弹性力学之薄板弯曲问题

第一节有关概念及计算假定第二节弹性曲面的微分方程第三节薄板横截面上的内力第四节边界条件扭矩的等效剪力第五节四边简支矩形薄板的重三角级数解第六节矩形薄板的单三角级数解第七节矩形薄板的差分解第八节圆形薄板的弯曲第九节圆形薄板的轴对称弯曲例题第九章薄板弯曲问题薄板是厚度远小于板面尺寸的物体。§9-1有关概念及计算假定定义薄板的上下平行面称为板面。薄板的侧面，称为板边。平分厚度的面,称为中面。比较薄板受到横向荷载（⊥板面）的作用--

薄板的弯曲问题。薄板受到纵向荷载（∥板面）的作用--

平面应力问题；杆件受到横向荷载（⊥杆轴）的作用--

梁的弯曲问题。杆件受到纵向荷载（∥杆轴）的作用--

杆件的拉压问题；

薄板弯曲问题属于空间问题。其中，根据其内力及变形的特征，又提出了3个计算假定，用以简化空间问题的基本方程，并从而建立了薄板的弯曲理论。特点 当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称为薄板的弹性曲面。定义小挠度薄板--这种板虽然薄，但仍有相当的抗弯刚度。它的特征是：(3)在内力中，仅由横向剪力与横向荷

载q成平衡，纵向轴力的作用可以不计。(2)在中面位移中,w是主要的，而纵向位

移u,v很小，可以不计；(1)具有一定的刚度，横向挠度；1.

垂直于中面的线应变可以不计。取，由，得 故中面法线上各点，都具有相同的横向位移，即挠度w。

本章研究小挠度薄板的弯曲问题。

根据其内力和变形特征，提出了3个计算假定：计算假定弯应力（合成弯矩）及扭应力（合成扭矩）横向切应力（合成横向剪力）挤压应力

2.

次要应力分量远小于其他应力分量，它们引起的形变可以不计。薄板中的应力与梁相似，也分为三个数量级：

所以为次要应力，为更次要应力。略去它们引起的形变，即得并在空间问题的物理方程中，略去引起的形变项。因此，当略去后，薄板弯曲问题的物理方程为

(1)在薄板弯曲问题中，略去了次要应力引起的形变;但在平衡条件中，仍考虑它们的作用。说明：⑵薄板弯曲问题的物理方程(b)与平面应力问题的物理方程相同。但沿板厚方向，对于平面应力问题的应力为均匀分布，合成轴力而薄板弯曲问题的应力为线性分布，在中面为0，合成弯矩和扭矩。⑶从计算假定1、2，得出故中面法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。因此，中面在变形后，其线段和面积在xy面上的投影形状保持不变。由于故3.中面的纵向位移可以不计，即实践证明，只要是小挠度的薄板，薄板的弯曲理论就可以应用，并具有足够的精度。类似于梁的弯曲理论，在薄板弯曲问题中提出了上述3个计算假定，并应用这3个计算假定,简化空间问题的基本方程，建立了小挠度薄板弯曲理论。 1.试考虑在材料力学梁的弯曲问题中，是否也应用了这3个计算假定？2.在材料力学的梁弯曲问题中，采用了平面截面假设。在薄板中有否采用此假设？思考题§9-2弹性曲面的微分方程

本节从空间问题的基本方程出发，应用3个计算假定进行简化，导出按位移求解薄板弯曲问题的基本方程。薄板问题解法2.将其他未知函数─纵向位移u,v；主要应变分量;主要应力分量；次要应力分量及最次要应力均用w来表示。

薄板弯曲问题是按位移求解的，主要内容是：

4.导出板边的边界条件。3.导出求解w的方程。

1.取挠度w(x,y)为基本未知函数。

具体推导如下：

1.取挠度为基本未知函数。应用几何方程及计算假定1，2.

将，用表示。应用几何方程及计算假定2，得对积分，又由计算假定3，

故得3.主要尺应变稿用勿表法示。应用筹其余执三个奖几何挥方程逢，并捐代入激(a朵)，得：(b杂)4.主要润应力耽用潜表久示。应用麻薄板蜓的三痰个物磁理方毙程及革式(b)，坚得：(c竿)5.次要瞧应力商用络表示夹。应用召平衡枯微分厌方程今的前棵两式骑（其逗中纵向体跳力刮）停，有代入欢式(c)银，并数对z积分夸，得音：其中因为上下镜板面是大耀边界渔，必醉须精确据满足胃应力摊边界畜条件由此舱求出观及章，榆代入搜得到6.更次毁要应覆力孤用再表示踏。应用双第三浮个平步衡微旱分方怠程，据将体载力及嫁板面盛上的寒面力梨等效异地移蒙置到烟上板翅面，杏有代入迁式(d)，庸并对z积分祝，得由下板斯面的胳边界馆条件求出塌，故翁更次能要应疯力为7.导出巷求解w的基芳本方杜程。由上板剥面边阅界条畅件（属决于静也力平丘衡条李件）得出尝在A域中援求w的方痛程，(f单)(g昆)为薄板枝的抗退弯刚基度求w穗方程说明面：⑴在三圣个计呈算假喇定下踏，纵向渣位移u,v；主添要应震变膏；赛主要应力油；沿灰z向距均为借线性绣分布，尚在中羡面狮为0羊；次要牧应力晚（横巧向切诱应力里）教沿z向为燥抛物线裁分布猛；－－争均与距材料沸力学姓相似。更次前要应自力（定挤压警应力禽）垂沿z为三次曲拐线分新布。⑵溉按位败移求红解薄剩板弯乘曲问青题，绍只取灿为基本破未知璃函数争。在刘导出纵求踩的基是本方程中停应用煮了3脂个计庆算假蹄定，对与材窃料力学解娘梁的颠弯曲飘问题丑相似除。⑶从上堆述推循导过士程可余见,空间丑问题臂的6赵个几俱何方颈程，慎6个虑物理衣方程铺和3辅个平舒衡微计分方报程都岂已考俩虑并弄满足（其援中应欢用了航3个匠计算厚假定路）；考并且交在（坏）的大边而界板取面上，3个让应力隙边界贷条件缺也已斑精确态满足。⑷猫只浙有板边禁的边汤界条酒件尚未庄考虑碗，它霜们将管作为盛求解塌微分仙方程风（f太）的改边界暴条件猜。思考迎题试比殿较梁查的弯名曲问匀题和讨薄板撒弯曲岁问题晶的异最同。薄板摄内力，是薄板堵每单筹位宽呼度的渗横截荷面上,榆由应颤力合案成的济主矢充量和蔑主矩们。求薄倍板内着力的校目的摆：§9矩-3店薄作板横桌截面懒上的批内力⑵载在板贴边（危小边粉界）控上，室要用俘内力保的边界条庆件代里替应俗力的唇边界限条件蹄。⑴闯薄板哈是按逮内力正设计赤的；薄板性内力求内颤力：取出竟的六表面体棍，x面上，有应熊力腔，怠，y面上，有应挎力吧，很，膊。其中，雹，=，沿z为直铲线分穴布，腹在中沟面为0；，顶，羡沿z为二姨次分益布，厕方向档∥横壶截面肆。x面帆面积付上，应拿力的捧主矢区量和串主矩驰为：x面内馒力─合造成主分矢量神称为横向却剪力,─合桂成主策矢量泛为0,合贞成主及矩称帖为扭矩,─合枕成主亿矢量圈为0,合化成主镇矩称伶为弯矩,类似房诚地，邪求出y面锹面积烧上的脱内力胳：y面内掘力弯矩扭矩横向习剪力内力吩的正木负号惩规定，根绍据应驾力符烤号确捷定:正的水应力方方向董的主搅矢量首为正箩;正的抽应力腰×正名的矩叉臂的耕力矩厦方向民为正珠,如水图。xyz内力填符号内力谜均为宅单位传宽度浊上的住主矢牵量和荒主矩察，所帖以其揪量纲皮均应苍降低懒一次戴长度领量纲歇。(e惩)(f赤)中面崇内力伞平衡线条件考虑社上图至的中面活平衡霸条件，可姑得：薄板裂内力装是横蚕截面俗上，郑应力腊向中挨面合滨成的惕主矢序量和股主矩戴。再将惨用w来表挡示，侮同样到地得垒出挠蝇曲线改微分蹲方程将前弟两式叹代入揪后式棒，得§9要－4级边律界条魂件繁扭矩妹的等浩效剪子力薄板华的边指界条瓦件：在上支下板振面（大拔边界酬），搜已精筋确地位满足然了3澡个应俯力边矿界条披件。边界租条件板边绢为小修边界孟，可以双应用圣维蹦南原副理来简是化边悠界条马件,猛将板边绵的边纤界条扔件归结配为中面纷的位桨移边觉界条若件或中面询的内听力边摆界条疲件。板边（小支边界粱）的边事界条疏件尚烂未考目虑,埋是求睬解挠赵曲线碗微分丽方程晕的边忙界条至件。，可旺看成令是中培面的朴挠曲缠微分方程识,脂或中惊面的鸟平衡接方程肌；边界缴条件薄板衣板边窝的边牵界条税件分为擦三类钉：1.固定痒边--恰若泼为鹅广义难固定宗边，易则其中娇为给途定的约填束位校移。若完它全固帜定，则固定棉边(a泄)2.简支丙边--若赶为广扫义简堡支边填，则其中辣，杯分别僻为给透定的悠约束侮位移交和弯饱矩。若鬼，贯则一狐般的驻简支拒边条减件为简支施边故氧第衔二个添条件倍可以后简化丸。简阵支边抹的条搭件为因简支葬边3.自由江边--若要为贪一般羽的自他由边咸，则上式恨边界渐条件躁共有犬3个禾，与位四阶雨微分暑方程甚不相售对应蓬。姜经过赛约2林0年煮后，悬基尔广霍夫牛指出开，薄擦板板孔边上爹的扭犯矩可纵化为垮等效嫩的横凶向剪姿力。自由闪边在EF=dx微分嘉段上，总架扭矩剃，化关为E、待F上等鼠效的醉一对耻力捕，林分别鸡向下谋（E）和婆向上天（F）；在FG=dx微分拿段上，总圈扭矩涝，慰化为F、株G上等嫁效的母一对蹲力李，分菊别向握下（F）和脂向上阀（G）。图中权，取利出板边AB（y面）们，扭矩漫的等滔效剪黎力在F点，愁合成蜓集中浆力丘,积向下伤。再起化为瓜宽度漏上的分布夹剪力。故AB边界课总的丢分布倡剪力为此外挎，在A，B两端，还红有两吃个未乎被抵赠的集中卷剪力用挠魄度表栽示为因此抵，自由兼边的怒边界堡条件成为同理油可导碰出喉的辞自由虫边条邪件。4.而自由闷边交扣点的先角点锡条件─在惨角点B，集矿中力为若B点有削支承都，阻绞止挠图度的耕发生轧，则安有若B点无艘支承批，应伏无集盛中力亿，有角点烦条件角点绳集中征力的贷正负喊号及克方向搞，根爪据扭懂矩确壮定，仙见习速题9-河2。固定裂边是劝位移锁边界绢条件球，自句由边汁是内绑力边霉界条壤件，棍简支司边是膝混合今边界谨条件兴。小挠帽度薄庄板的环弯曲恭问题小，已帝经归兽结为全求解阅挠度w，w应满牛足挠曲催线微哑分方顶程和板边代的边钱界条逼件。§9焰－5拉四围边简挖支矩胜形薄雾板的甲重三系角级奴数解求w条件对于四边镰简支在的矩形渡板，边欧界条灯件为(b夜)四边真简支纳维锈将w表示郑为重三御角级递数，其中m，n为正歪整数港。代回入式(b情)，柴全部厕边界棍条件刮满足宣。将q(x,y)知也畜展为迷重三积角级化数，再代膏入式坦(a仔)，撇得将q代入堡上式宜，比脊较两搭边系杏数，开得纳维托解答谨是用今多种骂正弦另波形的叠藏加来哀表示蛛挠度w的。狡对于破各种汽形式吃的荷载q，均邻可方数便地恋求出因解答兆。它程的主俊要是骨，只能适殿用于扰四边欣简支洪的薄狭板。当q为集背中荷棍载F，作伸用于嫁一点吩时，与可用欣代裕替q，并窗且只榜在坡处伤的微拌分面异积上稍存在类，其锋余区你域q=0屋，于滔是饥中当q为均治布荷插载时拐，之代入怪式洗(f交)，敞便可鬼求出崭，祥并得染出w解答涂。设矩形灶板的尚两对嘱边熊为搁简支净边，其哑余两弟边为去任意协边界俩。§9神－6开矩膝形薄私板的粘单三仅角级鼓数解两对幅边简灵支其中胜是待尤定的拨函数禾，m为正肥整数赖。式圈(a仰)已踩满足周了变的苍简支狭边条决件,莱维轨采用单三湾角级垄数表示烟挠度婶，将式镰(a开)代澡入挠还曲线翠微分例方程辩，得两对届边简坟支将瞎也展相开为削单三沟角级宋数，两对冒边简谢支代入浑式(生b)垫，比环较系伴数，韵得出课求娘的普常微存分方把程，其中仇为垮式(辩d)概的特飞解；接其余棒四项民为齐皆次方久程的司通解竞。将崭代板入式貌(a漏)，目得w解，垦其中的系则数由关其余仔两边远界条达件来疾确定辟。式(刺d)录的解周为书中雪列举勉了受侄均布乒荷载残时,筒四边攀简支室板的锈解答辟。矩形村薄板巩应用税重三哀角级共数和颂单三抵角级仙数求甲解，航是非之常重轰要的嗓解法获。下叮面我夹们进一朱步说明刺几点沫。从求雪解薄市板弯恨曲问陷题来耐看，体两者挑比较如下球：适用猾性四边伶简支租两貌对边代简支幕，另签两边庄可任童意求解较困好难，夫须求棉解系箭数收敛抛性慢趁快应用局限裁于四边跌简支垃可并推广详应用旺到其厦他各便种边冒界纳维筑解法萄莱维梁解法简便2.应用叠加摘方法，可扎将莱帖维提框出的息单三角级嘴数解脂，用稳于解决洋各种矩形口薄板欧的边界条胶件问漆题。3.纳维吓解法就和莱兰维解芝法，杂不仅易在薄甜板的米静力（泛弯曲黄）问均题中善得到休了广闻泛的傅应用工，而且四可以康推广箭应用跪于薄怕板的换动力李、稳址定问题赵,以纠及能勤量法苗中。1.竟试考改虑四僻边固晃定的义矩形争板，惊受任误意荷之载内，赖如何决应用励莱维粗法求尾解？2.赛试考礼虑一椅边固俩定三桌边自经由的删矩形谷板，若受任钢意荷寻载轧，买如何山应用标莱维柴法求磁解？思考崖题应用差分阵法求解保薄板晓弯曲享问题宰，是棕比较晋简便们的。首先域将挠曲奖线微禾分方菜程变换暖为差斜分方太程,插分疼方程§9胞－7肚矩桌形板悔的差大分解对冲点趟，即固定备边和搬简支期边附痛近的w值，都如下秆图所凭示。若AB为简支鞋边，对运于o点，若AB为固定分边，则室对于o点，(a锣)固窃定边(b眼)简支之边对于自由百边的情谦形，炒边界腾点的w值是泥未知挎数，兔须列狐式(悼a)铜的差扭分方丢程，酬其中乏涉及武边界根外一刮、二陶行虚北结点杆的w值，讲用自视由边启的边金界条糖件来扛表示霜，所张以求仅解时毅比较屡麻烦殃。对于撕具有支承贵边（简裁支边岁，固渣定边行）的唇矩形遮板，该每一槐内结隐点的w值为煤未知毛数，阿对每泰一内解结点妙应列鹊式(挨a)倡的方能程。别其中勤涉及螺边界田点和讽边界句外一照行虚泼结点辅的w值，耳如式忘(b摧)或巨(c松)所韵示。例1四边股简支买的正炭方形券薄板英，看，受存到均械布荷载浮的氧作用情，试紧取竿的笑网格洁，如图值，用雄差分雾法求斗解薄家板中员心点乎的挠坛度和庸内力（取拔）。2121012120网格精确巴解答案漠:例2同上修题，但四那个边股界均伙为固隐定边。网格精确倡解答案滥:总之系，对闲于具倡有支逃承边愚的矩哪形板怖，采鞭用差顷分法音求解厨是十戚分简萌便有贤效的赌，取臣较少抵的网坡格便帅可求烛得精肤度较喝好的隶挠度弱值w。而惕由w求内圣力时勒，因深为对颈近似谨解w求导疤数后去会降罩低精械度，寄所以过须适锤当地乡丰加密弯网格允。对于志的滩正方仓形薄锐板，方受均千布荷联载作用堵，试柄取讽的必网格克，分态别求诸解下列边侧界问捧题的富中心递点挠时度，吹并进抱行比冷较：边（塑1）惜四边骑简支巨；（2惰）三肉简支户，一搁边固禁定；思考络题（3充）两瞎对边屑简支要，另影两对叼边固员定；（4黄）两泽邻边堪简支尾，另忘两邻戏边固晕定；（5翻）一珍边简续支，断三边怖固定喉；（6眯）四弟边固计定。§9姿－8栏圆字形薄同板的恒弯曲圆板沉弯曲肉问题啦的方戏程和转公式灯，都感可以婆从直坦角坐苗标系龄的方翅程和垃公式衬导出磁。1.挠曲浴微分照方程仍为其中圆板万方程将对x，y的导苏数变匪换为述对负的网导数刺，并殃代入南，务得2.内力爱公式--类似混地可血利用栏公式搏，例如蚂，内力编公式同样住，得牛出类似捏地，量横截震面上咳的总剪呆力为3.边界小条件可以耻表示争为⑵递设害为简支佳边，则⑴穷设型为固定半边，则边界专条件前一楚条件粮使w对水的瘦导数值在着边界州上均为0，故飞简支驳边条卷件为⑶畏设分为自由缸边，则若圆板薯的荷吃载q和边乐界条希件均完为轴礼对称，则吨薄板械的挠度伐和内般力必然葬也为轴对钱称。所邀以有§9必－9朗圆坑形薄进板的胃轴对恩称弯柳曲挠曲缝微分腰方程航为轴对肌称弯迁矩对于无孔奶板，则城除2个外伏边界桂条件庭外，堆还应相考虑故挠度喇和内叉力在消的送有限伞值条款件，所以忠得裙。式(仓a)凳的全解为对于有孔身板，由己内外信边界预共4个边客界条姻件来迫确定宫。通解猾的系虹数京由扮边界背条件劫来确支定：其中特解为边界娱条件上述格的轴葱对称腥解答缴(b该)，们是轴识对称塑弯曲辛的一茧般解解，可珍以应只用于斥一切奴轴对蚕称弯原曲问齿题。馒读者弃可参姓考教云科书狸的解伸答和话有关泄力学套手册潮。第九因章例贝题例题1例题2例题3例题4例题镇5例题受均万布荷筹载提作阀用，臭如图剖，试拒求其唯挠度火和内扑力。固定为边椭怜圆板闭的边醉界方答程为Oabyx例题维1由腹，章显然道。敢因此号，从代方向解：固纯定边钱的边姐界条登件是(a建)(b顷)导数骗的公对式可帮推出沿，为了膏满足务边界催条件捡(a羞)，湾可以漂令便可页满足药式(亡a)推的边令界条京件。对于杆均布惨荷载句，将服式(列c)兰代入凶方程得出序，所并从红而得因此踩，只穷需取(c浙)内力性为读者疤可以拒检验疑，最大渣和最咱小弯蛙矩分别没为当绸时督，便械由上炼述解床得出读圆板戚的解肿答;历若令洁则椭阿圆板挡成为编跨度烈为吉的计平面圆应变抚问题摊的固秩端梁捕。四边恶简支赤矩形围板，辅如图滥，受帆有分揭布荷升载的作酬用，栋试用漫重三看角级否数求撞解其惜挠度印。例题份2解：将墨代帖入积绿分式宜，由三堡角函业数的明正交筝性，及得代入库，凳得挠伯度的骑表达座式为四边愈简支铁矩形事板，释如图评，在菌的颗直线寻上，旁受有帮线分积布荷浮载F的作麻用，F为单采位长棉度上