2022年高三数学第13课时第二章函数反函数专题复习教案

第13课时：第二章函数——反函数一．课题：反函数二．教学目的：理解反函数的意义，会求一些函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用yf(x)与1()的性质解决一些问题．yfx三．教学重点：反函数的求法，反函数与原函数的关系．四．教学过程：（一）主要知识：1．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；2．反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若yf(x)与yf1(x)互为反函数，函数yf(x)的定义域为A、值域为B，则f[f1(x)]x(xB)，f1[f(x)]x(xA)；3．互为反函数的两个函数拥有相同的单一性，它们的图象对于yx对称．（二）主要方法：1．求反函数的一般方法：（1）由yf(x)解出xf1(y)，（2）将xf1(y)中的x,y互换地点，得yf1(x)，（3）求yf(x)的值域得yf1(x)的定义域．（三）例题剖析：例1．求下列函数的反函数：2（1）f(x)x2x(x1)；（2）f(x){x2(1(0x1)；x1x0)（3）yx33x23x1．解：（1）由yx2x(x1)得y2(x1)21(x1)，24∴x1y21(y0)，24∴所求函数的反函数为y1x21(x0)．24（2）当0x时，得xy1(1y0)，当1x0时，1得xy(0y1)，∴所求函数的反函数为yx1(1x0)．x(0x1)3）由yx33x23x1得y(x1)32，∴x13y2(yR)，∴所求反函数为f1(x)13x2(xR)．例2．函数y1ax(x1,xR)的图象对于yx对称，求a的值．1axa解：由y1ax(x1,xR)得x1y1)，a(y(y1axa1)∴f1(x)1x(x1)，a(x1)由题知：f(x)f1(x)，1x1ax，∴a1．a(x1)1ax例3．若(2,1)既在f(x)mxn的图象上，又在它反函数图象上，求m,n的值．解：∵(2,1)既在f(x)mxn的图象上，又在它反函数图象上，∴f(1)2mn2，∴m3，∴．f(2)12mn1n7例4．（《高考A计划》考点12xg(x)与12“智能训练第5题”）设函数f(x)，又函数1xyf1(x1)的图象对于yx对称，求g(2)的值．解法一：由y12x得x1y，∴f1(x)1x，f1(x1)x，1xy2x2x3∴g(x)与yx互为反函数，由2xx，得g(2)2．x33解法二：由yf1(x1)得xf(y)1，∴g(x)f(x)1，∴g(2)f(2)12．例5．已知函数yf(x)（定义域为A、值域为B）有反函数yf1(x)，则方程f(x)0有解xa，且f(x)x(xA)的充要条件是yf1(x)满足f1(x)x(xB)且f1(0)a．例6．（《高考A计划》考点12“智能训练第15题”）已知f(x)a2x1(aR)，是R上的2x1奇函数．（1）求a的值，（2）求f(x)的反函数，（3）对随意的k(0,)解不等式f1(x)log21x．k解：（1）由题知f(0)0，得a1，此时2x12xf(x)f(x)12x2x即f(x)为奇函数．

12x112x0，12x112x（2）∵y2x112x2，得2x1y(1y1)，2x111y∴f1(x)log21x(1x1)．1x1x1xx1k（3）∵f1(x)log21x，∴1xk，∴x，k1x111①当0k2时，原不等式的解集{x|1kx1}，②当k2时，原不等式的解集{x|1x1}．（四）稳固练习：1．设f(x){x21(0x1)，则f1(5)．2x(1x0)42．设a0,a1，函数ylogax的反函数和ylog1x的反函数的图象对于a(A)x轴对称(B)y轴对称(C)yx轴对称(D)原点对称3．已知函数f(x)(1)x1，则f1(x)的图象只可能是（）y