河海大学5结构力学全部核心考点讲义

2013河海大学结构力学（I）

基础知识点框架梳理及其解析

第一章体系的几何组成分析

本章需要重点掌握几何不变体系、自由度、刚片、约束等基本概念，重点掌握几何不变体系组成的三

规则——两刚片规则，三刚片规则和二元体规则。

一、基本概念

1、几何不变体系：在荷载作用下能保持其几何形状和位置都不改变的体系。

2、几何可变体系：在荷载作用下不能保持其几何形状和位置都不改变的体系。

3、刚片：假想的一个在平面内完全不变形的刚性物体叫作刚片。在平面杆件体系中，一根直杆、折

杆或曲杆都可以视为刚片，并且山这些构件组成的几何不变体系也可视为刚片。刚片中任一两点间的距离

保持不变，既由刚片中任意两点间的一条直线的位置可确定刚片中任一点的位置。所以可由刚片中的一条

直线代表刚片。

4、自由度的概念:

一个点：在平面内运动完全不受限制的一个点有2个自由度。

一个刚片：在平面内运动完全不受限制的一个刚片有3个自山度。

X

(a)

5、约束，是能减少体系自由度数的装置。

1）链杆根单链杆或一个可动较（一根支座链杆）具有1个约束。

2）单较个单饺或一个固定较支座（两个支座链杆）具有两个约束。

3）单刚结点个单刚结点或一个固定支座具有3个约束。

y小

6、必要约束：除去该约束后，体系的自由度将增加，这类约束称为必要约束。

多余约束：除去该约束后，体系的自由度不变，这类约束称为多余约束。

7、无多余约束的几何不变体系是静定结构，有多余约束的几何不变体系是超静定结构。

一、几何不变体系的简单组成规则

规则'两个刚片之间的连接（两刚片规则）：（图2-3-1）

两个刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。

规则二三个刚片之间的接（三刚片规则）：

三个刚片用不全在一条直线上的三个单钱（可以是虚钱）两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。

规则三刚片与点之间的连接（二元体规则）：

二元体特性：在体系上加上或拆去一个二元体，不改变体系原有的自由度数。

利用二元体规则简化体系，使体系的几何组成分析简单明了。

【例题1】：分析图示体系的几何组成。

解答：DF、FE为二元杆，将其去掉并不影响体系的可变性。将其去掉后，ACD为较接三角形，视为

刚片I,CBE为刚片n,基础视为刚片HI。三个刚片通过三个不在同一条直线上的三个较相连，组成没有

多余约束的几何不变体系。即原体系为几何不变体系。

【例题2】：分析图示体系的几何组成。

解答：将基础视为刚片I,25、35、23三根杆组成较结三角形，视为刚片II,46杆视为刚片川，刚

片I与刚片1【通过两个链杆组成的虚钱相连,刚片I与刚片III通过14杆、链杆组成的虚钱相连，刚片II

与刚片III通过24杆、56杆组成的虚锐相连。这样三个刚片通过三个在同一直线上的三个虚钱相连，组成

几何瞬变体系，即图示体系为几何瞬变体系。

习题：对下列平面体系进行几何组成分析。

5、6、

第二章静定结构受力分析

本章包括章跨梁的静定受力分析，多跨静定梁的受力分析，桁架的受力分析，静定刚架的受力分析，

静定组合结构的受力分析及静定结构的性质几个部分。要求同学们掌握荷载与内力的关系，叠加原理，主

从和附加部分，结点法和截面法等知识点，能熟练地计算各种静定结构的内力。

第一节单跨静定梁

单跨静定梁的类型：简支梁、伸臂梁、悬臂梁。

•、截面法求某一指定截面的内力

1、内力的符号规定

①弯矩M：对梁而言，使杆件上凹者为正（也即下侧纤维受拉为正），反之为负。一般情况下作内力

图时，规定弯矩图纵标画在受拉--侧，不标注正负号。

②剪力Q：使截开后保留部分产生顺时针旋转者为正，反之为负。

③轴力N：拉为正，压为负。剪力图和轴力图可绘在杆轴的任意一侧，但必须标注正负号。

2、截面法的步骤

（1）以整体为研究对象，利用静力平衡条件求支座反力（简支梁、外伸梁）

（2）截面法，取隔离体利用静力平衡条件求截面内力

二、荷载与内力的关系

1、微分关系：

dFN/dx=-qxdFQ/dx=-qydM/dx=Qd2M/dx2=-qy

2、利用荷载和内力关系的几何意义，可由荷载的分布和类型定性地判断或校核区段上的内力图形状以

及突变点和突变值的大小。

(1)在无荷区段q(x)=O,剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线。

(2)在口(刈=常量段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。

(3)集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点；集中力偶作用点两侧，弯矩值突变、剪

力值无变化。

三、叠加法作弯矩图

1、简支梁的弯矩图叠加法

2、弯矩图叠加的实质

指弯矩竖标的叠加(而不是图形的简单叠加)，当同•截面在两个弯矩竖标在基线不同侧时，叠加后

是两个竖标绝对值相减，弯矩竖标画在绝对值大的一侧；当两个竖标在基线同•侧时，则叠加后是两个竖

标绝对值相加，竖标画在同侧。

基线接力法概念。

3、直杆段弯矩图的区段叠加法

直杆区段的弯矩图叠加可利用简支梁的弯矩图叠加法。其步骤是：

(1)计算直杆区段两端的最后弯矩值，画出这两个值的竖标，并将两竖标连一直线；

(2)将所连直线作为新的基线,叠加相应简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。

A"q以7q

\11111111111111

"1r

或AB

1右

MAqMB

KIIIIIIIIINA.（『lllllllhmilllllp-

-；

八〃1mm....

广MB1P

yB

II

MAq

式川川

+

M+Ma,1111*,

四、用“拟简支梁法”绘弯矩图

用“拟简支梁法”绘弯矩图时，先绘出控制截面的弯矩竖标，其间若无外荷载作用，可用直线相连;

若有外荷载作用，则以上述直线为基线，再叠加上荷载在相应简支梁上的弯矩图。

【例题1】：试绘制图示外伸梁的内力图

斛

160kn40kn(

q(x)=40kn/m

H=OA80kn.m

AIIIIlJ]IIv

E

1m2m4m

极

VB=^XOKN

VA=130KN

Q(KN)

解答:

（一）求支座反力:

EX=o

E氏=0

M4-o

Z匕二130KN〕)

M-o

月

VB=310KN〕)

=130+310-160-40-40x6=0

校核:

（二）绘制内力图:

V=I30KN

2

z$=0

Z2c=+130KN

MC=\3OKN.M

第

-节

-多跨静定梁的受力分析

基本部分：结构中不依赖于其它部分而独立与大地形成几何不变的部分。

附属部分：结构中依赖基本部分的支承才能保持几何不变的部分。

把结构中各部分之间的这种依赖、支承关系形象的画成如图示的层叠图，可以清楚的看出多跨静定梁

所具有的如下特征:

1）组成顺序：先基本部分，后附属部分;

2）传力顺序：先附属部分，后基本部分。

由于这种多跨静定梁的层叠图象阶梯，可称为阶梯形多跨静定梁。

【例题2】试作图示多跨静定梁的内力图。

多跨静定梁小结

了解多跨静定梁两种基本类型的几何组成特点。多跨静定梁分层计算的目的，为了不解联立方程。

计算要点：按先附属，后基本的顺序。

习题：作出下列结构的弯矩图

1、2、

40kN40kN

II20kN/m2P2PaP

出亡6X2》2Y

2m2m2m2m4m

第三节静定刚架的受力析

-、静定刚架的计算步骤：

（1）计算支座反力（或约束力）；

（2）计算杆端截面内力（简称杆端力）和控制截面内力；

（3）画各内力图。

二、绘制刚架内力图时应注意的问题

1、计算悬臂刚架时，可不必先求支座反力，从悬臂端算起即可。

2、计算简支刚架时，■-般先求支座反力，而后用截面法计算。

3、计算三较刚架时，要利用中间较弯矩为零的条件。

4、绘Q图、N图必须标正、负号；绘M图不标正负号，M图绘在受拉一侧。

5、求支座反力后及绘内力图后都应进行校核。

注意：三校刚架结构中，支座反力的计算是内力计算的关键所在。

通常情况下，支座反力是两两偶联的，需要通过解联立方程组来计算支座反力，因此寻找建立相互独

立的支座反力的静力平衡方程，可以大大降低计算反力的复杂程度和难度。

【例题3】试绘制下图所示刚架的弯矩图。

40

麻M图(kN-m)A

解答：（1）对整体进行分析，对A点取矩，ZA/A=0,20+30x2-匕-4=0,。

利用Y方向的平衡，ZY’=0,YA+YB=30,«

（2）取右半边为隔离体，利用C点弯矩为0,对C点取矩，ZM,=0,YB-2+XB-4=0,解得

XB=-10kN(向左)。

（3）对整体进行分析，ZX,=0,XA+XB=0,XA=10kN（向右）。

（4）绘制弯矩图。

习题：作出下列结构的弯矩图

1、2、

第四节平面桁架的受力分析

一、理想桁架假定：

1、桁架中的较为绝对光滑而无磨擦的理想较；

2、桁架中的各杆件轴线绝对平直，且通过它两端饺中心；

3、桁架上的荷载和支座都在结点上。

理想桁架杆件只产生轴向内力，即理想桁架杆件是二力杆件（由以上假定提供的可能性及二力平衡原

理）。以下提及的桁架均为理想桁架，桁架中的杆件叫桁架杆或二力杆，桁架内力及内力计算均指桁架杆

轴力计算。

二、结构单杆与零杆

仅截面取某结点为隔离体，并且结点连接的全部内力未知，对于仅用一个平衡议程就可以求出内力的,

称为结点单杆。利用这个概念，根据荷载状况可判断此杆内力是否为零。零内力杆简称零杆。

求解桁架前先要找出零杆，将零杆去年以简化计算。

三、结点法

依次取桁架中的单个结点为隔离体，由结点的平衡条件计算桁架内力的方法叫结点法。

山于理想桁架的上述假设，汇交于结点的各杆轴力（包括荷载和支座反力）均过钱结点中心。所以，

以单个结点为隔离体的受力图是平面汇交力系，只有两个独立的平衡方程。

一般情况下截取结点的原则是：•个结点只能截断两根待求杆件。

四、截面法

计算桁架内力的截面法，是假想用一个截面将桁架的某些杆件切开，使桁架分成两部分，利用任一部

分计算被切断杆件的轴力的方法。

显然，由于桁架被切开后的任一部分没有对其所含的结点数的限制，所以截面法所取的隔离体应是平

面一般力系。平面一般力系只能列出三个独立的平衡方程，因此，截面法切断的待求轴力杆件最多是三根。

£Fy=O

FNCY2/2+100-80=0

FNC=-28.28kN

取截面I-I以左:

gM4=0

Faxx3+100x6-40x3=0

Fax=-160kN

FNa=(Fax/lax)xla=-164.92kN

Fay=(Fax/la)xlay=-40kN

ZFy=0Fby-Fay+40-100=0

Fby=20kN

FNb=(Fby/lby)xlb=33.33kN

FNa=-164.92kN,FN=33.33kN,FNc=-28.28Kn

习题：计算图示桁架中杆八2、3的内力。

第三章静定结构位移计算

本章包括虚功原理，单位荷载法，图乘法，其它外因作用下的位移，互等定理等知识点。其中虚

功原理和互等定理只会考小题，需要重点理解。要求会计算外荷载作用下的位移，这就要求熟练掌握单位

荷载法和图乘法。其它外因作用卜的位移不会考计算，只需了解位移产生的原理。

一、位移的基本概念

结构在荷载、温度变化、支座移动与制造误差等各种因素作用下发生变形，因而结构上个点的位置

会有变动。这种位置的变动称为位移。

结构的位移通常有两种，如F图：截面的移动--线位移；截面的转动--角位移。

产生位移的原因：

(1)荷载作用；

(2)温度变化和材料胀缩；

(3)支座的沉降和制造误差。

二、虚功原理的两种表述

任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移时所做的总虚

功，恒等于变形体所接受的总虚变形功。也即有如下虚功方程成立：

8We=3W:

以上为虚位移原理表述，其中有两个状态，位移状态为虚设的，平衡力系为实际状态。虚位移用于求

机构的位移，不会考计算题，仅作了解。下面重点讲解虚力原理。

虚力原理：平衡力系为虚设的，而另一种位移状态为真实的，虚设力系在真实位移上做的虚功等于内

1-Za+RK1•QI+RK2-Ca2=Z+2晅K,九ds+ZJWK3ds

于是得到鼠=ZWK・K/s+X•r如+ZP？K4ds2KC“

三、单位荷载法

在拟求位移的方向上虚设单位荷载，利用平衡条件求支反力。利用虚力原理列出虚力方程进行求解，

由于是在所求位移处设置单位荷载，因此，这种解法又称单位荷载法。

单位荷载法由虚力原理推导得到，求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。其步

骤如下：

(D求出在外荷载作于下的内力图.

(2)在所求位移的方向上施加单位力，求出内力图

(3)由下列公式求出所求位移

^Y\Md6+^\FNdX+Y\FQdri-YFl(KcK

式中，苻=，.跖豆公於是结构在集中单位荷载P=1作用下的支反力和内力，它们都可以

有由静力平衡条件求出。而位移则是实际结构中的位移。

四、荷载作用下位移的计算

荷载作用下（无支座沉降），位移计算的统一公式：

1»4£LnUn

弓的内力

访瓦，取虚设单位荷载引起的内力

（1）梁和刚架

由于梁和刚架是以弯曲为主要变形，因此位移计算可简化为

A=EJ-^&

⑵桁架

桁架中杆件只受轴力作用，且每根杆件的截面面积、轴力均为常数，故位移计算可简化为

A=£J障"=£制?盘F

unZwl&Wl

（3）组合结构

桁粱混合结构中，•些杆件以弯为主，一些杆件只受轴力，故位移计算可简化为

A=£4&+£邑

乙1Bi21&A

五、图乘法

根据计算粱和刚架位移的公式：

A=EJ警&

为避免微分运算，以下介绍一种计算方法一图乘法。

下图为某直杆段AB的两个弯矩图，其中有一个图形为直线（Mi图）,如果抗弯刚度EI为常数，则可

进行以下计算:

dA=MKds是比史中阴影的微面积，利用静矩的概念可得

JxdA=AXXQ代入上式

A

上式中yO是在MK图形心C对应处的Mi图标距，A是MK图的面积，因此：

位移计算的问题转化为求图形的面积、形心和标距的问题。

应用图乘法应注意两点：

1.应用条件：杆段应是等截面直杆段；两个图形中至少有一个是直线，标距yO应取自直线图形中。

2.正负号规定：面积A与标距yO在同一侧时，乘积取正号；反之取负号。

常见图形的面枳和形心

根据图乘法，位移计算主要是计算图形的血积、形心和标距，下面介绍常见图形的形心和面积:

A=-lh

3

三角形二次抛物线

3

二次抛物线二次抛物线

三次抛物线n次抛物线

应用图乘法时的几个具体问题

(1)如果两个图形都是直线图形，则标距可任取自其中一个图形。

(2)如果一个图形为曲线，另一个图形为折线，则应分段考虑。如下图所示

则计算结果应为：

f,熊1”=心++2$

(3)如果图形比较复杂，可以将图形分解为几个简单图形，分项计算后再进行叠加。

如图6-8两个图形均为梯形，将梯形分为两个三角形再进行图乘。因此，

对于非标准抛物线的图乘，由于弯矩图中的非标准抛物线是由叠加原理获得，因此可以将非标准抛物

线分解为标准抛物线图形和直线图形。

yI|I,,：।：IM.5、।j[j]!jj[.J.s-.j....IIv

3;**I1

|I

K一一；"

MQ■岁‘怜

【例题1】试求出图6-lla所示刚架结点B的水平位移,EI为常数。

(C)

解:作实际状态和单位荷载的弯矩图

*间的面积可分知P4舄计算

J4dJ2.V3

7224、43812

硒上相应的标距为

.=于，八=在

T<_

AeHifjl浦a,/"/*l｝黎一

•7Bl矶4343122)胆

六、温度改变时的位移计算

河海大学的考研结构力学中，温度改变时的位移计算不会出计算题，只可能出小题，所以这部分对计

算不作要求，只要求理解位移产生的原理。

特别注意：对于静定结构而言，温度变化会使杆件发生变形，从而产生位移，但是不会引起内力。对

于超静定结构，山于存在多余约束，杆件变形后会产生内力。

温度改变时位移的计算公式：

A=£atJ弘+£要［私

其中，a为线膨胀系数，‘。=&+'2)/2,加=上呗

正负号的规定：当杆高温的侧与而受拉的侧在同•侧时，上式中第二项的乘积为正，否则为负。

七、互等定理

1、功的互等定理

设有两组外力分别作用在同一结构图，分别称为第•状态和第二状态。

.1%,

屏、、一A2R1北

第一状态

IV

iA12

第二状态

图6-16

对于两种状态应用虚功原理:

外虚功有两个下标，第一个表示受力状态，第二个表示位移状态，位移也有两个下标，第一个表示

位移的位置，第二个表示引起位移的力状态。

于是可得功的互等定理：

第一状态外力在第二状态位移上所做的功等于第二状态外力在第一状态位移上所做的功。即

2、位移互等定理

如下图所示的两种状态

第一状态

第二状态

有功的互等定理可得

4Ali=电卸

当两个作用荷载都等于一时，此时的位移记作512和52U

于是得

金=%

512和321又可称为位移影响系数,即:A12=P12812

这就是位移互等定理：

有叫弓眼的与荷勒M的位移舲响系数小等于由制如弓眼的与背初制应的物幅数小.

位移互等定理表明第二个单位力在第一个单位力作用点沿其方向引起的位移等于第一个单位力在第

二个单位力作用点沿其方向引起的位移。

注意：这里的荷我和位移都是广义荷载和广义位移，一般情况下定理中的两个广义位移的量纲可能不

相同，但是影响系数在数值和量纲上仍然保持相等。

3、反力互等定理

如上图所示为同一线性变形的两种状态。下面讨论由于图中的变形一起的反力的变化，注意图中的反

力在用双下标，第一个下标i表示反力与相应的位移Ci对应，第二个下标表示位移产生的反力，如F12表

示由位移C2引起的与位移C1对应的反力。

应用功的互等定理可得：

坨x,+稣/0=%"0+鸟产.

坨=

/一小

el©I

进一步有

=%

r

门11

上式实际上就是反力互等定理：

在任一线性变形体中，由位移C1引起的与位移C2相应的反力影响系数r21,等于由位移C2所应起

的与位移C1相应的反力影响系数rl2。

定理的关键是支反力应与位移相对应，可以是广义力和广义位移。

4、反力与位移互等定理：

由于单位荷载使体系中某一支座所产生的反力，等于该支座发生与反力方向相一致的单位位移

时，在单位荷载作用处所引起的位移，唯符号相反。

rl2=-821

习题：1、求图示结构E点的竖向位移。EI=常数。

q

I1/321/31/3

1*^----一|<-------------------------------

2、求图示结构B点的竖向位移，E/=常数。

+------------M

B

第四章力法

本章内容在考研结构力学中会出一道20分的大题，必须熟练力法的计算，熟悉力法的基本思路。要

计算力法，就必须掌握三部分内容，1、找出多余约束，2、会计算系数和自由项，3、组合成最终的弯

矩图。另外，对称性的利用是本章的另一个重点，简化时要特别小心，否则一错全错。

第一节超静定结构概述

超静定结构是具有多余约束的几何不变体系。

结构的超静定次数=结构的多余约束数。

要求出超静定结构的内力必须先求出多余约束的内力，一旦求出它们，就变成静定结构内力计算问题

了。所以关键在于解决多余约束的内力。

结构超静定次数的判定方法（拆除约束法）——去掉超静定结构的多余约束，使其成为静定结构；则

去抻多余约束的个数即为该结构的超静定次数。

1）去掉一根支座链杆或截断一根桁架杆，相当拆除1个约束：

2）去掉一个固定较支座或切开一个单较，相当拆除2个约束；

3）去掉一个固定支座或切开一根梁式杆，相当拆除3个约束；

4）在一根梁式杆上加一个单较，相当拆除1个约束。

【例题1】判断下列结构的超静定次数

第二节力法解超静定结构

有多余约束是超静定与静定的根本区别，因此，解决多余约束中的多余约束力是解超静定的关键。

X1

A]=0An+A1P=0

品=用/，为X|+5=0

1、力法基本未知量

结构的多余约束中产生的多余未知力(简称多余力)。

2、力法基本体系

力法基本结构，是原结构拆除多余约束后得到的静定结构；力法基本体系，是原结构拆除多余约束后

得到的基本结构在荷载(原有各种因素)和多余力共同作用的体系。

3、力法基本方程

b][X]+<512X2+A]p=0

%X1+&2X2+△2P=0

系数、自由项的物理意义：

4—基本结构在Xj=i作用下，沿Xi方向的位移；

△评—基本结构在荷载作用下，沿xi方向的位移；

4、力法的基本步骤

(1)选取力法基本体系；

(2)列力法基本方程；

(3)绘单位弯矩图、荷载弯矩图；

(4)求力法方程各系数，解力法方程；

(5)绘内力图。

注意：同一超静定结构可以选出不同的多余约束，可以选取不同的基本体系，选取基本体系时要尽量

使计算简便。

【例题2】用力法计算图示超静定刚架

z

l

T

l

分析：此结构可选取三种不同的基本体系，现选取一种计算较为简便的基本体系进行计算。

解题：（1）选取基本体系。如下图所示，可选取三种不同的基本体系，现用第一种基本体系进行计算。

（2）列出力法基本方程

A）=0g|X[+九、2+4p二°

A.,=0&]X[+&2X2+A2P=0

（3）绘制荷载弯矩图、单位荷载图

6

嘛

fG

Mz(kN'w)

MiXj=J小脚.叫

X2=l

（4）求力法方程各系数，解力法方程

.v瓯702

将“，图与陷图图乘得到：“JEIEI,

A”=Zj^/x=.当

将仞户图与图图乘得到：」ElE1

KMM/207

r,r,c>.i=Lv―L—=-----

将“I图与Mi图自乘得到：JEiEi

MMocv也1必，〃135

将何I图与仞2图图乘得到：耳2=心|=ZJ—=一弁

“LL匕1

M

Mo_v(M2rM,_144

将他2图与例2图自乘得到：^22=ZJp-dX^—

“HLI

(4)求力法方程各系数，解力法方程

207X1,-135X2,+702=0,得到：\[X.1=-2.61kN

—135X1+144X2-520=0X2^\.UkN

(5)绘制弯矩图M=MtX,+M2X2+MP

3.33

3.33

HnsH

M(kNm)

第三节利用对称性的简化

结构具有对称性时应满足:

1）结构的几何形状（由杆轴围成的图形）和支座形式正对称于某••轴线;

2）结构的材料性质及截面形状特征（E、I、A）也对称于同一轴线。

正对称荷载作用下，只有正对称的未知力（弯矩，轴力），结构的内力和变形是对称的。

反对称荷载作用卜，只有反对称的未知力（剪力），结构的内力和变形是反对称的。

利用对称性简化有两种方法，一种是选取对称的未知力，一种是将结构取一半进行分析，下面分别讨

论两种方法。

一、选取对称的未知力

将与轴线相交的截面截开，利用对称性，有：在正对称荷载作用下，反对称的未知力为0；在反对称

的荷载作用下，正对称的未知力为0。从使典型方程而减少待求的未知力的个数。

1、正对称荷载作用下的简化

jllx1+3i2x2+63X3+金=0

比=%=0®="=。

的工+622X2+&3X3+&P=01此种情况下，>=乂3=0

A3P=0.

当XI+%乂2+"+。=0

典型方程组可a/简+a化?x为?+二Ap二=o八

S2[X{+622X2+A”=0

2、反对称荷载作用下的简化

4因+%乂2+〃3+和=0

%=61=°»23=62=0

b,[X]+<^27-^2+^23X3+A“—0卜此种情况下,>nX1=X2=0

△1P=°,A3P=°,

%X1+^i2X2+633X3+43户=0

典型方程组可简化

633X3+A3P=O

二、选取半个结构

当对称结构承受正对称或反对称荷载时，可以沿对称轴切开，取结构的一半进行计算。

选取半结构的原则是，该半结构能等效代替原结构半边的受力与变形状态。即在切口处按原结构的位

移条件和静力条件设置相应的支承。

【例题3】利用对称性简化下图中的结构，写出简化后的典型方程。

<5Pti++Alp=°

1^3+A3p=0

&］巧+S22x2+A2P=0

习题：用力法计算图示结构并作M图。E/=常数。

q=16kN/m

n-rmTTTTTT1ii1»»HH

XX

4m

*3

2m2m2m2m_

第五章位移法

本章在考研结构力学中会考•道15到25分的大题。本章内容包括等截面直杆的转角位移方程，形

常数和我常数的概念，位移法求解超静定结构。用位移法求解的超静定结构又分为有侧移的刚架和无侧移

的刚架两种。

第一节等截面直杆的转角位移方程

下图为等截面杆件，截面惯性矩为常数。已知端点A和B的角位移分别是6A和0B，两端垂直于

杆轴的相对线位移为A,拟求杆端弯矩。

在位移法中位移的正负号规定为:

结点转角，弦转角和杆端弯矩•律以顺时针为正。这点•定要注意与以前的不同。

应用单位荷载法可得出:

JC01i

■Jt4

杆件的线刚度i=EI/l

解联立方程可得：

<=，/+方%-吟

Ma=2i-—吟

利用平衡条件可求出杆端剪力如下:

于是可将卜一式写为:

3

2i4

竺612i

则矩阵产」称为杆件的刚度矩阵，其中的系数称为刚度系数，又称为形常数。

根据前血的讨论得出一般情况下的刚度方程

以下将利用以上结论讨论杆件在不同的支承条件下的刚度方程。

对于图a,B端为固定支座，0B=0,则得

Ma=43%-吟

%=淡％-吟

对于图b,B端为较支座，MBA=O,则得

仁=吟

对于图c,B端为滑动支座，0B=O和FQAB=OFQBA=O,则得

“a"

UM=-iOA

由荷载引起的固端弯矩见教材中的表格。

最后利用叠加原理得到杆端弯矩的一般公式为：

—哈

=24%-吟+S

上式也称为等截面直杆的转角-位移方程。

上式也称为等截面直杆的转角-位移方程。

第二节位移法求解无侧移的刚架

无侧移刚架：刚架的各结点(不包括支座)只有角位移而没有线位移。

对于无侧移的刚架，位移法的未知量只有转角位移，用结点平衡方程求解较为简便。对于有侧移的刚

架需要建立位移法基本方程来求解。

位移法求解无侧移刚架的步骤：

(1)找出基本未知量

(2)用转角位移方程表示出杆端弯矩

(3)利用结点平衡条件建立方程组，求解出基本未知量

(4)求出杆端弯矩，绘出弯矩图

【例题1】利用位移法求解图示刚架，绘出弯矩图。

1.基本未知量

共有两个刚结点，因而有两个基本未知量：0B和8C

2.用转角位移方程表达杆端弯矩

心=更工40kNm

8

*Jj=-a=T1.7kNB

12

各杆线刚度的计算

列各杆的杆端弯矩

=3,+心=现+40

+狙-41.7

Mg=3.+4dc+*二=如+4%+41.7

M.=^CBPC=

M.=有〜=30.*口=L50.

%=3。=啊*R=%

3.利用结点B、C的力矩平衡方程

£”.=0*.+**+*■=0

BPt(Wa+2flc-1.7=0

EMc=0*.+*B+*b=0

V20A4-9^；+41.7=0

4.求基本未知量

0B=1.15

ec=-4.89

5.计算杆端弯矩并画弯矩图

JfM=43.5kNn>

Mm=T6.9kNm

M0=245kN<m

=-14.7kNm

M„-3.AUS-m

Mn=1.7kNm

Mb=-9.78kNm

JGcny.SSkNin

习题：用位移法计算图示结构并作M图，各杆线刚度均为i,各杆长均为/。

q

乱年,一%

A

第三节位移法求解有侧移的刚架

一、位移法基本方程的建立

现在用如卜图所示的基本体系建立位移法基本方程。

1.控制附加约束，使结点位移和A2全部为零，结构处于锁住状态，施加荷载，可求出结构的内力,

同时在附加约束中产生反力F1P和F2P。这些约束力在原结构中是没有的。

2.再控制附加约束，使控制点发生位移如果位移与原结构相同，则附加约束反力完全消失，附加约束

不起作用，基本体系与原结构完全相同。

由此得出基本体系转化为原结构的条件：基本结构在给定荷载以及结点位移和A2共同作用卜一，附

加约束反力应等于零。即

F1=O

F2=0

利用叠加原理进行计算

1.荷载单独作用--相应的反力F1P和F2P。

2.单位位移Al=l单独作用--相应的约束力kll和k2E

3.单位位移A2=l单独作用--相应的约束力k21和k22«

叠加以上结果即可得到位移法的基本方程

耳=4j|A|=0

玛=.|A[—0

【例题2】用位移法求解下图中的超静定结构，绘出弯矩图

(1)找出基本未知量，㈣出基本体系

（2）绘出图，求出自由项

尸》BC

&）。Z：X

4B-60

取B结点为隔离体，建立力矩平衡方程，得片p=4kN-m

取BC杆为隔离体，建立平衡方程，得尸2P=-6kN-m

（3）绘出"i图，求出系数加温2

俎&11=4i+6i=1Oi

取B结点为隔离体，建立力矩平衡方程,

取BC杆为隔离体，建立平衡方程，得%2=-1-5,

(3)绘出而2图，求出系数&2”422

取B结点为隔离体，建立力矩平衡方程，得匕2=一1・5,

22—14

取BC杆为隔离体，建立平衡方程，得16

(4)建立基本方程，解出基本未知量

10/A,-1.5ZA+4=0=0.737-

2i

15=><

—1.5zA.H------6=0

1162=7.580-

4i

(5)绘出弯矩图

M=而白+而242+例2

习题：用位移法计算图示结构并作M图。E/=常数。

第六章力矩分配法

本章在考研结构力学中会出一道15到25分的大题。本章主要包括转动刚度、分配系数、传递系数等

基本概念，要求掌握用力矩分配法计算无侧移的连续梁和刚架。

第一节力矩分配法的基本概念和思路

一、转动刚度：表示杆端对转动的抵抗能力。

在数值上=仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。

注意：S,6与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无

关。

二、分配系数

在下图所示的结构中，设A点有力矩M,求M“B、MAC和MAD

C

如用位移法求解:

MAB：=4几a=二SAB"

MAC=儿〃=S.c。A

MAD：=3，1血=ZSAD»A

M

此5