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文档简介

全微分方程的解法演示文稿目前一页\总数二十四页\编于二十二点全微分方程的解法目前二页\总数二十四页\编于二十二点目前三页\总数二十四页\编于二十二点

一、概念若有全微分形式则称为全微分方程。定义:例1：所以是全微分方程.方程是否为全微分方程？解：通解则为（C为任意常数）。目前四页\总数二十四页\编于二十二点目前五页\总数二十四页\编于二十二点问题:（1）如何判断全微分方程？（2）如何求解全微分方程？（3）如何转化为全微分方程？定理1设函数

和

在一个矩形区域是全微分方程中连续且有连续的一阶偏导数，则

（1）证明必要性

证明：

因为是全微分方程，目前六页\总数二十四页\编于二十二点则存在原函数，使得

所以

将以上二式分别对求偏导数，得到

又因为偏导数连续，

，即

所以

目前七页\总数二十四页\编于二十二点（2）证明充分性

设

，求一个二元函数使它满足

即由第一个等式，应有

代入第二个等式，应有

这里目前八页\总数二十四页\编于二十二点因此，则因此可以取此时

这里由于，故曲线积分与路径无关。因此目前九页\总数二十四页\编于二十二点

二、全微分方程的解法(1)线积分法:或(2)偏积分法第一个等式对积分

目前十页\总数二十四页\编于二十二点代入第二个等式求

，即可得

(3)凑微分法直接凑微分得

例2：验证方程是全微分方程，并求它的通解。由于

解：目前十一页\总数二十四页\编于二十二点所以方程为全微分方程。(1)线积分法:故通解为目前十二页\总数二十四页\编于二十二点(2)偏积分法:假设所求全微分函数为,则有代入可得因此从而即目前十三页\总数二十四页\编于二十二点(3)凑微分法:由于

方程的通解为：根据二元函数微分的经验,原方程可写为目前十四页\总数二十四页\编于二十二点例3：验证方程是全微分方程，并求它的通解。

由于

解：

所以方程为全微分方程。(1)线积分法:目前十五页\总数二十四页\编于二十二点故通解为(2)偏积分法:假设所求全微分函数为,则有

所以从而即目前十六页\总数二十四页\编于二十二点(3)凑微分法:方程的通解为：根据二元函数微分的经验,原方程可写为练习：验证方程是全微分方程，并求它的通解。方程的通解为：

目前十七页\总数二十四页\编于二十二点积分因子法

一、概念

二、积分因子的求法目前十八页\总数二十四页\编于二十二点一、定义:0),(¹yxm连续可微函数，使方程0),(),(),(),(=m+mdyyxQyxdxyxPyx成为全.微分方程则称),(yxm为方程的积分因子.例1验证是方程的积分因子，并求方程的通解。

解：是全微分方程。方程通解为目前十九页\总数二十四页\编于二十二点1.公式法:求解不容易特殊地:(两边同除)a.当只与有关时，

二、积分因子的求法目前二十页\总数二十四页\编于二十二点b.当只与有关时，目前二十一页\总数二十四页\编于二十二点2.观察法:凭观察凑微分得到常见的全微分表达式目前二十二页\总数二十四页\编于二十二点一般可选用的积分因子有等。可选用的积分因子有可

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