2022年上海市崇明区高考数学二模试卷

第1页（共1页）2022年上海市崇明区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．（4分）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{﹣2，0，1，2}，则A∩B＝．2．（4分）已知一组数据4，2a，3﹣a，5，6的平均数为4，则实数a的值等于．3．（4分）已知角α的终边经过点P（3，4），则sinα＝．4．（4分）若复数（i为虚数单位），则＝．5．（4分）在（1+2x）6的二项展开式中，x4项的系数是．（用数值表示）6．（4分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x﹣2y的最大值等于．7．（5分）已知圆锥的母线长等于2，侧面积等于2π，则该圆锥的体积等于．8．（5分）已知直线l的参数方程为（t是参数），则点（1，0）到直线l的距离等于．9．（5分）设y＝f（x）是定义在R上且周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，，其中a∈R．若，则f（a）＝．10．（5分）已知平面直角坐标系中的点、、，n∈N*．记Sn为△AnBn∁n外接圆的面积，则＝．11．（5分）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：（1）每位学生每天最多选择1项；（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：时间周一周二周三周四周五课后服务音乐、阅读、体育、编程口语、阅读、编程、美术手工、阅读、科技、体育口语、阅读、体育、编程音乐、口语、美术、科技若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有种．（用数值表示）12．（5分）已知实数x、y满足，则的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】13．（5分）如果a＜0，b＞0，那么下列不等式中正确的是（）A．a2＜b2 B． C．|a|＞|b| D．14．（5分）“”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件15．（5分）已知无穷等比数列{an}中a1＝2，|a2|＜2，它的前n项和为Sn，则下列命题正确的是（）A．数列{Sn}是递增数列 B．数列{Sn}是递减数列 C．数列{Sn}存在最小项 D．数列{Sn}存在最大项16．（5分）设集合，，，，其中a，b∈R，给出下列两个命题：命题q1：对任意的a，P1是P2的子集；命题q2：对任意的b，Q1不是Q2的子集．下列说法正确的是（）A．命题q1是真命题，命题q2是假命题 B．命题q1是假命题，命题q2是真命题 C．命题q1、q2都是真命题 D．命题q1、q2都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（14分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长等于4，点E是棱DD1的中点．（1）求直线A1E与直线B1C所成的角；（2）若底面ABCD上的点P满足PD1⊥平面A1EC1，求线段DP的长度．18．（14分）已知．（1）求函数y＝f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC的内角A满足f（A）＝0，且，求BC边长的最小值．19．（14分）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如表所示：v0104060M0132544007200为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③M3（v）＝300logav+b．（1）当0≤v≤80时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；（2）现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足N（v）＝2v2﹣10v+200（80≤v≤120），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？20．（16分）已知双曲线Γ：x2﹣y2＝4，双曲线Γ的右焦点为F，圆C的圆心在y轴正半轴上，且经过坐标原点O，圆C与双曲线Γ的右支交于A、B两点．（1）当△OFA是以F为直角顶点的直角三角形，求△OFA的面积；（2）若点A的坐标是，求直线AB的方程；（3）求证：直线AB与圆x2+y2＝2相切．21．（18分）已知集合M＝{x|1≤x≤m，x∈Z}（Z是整数集，m是大于3的正整数）．若含有m项的数列{an}满足：任意的i，j∈M，都有ai∈M，且当i≠j时有ai≠aj，当i＜m时有|ai+1﹣ai|＝2或|ai+1﹣ai|＝3，则称该数列为P数列．（1）写出所有满足m＝5且a1＝1的P数列；（2）若数列{an}为P数列，证明：{an}不可能是等差数列；（3）已知含有100项的P数列{an}满足a5，a10，⋯，a5k，⋯，a100（k＝1，2，3，⋯，20）是公差为d（d＞0）等差数列，求d所有可能的值．

2022年上海市崇明区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．（4分）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{﹣2，0，1，2}，则A∩B＝{0，1}．【分析】求出集合A，利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{﹣2，0，1，2}，∴A∩B＝{0，1}．故答案为：{0，1}．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（4分）已知一组数据4，2a，3﹣a，5，6的平均数为4，则实数a的值等于2．【分析】根据平均数的概念计算即可．【解答】解：＝（4+2a+3﹣a+5+6）＝4，解得：a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了平均数的概念，是基础题．3．（4分）已知角α的终边经过点P（3，4），则sinα＝．【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解．【解答】解：因为角α的终边经过点P（3，4），所以sinα＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．4．（4分）若复数（i为虚数单位），则＝．【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．【解答】解：，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．5．（4分）在（1+2x）6的二项展开式中，x4项的系数是240．（用数值表示）【分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得含x4项的系数．【解答】解：（1+2x）6的二项展开式的通项公式为Tr+1＝•（2x）r，令r＝4，可得含x4项的系数是×24＝240，故答案为：240．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．6．（4分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x﹣2y的最大值等于1．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A（1，0），由z＝x﹣2y，得y＝，由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为1．故答案为：1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．7．（5分）已知圆锥的母线长等于2，侧面积等于2π，则该圆锥的体积等于．【分析】根据圆锥的侧面积公式S侧＝πrl，代入得r＝1，根据图形结合勾股定理得h＝，再代入锥体体积公式V＝，能求出该圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，∵圆锥的母线长等于2，侧面积等于2π，∴，解得r＝1，∴h＝＝，∴该圆锥的体积为V＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查圆锥的结构特征、圆锥的侧面积、体积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（5分）已知直线l的参数方程为（t是参数），则点（1，0）到直线l的距离等于．【分析】根据题意，将直线的方程变形为直线的一般式方程，由点到直线的距离公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，直线l的参数方程为（t是参数），其普通方程为4（x﹣1）＝3（y﹣2），即4x﹣3y+2＝0，则点（1，0）到直线l的距离d＝＝；故答案为：．【点评】本题考查直线的参数方程，注意将参数方程变形为标准方程，属于基础题．9．（5分）设y＝f（x）是定义在R上且周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，，其中a∈R．若，则f（a）＝．【分析】根据题意，由函数的周期性可得f（﹣）＝f（﹣），f（）＝f（），结合函数的解析式求出a的值，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，y＝f（x）是定义在R上且周期为2的函数，则f（﹣）＝f（﹣），f（）＝f（），又由当x∈[﹣1，1）时，，则有﹣+a＝|﹣|，解可得a＝，则f（a）＝f（）＝|﹣|＝；故答案为：．【点评】本题考查分段函数的求值，涉及函数的周期性，属于基础题．10．（5分）已知平面直角坐标系中的点、、，n∈N*．记Sn为△AnBn∁n外接圆的面积，则＝π．【分析】由过三点的外接圆来确定圆的半径，从而得到Sn，再利用极限运算法则能求出结果．【解答】解：设过、、这三点的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则，∴，∵△AnBn∁n外接圆的半径为，∴Sn＝＝[]＝[]，∴＝＝＝π．故答案为：π．【点评】本题考查圆的性质、极限运算法则、系数等定法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11．（5分）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：（1）每位学生每天最多选择1项；（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：时间周一周二周三周四周五课后服务音乐、阅读、体育、编程口语、阅读、编程、美术手工、阅读、科技、体育口语、阅读、体育、编程音乐、口语、美术、科技若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有14种．（用数值表示）【分析】根据题意，由表可知周一至周四都可选阅读，周一，周三和周四可选体育，周一，周二和周四可选编程，由此分4种情况讨论，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，由表可知周一至周四都可选阅读，周一，周三和周四可选体育，周一，周二和周四可选编程，故分4种情况讨论：当周一选阅读，若体育选周三，编程有2种方法，若体育选周四，编程有1种方法，共3种选法，当周二选阅读，若编程选周一，体育有2种方法，若编程选周四，体育有2种方法，共4种选法，当周三选阅读，若体育选周一，编程有2种方法，若体育选周四，编程有2种方法，共4种选法，当周四选阅读，若体育选周一，编程有1种方法，若体育选周三，编程有2种方法，共3种选法，再由分类加法计数原理可得不同的选课方案共有3+4+4+3＝14种．故答案为：14．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．12．（5分）已知实数x、y满足，则的取值范围是（，2]．【分析】分x，y的正负讨论可得出方程对应的曲线，数形结合，根据直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系求解即可．【解答】解：因为实数x，y满足足，当x＞0，y＞0时，方程为的图象为双曲线在第一象限的部分；当x＞0，y＜0时，方程为的图象为椭圆在第四象限的部分；当x＜0，y＞0时，方程为的图象不存在；当x＜0，y＜0时，方程为的图象为双曲线在第三象限的部分；在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，表示点（x，y）到直线x﹣2y+＝0的距离的倍，根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线均为y＝±x，令z＝x﹣2y+，即y＝x﹣+，与双曲线渐近线平行，观察图象可得，当过点（x，y）且斜率为的直线与椭圆相切时，点（x，y）到直线x﹣2y+＝0的距离最大，即当直线z＝x﹣2y+与椭圆相切时，z最大．联立方程组，得2x2﹣（2z﹣2）x+z2﹣2z+1＝0，Δ＝（2z﹣2）2﹣4×2×（z2﹣2z+1）＝0，解得z＝±2．又因为椭圆的图象只有第四象限的部分，所以z＝+2．又直线x﹣2y+＝0与x﹣2y＝0的距离为1，故曲线上的点到直线的距离大于1，所以z＞．综上所述，＜z≤+2，所以＜|z|≤+2，即的取值范围是（，2]．故答案为：（，2]．【点评】本题考查了曲线与方程，考查了直线与椭圆，直线与双曲线的位置关系，考查分类讨论思想与数形结合思想，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】13．（5分）如果a＜0，b＞0，那么下列不等式中正确的是（）A．a2＜b2 B． C．|a|＞|b| D．【分析】直接利用不等式的性质和赋值法的应用求出结果．【解答】解：对于A：由于a＜0，b＞0，当a＝﹣3，b＝1时，不等式不成立，故A错误；对于B：当a＝﹣3，b＝1时，故选项B错误；对于C：当a＝﹣1，b＝3时，选项C错误；对于D：由于a＜0，b＞0，故，故D正确．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，赋值法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14．（5分）“”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【分析】利用向量相等的概念，结合充要条件的定义得到答案．【解答】解：若成立，由向量相等得到两向量的长度方向都相同，即有||＝||，反之，若||＝||成立，若两向量的方向不同则推不到，所以是||＝||的充分非必要条件，故选：A．【点评】本题考查充要条件的有关定义，属于基础题．15．（5分）已知无穷等比数列{an}中a1＝2，|a2|＜2，它的前n项和为Sn，则下列命题正确的是（）A．数列{Sn}是递增数列 B．数列{Sn}是递减数列 C．数列{Sn}存在最小项 D．数列{Sn}存在最大项【分析】对AB，举公比为负数的反例判断即可，对CD，设等比数列{an}公比为q，分q＞0和q＜0两种情况讨论，再得出结论即可．【解答】解：对AB，当公比为﹣时，a2＝﹣1，a2＝﹣1，此时S1＝2，S2＝1，S3＝，此时{Sn}既不是递增也不是递减数列；对CD，设等比数列{an}公比为q，当q＞0时，因为|a2|＜2，故2q＜2，故0＜q＜1，此时＝﹣，易得Sn随n的增大而增大，故{Sn}存在最小项S1，不存在最大项；当q＜0时，因为|a2|＜2，故﹣2q＜2，故﹣1＜q＜0，Sn＝﹣，因为|q|＜1，故当n为偶数时，，随着n的增大而增大，此时＜无最大值，当n＝2时有最小值S2＝2+2q；当为奇数时，随着n的增大而减小，故＞无最小值，有最大值S1＝2，综上，当q＜0时，因为2+2q＜＜2，故当n＝2时有最小值S2＝2+2q，当n＝1时有最大值S1＝2，综上所述，数列{Sn}存在最小项，不一定有最大项，故C正确；D错误，故选：C．【点评】本题考查了等比数列与函数的关系的问题，对学生的思维迁移能力要求较高，属于中档题．16．（5分）设集合，，，，其中a，b∈R，给出下列两个命题：命题q1：对任意的a，P1是P2的子集；命题q2：对任意的b，Q1不是Q2的子集．下列说法正确的是（）A．命题q1是真命题，命题q2是假命题 B．命题q1是假命题，命题q2是真命题 C．命题q1、q2都是真命题 D．命题q1、q2都是假命题【分析】根据不等式的特征，可判断命题q1，利用判别式，可得集合Q1、Q2的关系，从而判断命题q2．【解答】解：由于x2+ax+2＝x2+ax+1+1，即x2+ax+1＞0时，x2+ax+2＞0一定成立，故P1是P2的子集，因此命题q1是真命题．令x2+x+b＝0，Δ＝1﹣4×1×b＜0⇒b＞；令x2+2x+b＝0，Δ＝4﹣4×1×b＜0⇒b＞1．从而可知，当b＞1时，Q1＝Q2＝R，此时，Q1是Q2的子集，故命题q2是假命题．故选：A．【点评】本题考查了对命题真假的判断，也考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（14分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长等于4，点E是棱DD1的中点．（1）求直线A1E与直线B1C所成的角；（2）若底面ABCD上的点P满足PD1⊥平面A1EC1，求线段DP的长度．【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量的夹角公式能求出直线A1E与直线B1C所成的角；（2）假设在底面ABCD上存在点P，使得PD1⊥平面A1EC1，设P（a，b，0），求出向量，，的坐标，根据线面垂直的性质求出a，b，由此能求出线段DP的长度．【解答】解：（1）以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A1（4，0，4），E（0，0，2），B1（4，4，4），C（0，4，0），∴＝（﹣4，0，﹣2），＝（﹣4，0，﹣4），设直线A1E与直线B1C所成角为，∴cosθ＝＝＝，∴θ＝arccos，∴直线A1E与直线B1C所成的角为arccos．（2）假设在底面ABCD上存在点P满足PD1⊥平面A1EC1，设P（a，b，0），∵C1（0，4，4），D1（0，0，4），∴＝（﹣4，4，0），＝（0，4，2），＝（a，b，﹣4），由PD1⊥平面A1EC1，得：，解得a＝2，b＝2，∴P（2，2，0），∴＝（2，2，0），||＝＝2，∴线段DP的长度为2．【点评】本题考查异面直线所成角、线面垂直的性质、向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（14分）已知．（1）求函数y＝f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC的内角A满足f（A）＝0，且，求BC边长的最小值．【分析】（1）先由三角恒等变换求f（x），然后结合三角函数的性质求单调区间即可；（2）由余弦定理结合重要不等式求解即可．【解答】解：（1）已知，则f（x）＝，由，k∈Z，解得，k∈Z，即函数y＝f（x）的单调递增区间为，k∈Z；（2）△ABC的内角A满足f（A）＝0，则2sin（2A﹣）﹣2＝0，又2A，则，即A＝，又，则AB×，即AB×AC＝6，由余弦定理BC2＝AC2+AB2﹣2×AC×AB×cosA可得：BC2≥2×AC×AB﹣AC×AB＝AC×AB＝6，当且仅当AC＝AB时取等号，即BC边长的最小值为．【点评】本题考查了三角恒等变换，重点考查了三角函数的性质及余弦定理，属基础题．19．（14分）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如表所示：v0104060M0132544007200为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③M3（v）＝300logav+b．（1）当0≤v≤80时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；（2）现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足N（v）＝2v2﹣10v+200（80≤v≤120），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？【分析】（1）对于③M3（v）＝300logav+b，当v＝0时，它无意义，故不符合题意；对于②，该函数为减函数，故不符合题意，故选①，再利用待定系数法即可求解．（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及对勾函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）对于③M3（v）＝300logav+b，当v＝0时，它无意义，故不符合题意，对于②，该函数为减函数，故不符合题意，故选①，由表中数据可得，，解得，∴M（v）＝．（2）高速路段长200km，所用时间为h，则所耗电量为f（v）＝•N（v）＝•（2v2﹣10v+200）＝400v+﹣2000＝400（v+）﹣2000，由对勾函数的性质可知，f（v）在[80，120]上单调递增，∴f（v）min＝f（80）＝400（80）﹣2000＝30500Wh，国道路段30km，所用时间为h，则所耗电量为g（v）＝•M（v）＝（）＝﹣60v+4500，∵0≤v≤80，∴当v＝40时，g（x）min＝g（40）＝3300Wh，∴当这辆车在高速上的行驶速度为80km/h，在国道上的行驶速度为40km/h时，该车从A地行驶到B地的总耗电量最少，最少为30500+3300＝33800Wh．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对勾函数和二次函数的性质，属于中档题．20．（16分）已知双曲线Γ：x2﹣y2＝4，双曲线Γ的右焦点为F，圆C的圆心在y轴正半轴上，且经过坐标原点O，圆C与双曲线Γ的右支交于A、B两点．（1）当△OFA是以F为直角顶点的直角三角形，求△OFA的面积；（2）若点A的坐标是，求直线AB的方程；（3）求证：直线AB与圆x2+y2＝2相切．【分析】（1）根据题意求得，由三角形面积公式即可求得答案；（2）设圆C的方程为x2+（y﹣b）2＝b2，由点A的坐标求得b，联立Γ：x2﹣y2＝4求得B点坐标，可得答案；（3）设直线AB的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立Γ：x2﹣y2＝4，可得根与系数的关系式，再联立可得y1y2＝2，结合根与系数的关系式化简，可得x2+y2＝2的圆心到直线AB的距离等于半径，可证明结论．【解答】解：（1）由题意△OFA是以F为直角顶点的直角三角形，，所以，所以△OFA的面积；（2）设圆C的方程为x2+（y﹣b）2＝b2，由题意，5+（b﹣1）2＝b2，所以b＝3，故圆C的方程为x2+（y﹣3）2＝9，由，得：y2﹣3y+2＝0，所以y1＝1，y2＝2，故A、B两点的坐标分别是，所以直线AB的方程为：；（3）证明：设直线AB的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），圆C的方程为x2+（y﹣b）2＝b2（b＞0），由，得：（1﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣2＝0，由题意，得：，且，由，得：y2﹣by+2＝0，所以y1y2＝2，所以，即，所以m2＝2k2+2，因为原点O到直线AB的距离，所以直线AB与圆x2+y2＝2相切．【点评】本题考查了双曲线的性质，属于