Matlab最优化计算方法

（优选）Matlab最优化计算方法目前一页\总数六十九页\编于十四点实验目的实验内容2、掌握用数学软件包求解线性规划问题。1、了解线性规划的基本内容。3、实验作业。2、用数学软件包求解线性规划问题。1、两个引例。目前二页\总数六十九页\编于十四点问题一：

任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？

两个引例目前三页\总数六十九页\编于十四点解

设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3，在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。可建立以下线性规划模型：

解答目前四页\总数六十九页\编于十四点问题二：

某厂生产甲、乙两种产品，已知制成一吨产品甲需用资源A3吨资源B4m3；制成一吨产品乙需用资源A2吨，资源B6m3，资源C7个单位。若一吨产品甲和乙的经济价值分别为7万元和5万元，三种资源的限制量分别为90吨、200m3和210个单位。试应生产这两种产品各多少吨才能使创造的总经济价值最高？（p153，例8-2）解：这是个最优化问题，其目标为经济价值最高，约束条件为三种资源的数量有限，决策为生产甲、乙产品的数量。令生产产品甲的数量为x1，生产产品乙的数量为x2。由题意可以建立如下的线性规划模型。目前五页\总数六十九页\编于十四点故目标函数为：约束条件为：目前六页\总数六十九页\编于十四点问题2线性规划模型：

解答返回目前七页\总数六十九页\编于十四点1.线性规划的标准形式：用单纯法求解时，常将标准形式化为：2.线性规划的基本算法——单纯形法线性规划的基本算法——单纯形法目前八页\总数六十九页\编于十四点引入松弛变量x3,x4,x5,将不等式化为等式,即单纯形标准形:目前九页\总数六十九页\编于十四点用MATLAB优化工具箱解线性规划minz=cX

1、模型：命令：x=linprog（c，A，b）

2、模型：minz=cX

命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）注意：若没有不等式：存在，则令A=[]，b=[].目前十页\总数六十九页\编于十四点3、模型：minz=cX

VLB≤X≤VUB命令：[1]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB）

[2]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB,X0）

注意：[1]若没有等式约束:,则令Aeq=[],beq=[].[2]其中X0表示初始点4、命令：[x,fval]=linprog(…)返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval.目前十一页\总数六十九页\编于十四点解编写M文件如下：c=[-0.4-0.28-0.32-0.72-0.64-0.6];A=[0.010.010.010.030.030.03;0.02000.0500;00.02000.050;000.03000.08];b=[850;700;100;900];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0;0;0;0;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)目前十二页\总数六十九页\编于十四点解:编写M文件如下：

c=[-7-5];A=[32;46;07];b=[90;200;210];Aeq=[];beq=[];vlb=[0,0];vub=[inf,inf];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)问题2解答目前十三页\总数六十九页\编于十四点S.t.改写为：例3问题一的解答

问题目前十四页\总数六十九页\编于十四点编写M文件如下:f=[1391011128];A=[0.41.110000000.51.21.3];b=[800;900];Aeq=[100100010010001001];beq=[400600500];vlb=zeros(6,1);vub=[];[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)目前十五页\总数六十九页\编于十四点结果:x=0.0000600.00000.0000400.00000.0000500.0000fval=1.3800e+004

即在甲机床上加工600个工件2,在乙机床上加工400个工件1、500个工件3，可在满足条件的情况下使总加工费最小为13800。目前十六页\总数六十九页\编于十四点结果为：x=14.000024.0000fval=-218.0000

注：有些实际问题可能会有一个约束条件：决策变量只能取整数，如x1、x2取整数。这类问题实际上是整数线性规划问题。如果把它当成一个线性规划来解，求得其最优解刚好是整数时，故它就是该整数规划的最优解。若用线性规划解法求得的最优解不是整数，将其取整后不一定是相应整数规划的最优解，这样的整数规划应用专门的方法求解（如割平面法、分支定界法）。目前十七页\总数六十九页\编于十四点实验作业

某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论:1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资.2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划.返回目前十八页\总数六十九页\编于十四点无约束最优化数学实验目前十九页\总数六十九页\编于十四点实验目的实验内容2、掌握用数学软件包求解无约束最优化问题。1、了解无约束最优化基本算法。1、无约束优化基本思想及基本算法。4、实验作业。3、用MATLAB求解无约束优化问题。2、MATLAB优化工具箱简介目前二十页\总数六十九页\编于十四点

无约束最优化问题求解无约束最优化问题的的基本思想*无约束最优化问题的基本算法返回目前二十一页\总数六十九页\编于十四点标准形式：求解无约束最优化问题的基本思想求解的基本思想

(以二元函数为例)531连续可微目前二十二页\总数六十九页\编于十四点目前二十三页\总数六十九页\编于十四点多局部极小

唯一极小(全局极小)目前二十四页\总数六十九页\编于十四点搜索过程最优点(11)初始点(-11)-114.00-0.790.583.39-0.530.232.60-0.180.001.500.09-0.030.980.370.110.470.590.330.200.800.630.050.950.900.0030.990.991E-40.9990.9981E-50.99970.99981E-8返回目前二十五页\总数六十九页\编于十四点无约束优化问题的基本算法

最速下降法是一种最基本的算法，它在最优化方法中占有重要地位.最速下降法的优点是工作量小，存储变量较少,初始点要求不高；缺点是收敛慢，最速下降法适用于寻优过程的前期迭代或作为间插步骤，当接近极值点时，宜选用别种收敛快的算法.

1．最速下降法（共轭梯度法）算法步骤：目前二十六页\总数六十九页\编于十四点2．牛顿法算法步骤：

如果f是对称正定矩阵A的二次函数，则用牛顿法经过一次迭代就可达到最优点,如不是二次函数，则牛顿法不能一步达到极值点，但由于这种函数在极值点附近和二次函数很近似,因此牛顿法的收敛速度还是很快的.

牛顿法的收敛速度虽然较快，但要求Hessian矩阵要可逆，要计算二阶导数和逆矩阵，就加大了计算机计算量和存储量.目前二十七页\总数六十九页\编于十四点3．拟牛顿法目前二十八页\总数六十九页\编于十四点目前二十九页\总数六十九页\编于十四点返回目前三十页\总数六十九页\编于十四点Matlab优化工具箱简介1.MATLAB求解优化问题的主要函数目前三十一页\总数六十九页\编于十四点2.优化函数的输入变量

使用优化函数或优化工具箱中其它优化函数时,输入变量见下表:目前三十二页\总数六十九页\编于十四点3.优化函数的输出变量下表:目前三十三页\总数六十九页\编于十四点4．控制参数options的设置(3)MaxIter:允许进行迭代的最大次数,取值为正整数.Options中常用的几个参数的名称、含义、取值如下:(1) Display:显示水平.取值为’off’时,不显示输出;取值为’iter’时,显示每次迭代的信息;取值为’final’时,显示最终结果.默认值为’final’.(2) MaxFunEvals:允许进行函数评价的最大次数,取值为正整数.目前三十四页\总数六十九页\编于十四点例：opts=optimset(‘Display’,’iter’,’TolFun’,1e-8)

该语句创建一个称为opts的优化选项结构,其中显示参数设为’iter’,TolFun参数设为1e-8.

控制参数options可以通过函数optimset创建或修改。命令的格式如下：(1)options=optimset(‘optimfun’)

创建一个含有所有参数名,并与优化函数optimfun相关的默认值的选项结构options.（2）options=optimset(‘param1’,value1,’param2’,value2,...)

创建一个名称为options的优化选项参数,其中指定的参数具有指定值,所有未指定的参数取默认值.(3)options=optimset(oldops,‘param1’,value1,’param2’,value2,...)

创建名称为oldops的参数的拷贝,用指定的参数值修改oldops中相应的参数.返回目前三十五页\总数六十九页\编于十四点用Matlab解无约束优化问题

其中（3）、（4）、（5）的等式右边可选用（1）或（2）的等式右边。函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解。常用格式如下：（1）x=fminbnd(fun,x1,x2)（2）x=fminbnd(fun,x1,x2

，options)（3）[x，fval]=fminbnd（...）（4）[x，fval，exitflag]=fminbnd（...）（5）[x，fval，exitflag，output]=fminbnd（...）目前三十六页\总数六十九页\编于十四点

主程序为:f='2*exp(-x).*sin(x)';fplot(f,[0,8]);%作图语句

[xmin,ymin]=fminbnd(f,0,8)f1='-2*exp(-x).*sin(x)';[xmax,ymax]=fminbnd(f1,0,8)目前三十七页\总数六十九页\编于十四点例2对边长为3米的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？p156，例8-1解先编写M文件fminbndtest.m如下:functionf=myfun(x)f=-(3-2*x).^2*x;主程序调用fminbnd:[x,fval]=fminbnd('fminbndtest',0,1.5);xmax=xfmax=-fval运算结果为:xmax=0.5000,fmax=2.0000.即剪掉的正方形的边长为0.5米时水槽的容积最大,最大容积为2立方米.目前三十八页\总数六十九页\编于十四点

命令格式为:（1）x=fminunc（fun,X0

）；或x=fminsearch（fun,X0

）（2）x=fminunc（fun,X0

，options）；或x=fminsearch（fun,X0

，options）（3）[x，fval]=fminunc（...）；或[x，fval]=fminsearch（...）（4）[x，fval，exitflag]=fminunc（...）；或[x，fval，exitflag]=fminsearch（5）[x，fval，exitflag，output]=fminunc（...）；或[x，fval，exitflag，output]=fminsearch（...）2、多元函数无约束优化问题标准型为：minF(X)目前三十九页\总数六十九页\编于十四点[3]fminunc为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法，由options中参数LineSearchType控制：LineSearchType=’quadcubic’(缺省值)，混合的二次和三次多项式插值；LineSearchType=’cubicpoly’，三次多项式插使用fminunc和fminsearch可能会得到局部最优解.说明:fminsearch是用单纯形法寻优.fminunc的算法见以下几点说明：[1]fminunc为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法。由options中的参数LargeScale控制：LargeScale=’on’(默认值),使用大型算法LargeScale=’off’(默认值),使用中型算法[2]fminunc为中型优化算法的搜索方向提供了4种算法，由

options中的参数HessUpdate控制：HessUpdate=’bfgs’（默认值），拟牛顿法的BFGS公式；HessUpdate=’dfp’，拟牛顿法的DFP公式；HessUpdate=’steepdesc’，最速下降法目前四十页\总数六十九页\编于十四点例3minf(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)*exp(x1)1、编写M-文件fun1.m:functionf=fun1(x)f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);

2、输入M文件myprg3.m如下:x0=[-1,1];x=fminunc('fun1',x0);y=fun1(x)

3、运行结果:x=0.5000-1.0000y=1.3029e-10目前四十一页\总数六十九页\编于十四点2.画出Rosenbrock函数的等高线图,输入命令：

contour(x,y,z,20)holdonplot(-1.2,2,'o');text(-1.2,2,'startpoint')plot(1,1,'o')text(1,1,'solution')目前四十二页\总数六十九页\编于十四点3.用fminsearch函数求解输入命令:f='100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2';[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(f,[-1.22])运行结果:x=1.00001.0000fval=1.9151e-010exitflag=1output=iterations:108funcCount:202algorithm:'Nelder-Meadsimplexdirectsearch'目前四十三页\总数六十九页\编于十四点4.

用fminunc函数(1)建立M-文件fun1.m

functionf=fun1(x)f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2(2)求解主程序oldoptions=optimset('fminunc')options=optimset(oldoptions,'LargeScale','off')

options11=optimset(options,'HessUpdate','dfp')[x11,fval11,exitflag11,output11]=fminunc('fun1',[-1.22],options11)目前四十四页\总数六十九页\编于十四点Rosenbrock函数不同算法的计算结果可以看出，最速下降法的结果最差.因为最速下降法特别不适合于从一狭长通道到达最优解的情况.目前四十五页\总数六十九页\编于十四点实验作业目前四十六页\总数六十九页\编于十四点目前四十七页\总数六十九页\编于十四点数学实验非线性规划

电子科技大学应用数学学院目前四十八页\总数六十九页\编于十四点实验目的实验内容2、掌握用数学软件求解优化问题。1、直观了解非线性规划的基本内容。1、非线性规划的基本理论。3、实验作业。2、用数学软件求解非线性规划。目前四十九页\总数六十九页\编于十四点非线性规划的基本概念非线性规划目前五十页\总数六十九页\编于十四点

定义

如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题就叫做非线性规划问题．非现性规划的基本概念

一般形式:

（1）其中，是定义在En上的实值函数，简记:

其它情况:

求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零的情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式．目前五十一页\总数六十九页\编于十四点

定义1

把满足问题（1）中条件的解称为可行解（或可行点），所有可行点的集合称为可行集（或可行域）．记为D．即问题(1)可简记为．定义2

对于问题(1)，设，若存在,使得对一切，且，都有，则称X*是f(X)在D上的局部极小值点（局部最优解）．特别地当时，若，则称X*是f(X)在D上的严格局部极小值点（严格局部最优解）．定义3对于问题(1),设,对任意的,都有则称X*是f(X)在D上的全局极小值点（全局最优解）．特别地当时，若，则称X*是f(X)在D上的严格全局极小值点（严格全局最优解）．目前五十二页\总数六十九页\编于十四点

罚函数法

罚函数法基本思想是通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题，进而用无约束最优化方法去求解．这类方法称为序列无约束最小化方法．简称为SUMT法．其一为SUMT外点法，其二为SUMT内点法．目前五十三页\总数六十九页\编于十四点

其中T(X,M)称为罚函数，M称为罚因子，带M的项称为罚项，这里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚:当时，满足各，故罚项=0，不受惩罚．当时，必有的约束条件，故罚项>0，要受惩罚．SUTM外点法目前五十四页\总数六十九页\编于十四点

罚函数法的缺点是：每个近似最优解Xk往往不是容许解，而只能近似满足约束，在实际问题中这种结果可能不能使用；在解一系列无约束问题中，计算量太大，特别是随着Mk的增大，可能导致错误．1、任意给定初始点X0，取M1>1，给定允许误差，令k=1；2、求无约束极值问题的最优解，设为Xk=X(Mk)，即；3、若存在，使，则取Mk>M()令k=k+1返回（2），否则，停止迭代．得最优解.计算时也可将收敛性判别准则改为.SUTM外点法(罚函数法)的迭代步骤目前五十五页\总数六十九页\编于十四点SUTM内点法（障碍函数法）目前五十六页\总数六十九页\编于十四点

内点法的迭代步骤目前五十七页\总数六十九页\编于十四点用MATLAB软件求解,其输入格式如下:

1. x=quadprog(H,C,A,b);2. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq);3. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB);4. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0);5. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0,options);6. [x,fval]=quaprog(...);7. [x,fval,exitflag]=quaprog(...);8. [x,fval,exitflag,output]=quaprog(...);1、二次规划目前五十八页\总数六十九页\编于十四点例1

minf(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22s.t.x1+x2≤2-x1+2x2≤2x1≥0,x2≥01、写成标准形式：2、输入命令：

H=[1-1;-12];c=[-2;-6];A=[11;-12];b=[2;2];Aeq=[];beq=[];VLB=[0;0];VUB=[];[x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)3、运算结果为：

x=0.66671.3333z=-8.2222s.t.目前五十九页\总数六十九页\编于十四点

1.首先建立M文件fun.m,定义目标函数F（X）:functionf=fun(X);f=F(X);2、一般非线性规划

其中X为n维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成的向量，其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.用Matlab求解上述问题，基本步骤分三步：目前六十页\总数六十九页\编于十四点3.建立主程序.非线性规划求解的函数是fmincon,命令的基本格式如下：

(1)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b)

(2)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq)

(3)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)

(4)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’)(5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)

(6)[x,fval]=fmincon(...)

(7)[x,fval,exitflag]=fmincon(...)(8)[x,fval,exitflag,output]=fmincon(...)输出极值点M文件迭代的初值参数说明变量上下限目前六十一页\总数六十九页\编于十四点注意：[1]fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法。默认时，若在fun函数中提供了梯度（options参数的GradObj设置为’on’），并且只有上下界存在或只有等式约束，fmincon函数将选择大型算法。当既有等式约束又有梯度约束时，使用中型算法。[2]fmincon函数的中型算法使用的是序列二次规划法。在每一步迭代中求解二次规划子问题，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩阵。[3]fmincon函数可能会给出局部最优解，这与初值X0的选取有关。目前六十二页\总数六十九页\编于十四点1、写成标准形式：

s.t.

2x1+3x26s.tx1+4x25x1,x20例2目前六十三页\总数六十九页\编于十四点2、先建立M-文件fun3.m:

functionf=fun3(x);f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)^2+(1/2)*x(2)^23、再建立主程序youh2.m：

x0=[1;1];A=[23;14];b=[6;5];Aeq=[];beq=[];VLB=[0;0];VUB=[];[x,fval]=fmin