点线面位置关系证明复习指导与热点专项训练题

点线面位置关系证明复习指导与热点专项训练题空间点、线、面是学习空间几何的基础，通过学习相关定理、定义、图形认识，以及它的基本质以及位置关系判断，有利于逐步加深对空间几何体的认识。一．熟记公理，解决问题公理1的用定直线是在平面内需判断直线上有两点在平面内此线在平面内判断点是否在平面内，只需判断点在某一条直线上，此直线在平面内。公理的作）定平面依据，一般先由三点确定一个平面，然后再处理其他几何量与此面的关系）证明点、线共面的题。公理的作）定两个面是否相交的依据，只要两个不重合的平面有一个公共点，就可判定这两个平面相交于过这一点的一条直线证明点在直线上（多点共线问题需判断点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则点在交线上。公理4通常称为空间平行线的传性；由公理可空间平行于同一条直线的所有直线都互相平行；它给出了空间两条直线平行的一种证明方法。例1、如图所示，平面

ABD

平面＝，、、、分在ABBC、CDDA上，证EH与FG的点P与B、三共线。【分析】只需证明P在面ABD上又在平面上，即为两个平面的公共点即可。【点评】证明三点共线通常采用如下方法：方法一是首先找出两个平面，然后证明这三点都是两个平面的公共点，根据公理3知，些点都在交线上。方法二是选择其中的两个确定一条直线，然后证另外一点在这条直线上。

二．证明平行、垂直问题，重在转化证明平行、垂直问题永远是高考热点，其内容蕴含着丰富的数学思想（主要是转化思想中果能够适时地渗透有关的数学思想，不仅有助于降低学习难度，把握知识本质和内在规律，还可以提数学素养，发展思维能力。如平行问题中的转化如图所示：1、点、线、面之间位置关系例2、若

，m，n

是互不相同的空间直线，重的平面，则下列命题中为真命题的是（）Ａ．若

，则

l∥

Ｂ．若

，则

lＣ．若

l，mn

，则

l∥m

Ｄ．若

l∥

，则

【答案】【点评】本题考查了考生对空间点、线、面的平行与垂直关系的空间想象能力及对其位置关系理论推导，同时也考查了考生将几何语言、符号语言、图形语言进行转化与利用的能力，及灵活选择不同信息条件进行解题的信息处理与分析能力。2．线面、面面平行、垂直问题例3、已知正三棱柱

AB

中，过

BC

作平面

BCD//1

，AC交平面

BCD

于D，求证：平面

平面ACC1

.【证明】如图，连接B交C于，再连接DO，则平面A

C

平面

BCDDO

因为

AB//

平面

BCD

，所以

AB//

DO.又因为四边形

CBB

为平行四边形，所以O为

B

的中点，故D为AC的点，因为等边三角形，所以

BDAC

因为平面

ABC平面ACCA1

，所以

BD平面

，平面

BDC平A1

.【点评】证明面面垂直通常利用判定定理，在一个平面中找出一条直线与另一个平面垂直，而题充分利用了中点的性质，由线面平行

线线平行

线面垂直

面面垂直。3．探索性问题中的平行、垂直题例4、如图，五面体ABCDEF中点是矩形ABCD的对角线的交点，面是边三角形，棱

//

12

.（Ⅰ）证明EO//平ABF；（Ⅱ）问

为何值时，有OF平ABE；试证明你的结论（Ⅱ）解：OF平A连E.平EM

，又四边形为行四边形。□OEFM为菱形MO

,设a，则BC2

。

在正

中MF

a

，

a

32

.，CD.

BC3.CD2a3

，综上可知，当

3时，有面A点评：本题属于探索性问题，先假设O平，出四边形OEFM为形，进求得边之间的关系，从而解决问题。作辅助线要有依据的，不是想当然的作，一般要根据判定定理或性质定理进行辅助线。4．开放探索问题例5如图示，在四棱锥﹣ABCD中PA底面ABCD且底面各边都相等M是PC上的动点，点M满足

时，平面MBD⊥平面PCD要写一个你认为是正确的条件即可）【分析】由题意要得到平面MBD⊥平面PCD容易推得ACBD只需AC垂平面MBD内与BD交的直线即可．【点评】本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础．例4.如图，AB是⊙的径C是圆上不同于、点PA垂直⊙所平面AE⊥于EAF⊥PC于F，因此⊥面PBC（请填图上的一条直线）【分析】根据题意，⊥且BCPA，结合线面垂直的判定定理，得到BC⊥平面PAC，从而得到面PBC⊥平面，AF在平面PAC内且直于交线PC联想平面与平面垂直的性质定理，得到AF⊥面PBC最后用直线与平面垂直的判定理可证出这个结论．

【解析】∵⊥面ACB，BC面，∴BC⊥，∵是⊙的径，∴BCAC，∵PA∩AC=A，、平面PAC∴BC平面PAC∵AF面PAC，∴BC⊥AF∵PC⊥，PC∩BC=B，、平PBC∴AF⊥平面PBC，故答案为：AF【点评】本题给出一个探索性问题，通过寻找已知平面的垂线，着重考查了直线与平面垂直的定与性质和平面与平面垂直的性质等知识点，属于中档题．热点专项训练题1.•沈阳三模）已知，，表示不同的直线αβ表示不同的平面，下列命题：①若a∥，∥，则∥；②若a⊥，⊥c⊥，则⊥；③若a⊥，⊥，则∥；④若a∥，∥bβ，aβ，则∥．其中错误命题的序号是（）A．①③B．④C．③④D．①②【答案】；2•西城区二模）设，是条不同的直线α，β是个不同的平面，出下列四个命题：①如果m∥nα，么n；②如果m⊥m⊥β，那么α∥；③如果α⊥β，⊥，那么∥；④如果α⊥β，∩=m，m⊥，那么⊥β．其中正确的命题是（）

A．①B．②C．③D．【答案】；【解析】①如果m∥αm行或异面，故①错误；②如果m⊥m⊥β，那么由平面与平面平行的判定定理得αβ，②正确；③如果α⊥β，⊥，那么∥或mβ，③错误；④如果α⊥β，∩=m，m⊥，那么n与β相交，平行或nβ，④错误．故选：．3（2018•黄石二模）设m，n是条不同的直线α，β是个不同的平面，且mα，β，下列命题中正确的是（）A．若αβ，m⊥nB．若α∥β，m∥n

C．若m⊥，αβ

D．若n⊥，则α⊥【答案】；【解析】对于A，若α⊥β，m、位关系不定，不正确；对于B，若αβ，m∥n或mn面，不正确；对于C，若m⊥，则α、β位关系不定，不正确；对于D，根据平面与平面垂直的判定可知正确．故选：．4•山东泰安一模）已知mn是两条不同直线α，β，是个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥，∥α，则∥nB．若αγ，γ，α∥βC．若m∥，∥β，则α∥βD．若m⊥α，⊥α，则mn【答案】.D5•淮北一模）在空间四形ABCD边、BC、、DA上分别取E、F、、四，果EF与HG交于点M，那么（）A．M一在直线AC上B．M一定直线CD上C．M可在AC上，可能在BD上D．不在AC上，也不在BD上

【答案】；【解析】由于ABCD是空四边形，故，BC确定平面ABCCD，确平面ACD．∵∈，∈BC∈CD，∈∴EF面ABC，GH面，∵EF∩GH=M∴∈ABC，∈ACD∴面ABC∩面ACD=AC∴∈故选：．6.（2018年广东省湛江市高考学二模）下列命题正确的是：（）①三点确定一个平面；②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；③如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面；④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面．A．①③【答案】；

B．④C．②D②③【误区警示】平面的基本性质1：①说明了平面与曲面的本质区别；②是判定直线是否在平面内依据；③也可用于验证一个面是否是平面。平面的基本性质证明两平面重合；平面的基本性质3的作用五个：

①判定两个平面相交；②证明点在直线上；③明三点共线；④证明三线共点；⑤画两个相交平面的交线．7.（2018年东北三省三校（哈大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）三模）棱长为2的正方体ABCD﹣B，棱AD点，过点B，且与平面ABE平行正方体的截面积为（）A．5B．2C2D．6【答案】.C（2018年湖省株洲市高考数二模）有一正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）木ABC﹣BC，各

棱长都为2，已知Q，分别上，下底面的中心M为Q中点，过A，，三点的截面把该料截成两部分，则截面面积为（）A．B．C．D．【答案】；9.•三明二模）如图，已正方体ABCDAB棱长为2，以下四个命题中错误的是

）A．直线AC与AD为异面直线．A平面ACDC．BD⊥D．三棱锥D﹣的体积为【答案】；

【解析】由正方体ABCD﹣的长为，知：在A中直线AC⊂平ABC，平ABC，D直AC，异面直线判定定得直线A与AD为异面直线，故A正确；在B中∵C∥，C⊄平面ACD，AC平ACD，∴∥面ACD，B正；在C中∵正方体ABCD﹣中，⊥BD，ACDD，∵BD∩DD，∴⊥BDD，BD⊥AC故正确在D中三棱锥D﹣的积

==，错．故选：．10（2018•泉州二模）如图，在列四个正方体BCDABCD中EFG均所在棱的中点，EFG作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD平面EFG垂直的是（）A．B．C．【答案】；

D．

二．填空题11.（2018江苏徐州铜山区三模已知平面αβ，直线m．给出下列命题：①若m∥α，∥β，∥，αβ；②若αβ，∥，β，∥；③若m⊥α，⊥β，⊥，αβ；④若αβ，⊥，β，⊥．其中是真命题的是（写所有真命题的序号【答案】③④；12.（2018•榆林二模图三棱台ABCA的6项点中任取3个作平面α∩平面ABC=l，若l∥C，这个可以是）①．B，，②B，，

③．A，，④A，，

【答案】④；【解析】过点B作BD∥，BD∥AC，BD上于点D点，连接AB，CD，如图所示；

则平面BDC即为所作的平面α，α∩面ABC=CD=l且lA所以这个是、、．选：④．（2018年肃省天水一中高数学四模试卷）已知mn是两条不重合的直线αβ，γ是三个两两不重合的平面给出下列四个命题：（）m⊥α，⊥β，α∥β；（）若γ，β⊥γ，α∥β；（）mα，β，α∥β；（）m∥β，β∥γ，则γ．其中不正确的命题是（）【答案】（2三．解答题14（2018•江苏铜山区一模）如，在直三棱柱BCAC中已知∠ACB=90°BC=CC，，F分为AB，AA的中点．（）证：直线∥面BCA；（）证EF⊥BC．

证明）题知，EF是eq\o\ac(△,)B中位线，所以EF∥AB……………2分由于EF平面BCA，B平BCA，所以EF∥平面BCA．………6分）15（2018广东江门一模）如图直角梯形ABEF中，ABE=∠BAF=90°，、分别BE、AF上的，且DA=AB=BC=