数论基础slgl素数计数完全

12131415121314 1213121314素数2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,41,43,47,53,59,61,·····1213121314素数2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,41,43,47,53,59,61,·····定理1(欧几里得 存在无穷多个素数素数2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,41,43,47,53,59,61,·····定理1 得 存在无穷多个素数证明假设已r个素p1,p2,···,pr121314

素数2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,41,43,47,53,59,61,·····定理1 得 存在无穷多个素数证明假设已有r个素数p1,p2,···,pr，A=p1p2···pr+121314

素数2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,41,43,47,53,59,61,·····定理1 得 存在无穷多个素数证明假设已有r个素数p1,p2,···,pr，A=p1p2···pr+断言1在整除A的素数q．121314

素数2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,41,43,47,53,59,61,·····定理1 得 存在无穷多个素数证明假设已有r个素数p1,p2,···,pr，A=p1p2···pr+断言1在整除A的素数q．断言2qp1,p2,···,pr都不相同121314

p1=p2=p3=p4=p5=121314121314

A=2+1=A=2·3+1=A=2·3·7+1=A=2·3·7·43+1=13·A=2·3·7·43·13+1=53·A=2·3·7·43·13·53+1=·····12131412131443素

5,13,17,29,37,41,53,61,··3,7,11,19,23,31,43,47,··41素43素

5,13,17,29,37,41,53,61,··3,7,11,19,23,31,43,47,··12121314定理 存在无穷多个模4余3的素数41素43素

5,13,17,29,37,41,53,61,··3,7,11,19,23,31,43,47,··12121314定理 存在无穷多个模4余3的素数证明假设已有模43素数3,p1,p2,···,pr41素43素

5,13,17,29,37,41,53,61,··3,7,11,19,23,31,43,47,··定理 存在无穷多个模4余3的素数证明假设已有模43素数3,p1,p2,···,pr，121314A=4p1p12131441素43素

5,13,17,29,37,41,53,61,··3,7,11,19,23,31,43,47,··定理 存在无穷多个模4余3的素数证明假设已有模43素数3,p1,p2,···,pr，A=4p1p2···pr+121314断言1在12131441素43素

5,13,17,29,37,41,53,61,··3,7,11,19,23,31,43,47,··定理 存在无穷多个模4余3的素数证明假设已有模43素数3,p1,p2,···,pr，A=4p1p2···pr+121314断言1：存在整除A的模4余3素数q．断言2：q 与3,p1,p2,12131443p1=p2=p3=p4=121314121314

A=4·7+3=A=4·7·31+3=13·A=4·7·31·67+3=19·A=4·7·31·67·19+3=179·A=4·7·31·67·19·179+3=··43p1=p2=p3=p4=p5=

A=4·7+3=A=4·7·31+3=13·A=4·7·31·67+3=19·A=4·7·31·67·19+3=179·A=4·7·31·67·19·179+3=··121314注记不能用此方法证1213141213121314定理3(狄利克雷) 和m是互素的整数，则存在无穷多个模m余 12131415121314 问题已知素数有无穷多个，而合数也有无穷多个．哪种 121314

问题已知素数有无穷多个，而合数也有无穷多个．哪种 定义素数计数函数π )=#{素数p|p121314

问题已知素数有无穷多个，而合数也有无穷多个．哪种 定义素数计数函数π )=#{素数p|p例 π(10)=4，π(60)=121314

12131213145000→π)4 →π()0.250.190.1680.134 5000→π)4 →π()0.250.190.1680.134 1213141213141213121314→∞π)4→∞→∞π /→1PrimeNumberTheorem定理(素数定理 很大时，小 的素数近似等于有

，即

=121314121314121314121314两个素

每个偶n≥4都可表示121314121314p+2也是素

存在无穷多个素数p使2孪生素数猜想p+2也是素

存在无穷多个素数p使设T )=#{素数p |p+2也是素数}．测

T

2=C.→ /121213143(N2+1猜想素数

存在无穷多个形如N2+1 14 3N2+1猜想素数

存在无穷多个形如N2+1设S )=#{素数p |p=N2+1}．测limpS

=C′12131412131412131415121314 问题 研究形如n−1（n≥2）的素数12 121314问题 研究形如n−1121314注记 如 >2，则n−1是合数121314问题1 研究形如n−1（n≥2）的素数．注记1 >2121314问题 研究形如2n−1（n≥2）的素数问题1 研究形如n−1（n≥2）的素数．注记1 >2，则n−1是合数．问题 研究形如2n−1（n≥2）的素数121314注记 如果n是合数，则121314问题1 n−1（n≥2）的素数．注记1 >2，则 n−1是合数．问题 研究形如2n−1（n≥2）的素数121314注记2 如果n是合数，则2n−1是合数．问题3 研究形如2p−121314MersennePrimes定义形如2p−1的素数称 素数121314 MersennePrimes定义形如2p−1的素数称为 例1 22132317251271213−1=121314 MersennePrimes定义形如2p−1的素数称为 例1 22132317251271213−1=例 211−1=2047=23·89不 素数121314 编发现日素数Mp的位472008-08-2343111297482013-01-2557881742492015-09-1774202233502017-12-2677232324121314 编发现日素数Mp的位472008-08-2343111297482013-01-2557881742492015-09-1774202233502017-12-2677232324因特 素数大搜索（GreatInternetMersennePrime121314 编发现日素数Mp的位472008-08-2343111297482013-01-2557881742492015-09-1774202233502017-12-2677232324因特 素数大搜索（GreatInternetMersennePrime问 存在无穷多 素数么121314 12131415121314

定义 完全数是等于其真因数之和的数1213

12121314定义 完全数是等于其真因数之和的数例 6=1+2+3，所以6是完全数定义 完全数是等于其真因数之和的数例 6=1+2+3，所以6是完全数121314例 28=1+2+4+121314定理1 德完全 如果2p−1是素数2p−1(2p−1)是完全数121314

定理2(欧拉完全数定理 如果n是n=2p−1(2p−其中2p−1 素数

完全数，则121314

12121314定义σ(n)表示n的所有因数之和（包1n．定义σ(n)n的所有因数之和（包括1n定理3(σ函 (1)若p是素数，k≥