.对于弹性体,不考虑其他能量的损失,外力在相应位移上作的功,在数值上就等于积蓄在物体内的应变能.

Vε=W四、功能原理（Work-energyprinciple）Theformula:（Work-EnergyPrinciple）Wewillnotconsiderotherformsofenergysuchasthermalenergy,chemicalenergy,andelectromagneticenergy.Therefore,ifthestressesinabodydonotexceedtheelasticlimit,allofworkdoneonabodybyexternalforcesisstoredinthebodyaselasticstrainenergy.

4§13-2杆件变形能的计算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)一、杆件变形能的计算（Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading）1.轴向拉压的变形能（Strainenergyforaxialloads)此外力功的增量为：当拉力为F1时,杆件的伸长为Δl1当再增加一个dF1时,相应的变形增量为d(Δl1)5FFllFlFOll1dl1dF1F1积分得:6根据功能原理当轴力或截面发生变化时:

Vε=W,可得以下变形能表达式7（单位J/m3)比能（strainenergydensity）:单位体积的应变能.记作u当轴力或截面连续变化时：82.扭转杆内的变形能（Strainenergyfortorsionalloads）或lMeMeMe9纯弯曲（purebending)横力弯曲（nonuniformbending）3.弯曲变形的变形能（Strainenergyforflexuralloads）θMeMeMeMe104.组合变形的变形能（Strainenergyforcombinedloads)截面上存在几种内力,各个内力及相应的各个位移相互独立,力独立作用原理成立,各个内力只对其相应的位移做功.5.纯剪切应力状态下的比能（Strainenergydensityforpureshearingstateofstresses）假设单元体左侧固定,因此变形后右侧将向下移动dx.11dxdydzxyzabd因为很小,所以在变形过程中,上下两面上的外力将不作功.只有右侧面的外力（dydz）对相应的位移dx

作了功.dx

当材料在线弹性范围内内工作时,上述力与位移成正比,因此,单元体上外力所作的功为比能为12

将=G

代如上式得dxdydzxyzabddx等直圆杆扭转时应变能的计算13将代入上式得14

二、变形能的普遍表达式（Generalformulaforstrainenergy）F--广义力(包括力和力偶)δ--广义位移(包括线位移和角位移)B'C'F3BCF2AF1假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由零增致最后值.15对于线性结构,位移与荷载之间是线性关系，任一广义位移,例如

2可表示为F3ABCF1F2B'C1F1,C2F2,C3F3分别表示力F1,F2,F3在C点引起的竖向位移.C1,C2,C3是比例常数.F3/F2在比例加载时也是常数F1/F2和2与F2之间的关系是线性的.同理,1与F1,3与F3之间的关系也是线性的.16在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功iFiF3ABCF1F2B'——克拉贝隆原理（只限于线性结构）Fii17三、变形能的应用（Applicationofstrainenergy）1.计算变形能（Calculatingstrainenergy）2.利用功能原理计算变形（Work-energyprincipleforcalculatingdeflection）例题1试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端B的挠度.ABFlx解：由Vε=W得18例题2试求图示梁的变形能,并利用功能原理求C截面的挠度.ABCFx1x2abl解：由Vε=W得19例题屈3覆试武求图方示四伍分之竞一圆溪曲杆谅的变计形能什,并驼利用党功能男原理净求B截面换的垂贩直位袜移.庙已杠知EI为常忽量.解：ABFORθ由Vε=W得20例题皂4辩拉没杆在驱线弹兰性范破围内亲工作蛮.抗岭拉刚曲度EI,受状到F1和F2两个餐力作拦用.若先孔在B截面元加F1,然后苗在C截面陵加F2;若先看在C截面例加F2,然后首在B截面译加F1.分别臭计算仓两种奔加力亭方法非拉杆摇的应掘变能灯.ABCabF1F221（1依）先尸在B截面蒸加F1,然伐后在C截面核加F2ABCabF1（a尊）在B截面质加F1,B截面纤的位料移为外力编作功触为（b陵）再甲在C上加F2F2C截面常的位移勿为F2作功兆为22（c曾）在融加F2后,B截面虹又有量位移在加F2过程抹中F1作功躲（常漂力作碑功）所以劳应变询能为ABCabF1F223（2掘）若雅先在C截面淘加F2,然晒后B截面肾加F1.（a誉）在C截面睛加F2后,F2作功（b姑）在B截面堂加F1后,F1作功ABCabF1F224（c猾）加F1引起C截面杠的位采移在加F1过程雀中F2作功随（常舰力作甩功）ABCabF1F2所以唉应变躁能为注意眨：（1叼）旷计妻算外格力作远功时惹,注柜意变打力作屋功与御常力概作功面的区刊别.（2岂）应猫变能Vε只与象外力推的最桃终值奴有关递,而崖与加借载过捧程和猴加载跟次序帐无关呈.252解:扣梁贷中点孟的挠倘度为画:梁右头端的贱转角叨为:MeACBFl/2l/2梁的狠变形须能为短:1例题挥5以弯屋曲变迎形为爪例证尾明应变立能Vε只与徐外力弃的最终值伐有关境,而叠与加招载过绣程和加蜡载次句序无恢关.26先加挎力F后,驼再加疤力偶Me（1命）先奶加力F后,C点的倦位移力F所作穗的功胖为（2俱）力瞧偶由笨零增目至最厉后值MeB截面棕的转踏角为力偶Me所作喘的功症为ACBFl/2l/2ACBFl/2l/2Me127先加珠上的胁力F所作找的功劫为C截面是的位炉移为3ACBl/2l/2F与力偶Me所作杏的功牧为ACBFl/2l/21Me28两力出作用文点沿毁力作晴用方言向的题位移焰分别英为F1,F2（1野）设摘在线北弹性丽结构如上作宇用力1,2一、秋功的登互等驻定理（畏Re换ci凉pr侵oc弄al眨w糟or型k遭th睁eo失re接m白）§1针3-炮3互等沾定理（R共ec尚ip愚ro匹ca觉l统Th记eo近re斯ms籍)12F1F229F1F212F1和F2完成荒的功纲应为（2鸽）在慨结构或上再涉作用漏有力F3,F4沿F3和F4方向循的相当应位惕移为3,4F334F4F3和F4完成字的功忘应为30（3分）在F3和F4的作恋用下总,F1和F2的作强用点念又有皇位移F1和F2在1´和2´上完成隙的功赛应为F1F212F334F4因此测,按网先加F1,F2后F3,F4的次漠序加近力,缘瑞结构幕的应雀变能掩为1´和2´31F1F21234F4F3若按捐先加F3,F4后加F1,F2的次程序加台力,恒又可雪求得匪结构摄的应巧变能外为由于懂应变防能只旁决定梦于力惰和位克移的储最终垒值,押与加遇力的字次序花无关圆,故32功的涉互等唉定理（r扫ec恩ip讨ro卸ca蜻l首wo辅rk信t险he突or世em泼）:第农一组理力在暗第二呈组力怜引起银的位胳移上姐所作诉的功热,等平于第粮二组竹力在零第一蓬组力皆引起坑的位踪蝶移上键所作畅的功挖.二、律位移另互等削定理（R墨ec乡丰ip对ro弯ca天l唐di脉sp籍la饮ce丹me绣nt跨t源he铅or肿em虑)若第明一组韵力F1,第谁二组谦力只节有F3,则如果F1=F3,则谱有33位移代互等柳定理（r详ec昨ip稍ro漏ca摘l附wo靠rk买t控he丙or四em驴）：F1作用率点沿F1方向宅因作素用F3而引吓起的车位移中等于F3作用喉点沿F3方向旨因作街用F1而引晒起的兴位移膊.（T沫he拥de辈fl倡ec爪ti浅on俊a殊t竖A欣du脖e晶to赏a僵l苹oa姓d干ac斑ti背ng社a碎t葡B春is贺e影qu助al驳t谊o各th检e线de孙fl汉ec抚ti狼on化a仍t竿B牙du赏e具to还t龄he害s督am忽e列lo说ad章a弓ct准in详g父at毛A旦)三、熄注意（N陷ot叙ic蹄e）（1葡）力懂和位捷移都完应理币解为秃广义麻的.（2准）这嫌里是风指结巡寿构不杆可能至发生厨刚性怕位移减的情棚况下秧,只晕是由涨变形插引起日的位令移.34§1怪3-披4单位所荷载哈法莫尔涝定理（U经ni装t-朽lo牙ad受m协et敞ho震d寄&暴mo辣hr较’s怜t袜he漠or杜em材）一、忠莫尔洗定理息的推鞋导（D客er奏iv腹at直io炸n样of游m际oh跳r’张s愤th扩eo偷re呀m）求任袋意点A的位晃移wAF1F2A35A图b变形捉能为aA图F1F2=1F0AF1F2图cwAF0=1（1弓）先扩在A点作描用单毅位力F0,再沫作用F1、F2力36（2窃）三厌个力绳同时桶作用惹时任意攻截面鸟的弯气矩:变形担能:37（M习oh顺r’兔s虫Th凝eo须re僻m）桁架食：二、驾普遍喊形式内的莫算尔定吉理（G史en惧er熟al断f键or摧mu渣la山f粱or批m唱oh精r’旁s没th纪eo零re草m）注意陵:上邮式中Δ应看雾成广省义位炮移,博把单匙位力惨看成辅与广社义位换移相层对应心的广绸义力扭.38三、驻使用征莫尔谊定理困的注荒意事气项（5殿）莫尼尔积紧分必腾须遍播及整们个结摔构.（1轨）M（x）：勉结构墙在原史载荷园下的割内力希;（3侦）所捆加广尘义单随位力礼与所地求广遥义位果移之丑积,款必须换为功何的量和纲;（2）——去掉主动力,在所求广义位移点,沿所求广义位移的方向加广义单位力时,结构产生的内力;M（4）与M（x）的坐标系必须一致,每段杆的坐标系可自由建立;M（x）39A例题拦5田抗狠弯刚备度为EI的等摇截面捷简支讽梁受漠均布纲荷载嚼作用驻,用我单位蔽载荷趣法求斤梁中编点的酒挠度wC和支帐座A截面看的转吩角.墙剪力迫对弯阵曲的爽影响别不计随.qBCll/潮2ql/2ql/2解:在实队际荷糖载作获用下约,任镰一x截面章的弯枪矩为40AAB11/21/2C（1集）求C截面坊的挠它度在C点加如一向衣下的枝单位剂力,任一x截面富的弯乞矩为xqBCll/嘱2ql/2ql/241ql/2AAB11/l1/lx（2责）求A截面默的转梁角在A截面旋加一侨单位描力偶引起米的x截面紫的弯拌矩为qCll/污2（顺裂时针幻玉）ql/242B例题坑6替图冷示外期伸梁缴,其渠抗弯蛮刚度配为EI.质用单屑位载挤荷法叉求C点的猜挠度凑和转助角.ACqF=卡qaa2a43BAABCa2a1解：xAB:（1润）求目截面络的挠刃度（阔在C处加艇一单布位力治“1劈燕”）CqF=桂qaa2aFRAx1/244BC:BAABCa2aCqF=猪qaa2aFRA1/唉2xx145BABC:AB:（2觉）求C截面博的转供角（事在C处加留一单宏位力奸偶）1xxABCa2axCqF=扇qaa2ax1/2a（）FRA46例题挡7洒刚废架的孝自由耽端A作用奇集中民力F.刚瞒架各壮段的酸抗弯巷刚度窜已于讨图中部标出芽.茶不计连剪力窝和轴说力对棍位移敬的影画响.接计文算A点的牲垂直凶位移政及B截面裤的转在角.aABCFlEI1EI2解:（1）族计算A点的串垂直豪位移喂,在A点加毛垂直丸向下库的单乱位力BClEI1EI2a147AB:BC:aABCFlEI1EI2xxABC1lEI1EI2xxa48（2过）计忠算B截面蜡的转骂角,庸在B上加市一个急单位势力偶齐矩AB:BC:ABCFlEI1EI2xxaABClEI1EI2xxa（）149例题要8厅图治示刚脾架,神两杆脂的EI和EA分别荣相同幸,试阶求C点的乞水平森位移砖.CFabAB解:渣在C点加乎一水粪平单高位力1abBAC50Fab1abxxABBACCCB:xxAB:51Fab1abxxABBACCxx52例题麻9病图吓示为宿一水概平面锯内的移曲杆彼，B处为息一刚府性节弓点，AB编C=9苦0°在C处承店受竖糊直力F，设反两杆惠的抗露弯刚绘度和呜抗扭地刚度荷分别折是EI和GIp，求C点竖养向的扒位移祖.ABCFab53xx解:沈在C点加后竖向漆单位原力BC:ABCFabABC1abxxAB:54xxABCFabABC1abxx55例题炉10箩由三誓杆组自成的客刚架坚,B,C为刚疗性节担点,撤三杆六的抗挺弯刚避度都领是EI,试框用单肾位载梳荷法倚求A1,A2两点帽的相板对位夺移.A1A2BCllFF56x解：户在A1,A2处加棚一对究水平火单位沸力.B,C两支窄座的怖反力牢均为分零.A1B：BC：CA2：xxA1A2BCllFFxxxA1A2BCll1157例题橡11浴刚挎架受娃力如处图,谈求A截面催的垂警直位旬移,逼水平倘位移均及转船角.ABCllq58AB：BC：解:康求A点铅万垂位既移（揭在A点加态竖向赚单位爪力）xxxxABCllqABCllq159求A点水详平位击移（肚在A点加系水平界单位挤力）AB：BC：xxxxABCllqABCllq160xx求A点的弊转角酿（在A点加盘一单订位力驶偶）AB:BC：xxABCllqABCllq1（）61例题您12归图示颈为一烛简单降桁架巧,其撒各杆离的EA相等贯.视在图迷示荷设载作来用下A、C两节颂点间迟的相央对位绍移.FaaFABCDE132456789a62FaaABCDE132456789aFaaFABCDE132456789a桁架拿求位物移的香单位团荷载岛法为116312345678杆件编号90-F-F-FF-2F010000aaaaaaa02Fa0000A,C两点塘间的嗓距离病缩短牧.64例题赏13者计既算图罢（a）所冠示开忌口圆厕环在F力作叹用下担切口堡的张鲜开量ΔAB.EI=常数袜.BAORFF(a)65BARPF(b瞒)BARP1(c羞)解：OO66213设弹茅性结凑构在烈支座跳的约叠束下乳无任盈何刚删性位阁移.作用孙有外壳力:F1,F2,梅,Fi,相应顶的位彩移为俯：1,2,颠,i,§1绩3-查5卡氏免定理(C超as磨ti嗓gl劳ia螺no寻’s案Th扮eo蛋re椒m)F1F2F3结构纽奉的变清形能67只给Fi一个赔增量Fi.引起场所有代力的欲作用猪点沿奏力方轿向的妖位移伯增量骗为213F1F2F3在作辫用Fi的过岸程中符,Fi完成塞的功售为原有残的所恢有力维完成谋的功绘为结构型应变弟能的献增量骂为68如果购把原微来的仙力看段作第陷一组位力,半而把Fi看作狡第二我组力屈.根椐女互等该定理略去高阶微量或者当Fi趋于链零时,薪上式旁为这就皇是卡氏少第二撕定理（C选as锡ti恰gl柱ia它no洋’s基S上ec扩on头d嚷Th则eo狮re宇m）（卡咸氏定筋理）（Ca耗st废ig锹li柄an拾o’长s消T援he狮or拐em姑）69（1洽）卡咏氏第淘二定使理只口适用饭于线标性弹快性体说明（D梅ir馆ec柴ti路on将s）：（2挠）Fi为广鼠义力疮，i为相姑应的脏位移一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移70（3喊）卡耀氏第致二定描理的缘瑞应用（a所）轴向摇拉伸茄与压卧缩（b印）扭转（c继）弯曲71（4锈）平面系桁架（5苏）灵组以合变裂形72例题及14洽外伸翼梁受腐力如刘图所胆示,悼已知粱弹性巧模量EI.梁范材料趣为线迫弹性逐体.吼求梁C截面她的挠摄度和A截面捏的转刑角.FABCMelaFRA73AB:BC:ABClaFRAFx1x2解:Me74ABClaFRAFx1x2Me（）75例题延15麦刚架班结构暗如图缓所示杰.猜弹性颠模量EI已知铅。材钓料为文线弹捏性.金不政考虑翁轴力借和剪框力的北影响符，计约算C截面象的转败角和D截面快的水特平位判移.ABCDaa2aMe解位:剖在C截面绣虚设本一力哀偶Ma,在D截面革虚设瞎一水权平力F.FRDFRAxFRAyMaF76CD:CB:AB:xxABCDaa2aMexFRDFRAxFRAyMaF772axxABCDaaMeFRDFRAxFRAy（）McF78例题权16埋圆矛截面剑杆AB理C,（AB疲C=9磨0°理）位谷于水冰平平田面内段,已懂知杆叔截面灭直径d及材屯料的镇弹性估常数E,G.求C截面嗓处的胸铅垂暗位移摔.不库计剪睬力的舌影响统.ABCllq79BC:弯曲类变形ABlQMBxABCllqFxxAB:弯曲舰与扭猎转的追组合衔变形（扭巧转变谷形）（弯硬曲变核形）8081例题灭17滴图示仅刚架领各段打的抗握弯刚宝度均漆为EI.不脱计轴柱力和斯剪力廉的影评响.蔽用西卡氏量第二叮定理僵求截困面D的水调平位乘移D和转伸角D.MaxF1FABCDll2l解:剩在D点虚久设一维力偶吉矩MaCD:弯滴曲变父形82但是拳轴力厦不计科,因袍此横词截面武上的内泄力只肢计弯兰矩.F1ABCF2FlMa将力F向C简化六得：力F（产孕生拉你伸变截形）力偶讲矩响2Fl（产厅生弯口曲变忙形）Ma（产的生弯裁曲变辱形）AC产生描拉伸城与弯腰曲的鄙组合贵变形浑.裁横截热面上捐的内然力有金轴力俊和弯恋矩.F1xFABCDll2lMa将Ma向C简化嗓得:83xBC段：BA段：F1FABCDll2lxF2FlxMaMa84§1酒3-源6计算里莫尔析积分啄的图急乘法(T从he抹m估et代ho初d移of缴m佳om差en惯t距ar还ea贤s宏fo狠r谁th乎e准mo腹hr匆’s咽i衡nt鹅eg暮ra券ti鄙on揉)等直枯杆的考情况忙下,螺莫尔壶积分乎中的EI为常首量,瓜可提盲到积名分号西外面只需交计算狸:85因为是由单位力或单位力偶引起的弯矩,故沿杆长方向的图一般是由直线或折线组成.M(x)图一般是曲线.M(x)M(x)ldxxCxCM(x)M(x)MCMM86ωxCCM(x)xxl设在亏杆长暗为l的一录段内M（x）图摧是曲直线设直算线方趋程是M(x)是直线,为l段内图M(x)的面积ω87M(x)xlxωxCCC为图M(x)的形宽心,xC为其坐标为图M(x)对y轴坐标的静矩是和M(x)图的形心对应处的M(x)的值.88M(x)xlxωxcC对于描等直阅杆有即积分可用M(x)图的面积w

和与M(x)图形心C对应的的乘积来代替MC当M图为除正弯色矩时百,w应代卸以正忙号.当M图为春负弯必矩时逐,w应代匆以负退号.也应按弯矩符号给以正负号.MC注意有时M(x)图为连续光滑曲线,而为折线,则应以折线的转折点为界,把积分分成几段,逐段使用图乘法,然后求其和.M(x)89b几中响常见阶图形樱的面任积和滴形心据的计叛算公码式alh三角映形CClh顶点二次伞抛物计线90lh顶点cN次抛奴物线lh顶点c二次未抛物洁线3l/4l/491例题久18寇均布棚荷载逮作用永下的容简支炼梁,与其EI为常各数.坊求之跨中盘点的恢挠度佳.ABCql/2l/2FABCl/2l/2以图的转折点为界,分两段使用图乘法.M(x)C1C292ABCql/2l/2ABCFl/2l/2C1C293例题溪19宫图坏示梁句,抗狸弯刚办度为EI,承削受均院布载急荷q及集盛中力F作用鞠.恒用图肠乘法宾求:（1建）集勾中力胆作用愧端挠贞度为腊零时社的F值；（2戏）集滥中力棒作用缘瑞端转矮角为谢零时银的F值.FCABalq94FCAB解：aalqMql2/8Fa1ABalCM95例题唯20驰图示诸开口营刚架春,EI为常旨数.刊求A和B两截包面的烘相对缝角位层移qAB和沿F力作笋用线州方向童的相特对线绝位移ΔAB.aaa/2a/2ABFF96解：Fa/2a/2FFFa/2Fa/2a/2a/21a/2Baaa/2AA97例题21图示槽刚架贵,EI为常障数.春求A截面男的水载平位侮移ΔAH和转客角qA.BAaaq98aqa/2qa2/2解：BAaaaBAaaBaBAaaqqa/2qa11111a111qa2/299C例题22拐杆吴如图侨,A处为候一轴颂承,械允许防杆在宗轴承旁内自续由转仇动,透但不羞能上践下移属动,拜已知钥:E=2火10茂GP芒a,G=0揉.4E,求B点的搞垂直略位移剥.5A30逃0B50在0=1F01020

解:（妇1）画单袋位载母荷图C5A30此0B50远0=60kNF11020

x1x1xx10弱0（3狐）变党形（2亦）求汉内力10哭1质点止和质碎点系旺的虚挎位移谈原理猴:质驶点和征质点娱系处宴于平近衡状射态的浮充要绒条