2020-2021学年上海市静安区市西中学高一（下）期中数学试卷

第1页（共1页）2020-2021学年上海市静安区市西中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（共42分，1-6每小题3分，7-12每小题3分）1．（3分）已知tanθ＝2，则＝．2．（3分）△ABC中，A＝60°，a＝1，则＝．3．（3分）在正三角形ABC中，AB＝3，则＝．4．（3分）若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是π，则ω＝．5．（3分）已知，用反余弦形式表示x的结果是．6．（3分）在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则该三角形是三角形．7．（4分）如图为函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象，则f（x）＝．8．（4分）在三角形ABC中，已知D是BC的中点，G是三角形ABC的重心．设向量，，则向量＝（结果用表示）．9．（4分）如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是米．（精确到0.1米）10．（4分）设ω＞0，若函数f（x）＝2sinωx在[﹣，]上单调递增，则ω的取值范围是．11．（4分）定义运算，则函数的值域为．12．（4分）已知非零向量，且，则△ABC为三角形．二、选择题（共16分，每小题4分）13．（4分）设φ∈R，则“φ＝0”是“f（x）＝cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件14．（4分）如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是（）A． B． C． D．15．（4分）已知，则tan2α＝（）A． B． C． D．16．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2＝2c2，则cosC的最小值为（）A． B． C． D．三、解答题（共42分）17．（6分）证明：sinα+sinβ＝2sincos．18．（6分）已知π＜α＜，π＜β＜，，，求α﹣β的值．19．（9分）已知三个互不相同的平面向量||＝||＝||＝1，与夹角为60°，与夹角为60°，（1）求证：（﹣）⊥；（2）|k++|＞，求k的范围．20．（10分）在△ABC中，4sinBsin2（+）+cos2B＝1+．（1）求角B的度数；（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．21．（11分）已知函数．（1）当a＝1时，求f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[0，π]时，f（x）的值域为[3，4]，求a、b的值．

2020-2021学年上海市静安区市西中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共42分，1-6每小题3分，7-12每小题3分）1．（3分）已知tanθ＝2，则＝．【分析】由同角三角函数间的相互关系，把等价转化为，再由tanθ＝2求出其结果．【解答】解：∵tanθ＝2，∴＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查同角三角函数间的关系，是基础题，难度不大，解题时要认真审题，仔细解答．2．（3分）△ABC中，A＝60°，a＝1，则＝．【分析】由正弦定理直接求解即可．【解答】解：因为A＝60°，a＝1，所以由正弦定理可得＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查正弦定理，考查运算求解能力，属于基础题．3．（3分）在正三角形ABC中，AB＝3，则＝．【分析】利用向量的数量积的定义求解．【解答】解：在正三角形ABC中，与的夹角为120°，∴＝＝3×＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了平面向量的数量积的定义，是基础题．4．（3分）若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是π，则ω＝1．【分析】由已知中函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴的距离是π，我们可以根据正弦型函数的性质得到函数的最小正周期，进而根据T＝，即可得到答案．【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴的距离是半个周期∴T＝π，则函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的周期T＝2π则ω＝1故答案为：1【点评】本题考查的知识点是由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦型函数周期的确定方法由，代数法：根据T＝求出，几何法：根据对称轴及对称中心间的距离与周期T的关系求出．5．（3分）已知，用反余弦形式表示x的结果是arccos或2．【分析】利用反余弦的定义求解．【解答】解：∵，①当x时，x＝arccos，②当x时，x＝2，综上所述，用反余弦形式表示x的结果是arccos或2，故答案为：arccos或2．【点评】本题主要考查了反余弦的定义，是基础题．6．（3分）在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则该三角形是直角或等腰三角形．【分析】利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B）＝0或sin（A﹣B）＝0，推断出A+B＝或A＝B，则三角形形状可判断出．【解答】解：∵sin2A＝sin2B∴sin2A﹣sin2B＝cos（A+B）sin（A﹣B）＝0∴cos（A+B）＝0或sin（A﹣B）＝0∴A+B＝或A＝B∴三角形为直角三角形或等腰三角形．故答案为：等腰或直角．【点评】本题主要考查了三角形的形状判断．需要挖掘题设信息，借助三角函数的基本公式和基本性质找到边与边或角与角之间的关系．7．（4分）如图为函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象，则f（x）＝2sin（2x+）．【分析】由已知图象求出振幅、周期，利用周期公式可求ω，根据五点作图法，令2×+φ＝+2kπ，k∈Z，结合范围|φ|＜，可求φ，即可得解函数解析式．【解答】解：由题中的图象知，A＝2，＝﹣＝，即T＝π，所以ω＝＝2，根据五点作图法，令2×+φ＝+2kπ，k∈Z，得到φ＝+2kπ，k∈Z，因为|φ|＜，所以φ＝，可得解析式为f（x）＝2sin（2x+）．故答案为：2sin（2x+）．【点评】本题考查了由三角函数图象求解析式，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键，属于基础题．8．（4分）在三角形ABC中，已知D是BC的中点，G是三角形ABC的重心．设向量，，则向量＝（结果用表示）．【分析】由三角形重心的性质可知，再利用平面向量的基本定理求解．【解答】解：∵D是BC的中点，G是三角形ABC的重心，∴，∴＝＝+＝+＝﹣+＝+＝+，故答案为：+．【点评】本题主要考查了三角形重心的性质，考查了平面向量的基本定理，是基础题．9．（4分）如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是236.6米．（精确到0.1米）【分析】直接利用解直角三角形知识的应用和特殊角的三角函数值的应用求出结果．【解答】解：设电视塔的高度为x，则在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，则，解得．同理在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，则＝1，解得AD＝x，由于，整理得，解得x≈236.6．故答案为：236.6【点评】本题考查的知识要点：解直角三角形知识，特殊角的三角函数值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10．（4分）设ω＞0，若函数f（x）＝2sinωx在[﹣，]上单调递增，则ω的取值范围是（0，]．【分析】依题意，f（x）＝2sinωx在[﹣，]上单调递增，从而可求得ω的取值范围．【解答】解：∵ω＞0，若函数f（x）＝2sinωx在[﹣，]上单调递增，∴f（x）＝2sinωx在[﹣，]上单调递增，∴T＝•≥，∴0＜ω≤．故答案为：（0，]．【点评】本题考查正弦函数的单调性，考查分析运算能力，属于中档题．11．（4分）定义运算，则函数的值域为[﹣，]．【分析】先在一个周期2π内，将a*b进行化简，然后求出每一段上的取值范围，即可获解．【解答】解：显然y＝sinx与y＝cosx周期相同，且具有相同的周期区间．故f（x）的周期为2π，取原点右侧第一个完整周期的区间[0，2π]，令sinx＝，得，或．故f（x）＝，易知时，sinx，时，，故函数f（x）的值域为．故答案为：[﹣，]．【点评】本题考查分段函数的值域求法、正余弦函数的周期、值域等性质，属于中档题．12．（4分）已知非零向量，且，则△ABC为等边三角形．【分析】根据表示的向量在∠BAC的角平分线上，同时利用推断出∠BAC的角平分线垂直于边BC，进而可推断出三角形为等腰三角形，同时根据向量积公式及可求得cosA的值，进而求得A＝60°进而可推断出三角形为等边三角形．【解答】解：∵表示AB边的单位向量，表示AC边的单位向量，∴表示的向量在∠BAC的角平分线上，∵，∴∠BAC的角平分线垂直于边BC，所以△ABC是以角A为顶角的等腰三角形，•＝1×1×cosA＝cosA＝，∴A＝60°，等腰△ABC中一角为60°，所以△ABC为等边三角形故答案为：等边【点评】本题主要考查了三角形的形状判断以及向量的几何意义．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．二、选择题（共16分，每小题4分）13．（4分）设φ∈R，则“φ＝0”是“f（x）＝cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】直接把φ＝0代入看能否推出是偶函数，再反过来推导结论即可．【解答】解：因为φ＝0时，f（x）＝cos（x+φ）＝cosx是偶函数，成立；但f（x）＝cos（x+φ）（x∈R）为偶函数时，φ＝kπ，k∈Z，推不出φ＝0．故“φ＝0”是“f（x）＝cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．14．（4分）如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是（）A． B． C． D．【分析】设边长|P1P2|＝a，∠P2P1P3＝．，根据向量数量积的定义，＝，∠P2P1P4＝，|P1P4|＝2a，＝，＝0，＜0，从而得到答案．【解答】解：如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，设边长|P1P2|＝a，则∠P2P1P3＝．，＝，∠P2P1P4＝，|P1P4|＝2a，＝，＝0，＜0，∴数量积中最大的是，故选：A．【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算．注意向量数量积的定义和运算法则．15．（4分）已知，则tan2α＝（）A． B． C． D．【分析】根据同角三角函数关系式和万能公式化简后求出tanα，利用二倍角公式求出tan2α的值．【解答】解：由sinα+2cosα＝，则（sinα+2cosα）2＝，即sin2α+4sinαcosα+4cos2α＝，可得，解得tanα＝3或﹣．那么tan2α＝＝．故选：C．【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式和万能公式的应用，属于基本知识的考查．16．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2＝2c2，则cosC的最小值为（）A． B． C． D．【分析】通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值．【解答】解：因为a2+b2＝2c2，所以由余弦定理可知，c2＝2abcosC，cosC＝＝．故选：C．【点评】本题考查三角形中余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，考查计算能力．三、解答题（共42分）17．（6分）证明：sinα+sinβ＝2sincos．【分析】令a＝，b＝，则α＝a+b，β＝a﹣b，再利用正弦函数加法定理能证明sinα+sinβ＝2sincos．【解答】证明：令a＝，b＝，则α＝a+b，β＝a﹣bsin（a+b）＝sinacosb+cosasinbsin（a﹣b）＝sinacosb﹣cosasinb两式相加得：sin（a+b）+sin（a﹣b）＝2sinacosb∴sinα+sinβ＝2sincos．【点评】本题考查和差化积公式的证明，考查换元法、正弦函数加法定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方思想，是基础题．18．（6分）已知π＜α＜，π＜β＜，，，求α﹣β的值．【分析】由α与β的范围，以及sinα与cosβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα与sinβ的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（α﹣β），将各自的值代入求出值，根据α﹣β的范围，即可求出度数．【解答】解：∵π＜α＜，π＜β＜，sinα＝﹣，cosβ＝﹣，∴cosα＝﹣＝﹣，sinβ＝﹣＝﹣，∴sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝﹣×（﹣）﹣（﹣）×（）＝﹣，∵﹣＜α﹣β＜0，∴α﹣β＝﹣．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．19．（9分）已知三个互不相同的平面向量||＝||＝||＝1，与夹角为60°，与夹角为60°，（1）求证：（﹣）⊥；（2）|k++|＞，求k的范围．【分析】（1）计算（﹣）•＝0，即可证明（﹣）⊥；（2）由平面向量的模长公式，求不等式|k++|＞的解集即可．【解答】（1）证明：因为（﹣）•＝•﹣•＝1×1×cos60°﹣1×1×cos60°＝0，所以（﹣）⊥；（2）解：因为与夹角为60°+60°＝1200，且|k++|＞，所以＞6，即k2+++2k•+2k•+2•＞6，所以k2+1+1+2k×1×1×cos120°+2k×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°＞6，化简得k2＞3，解得k＜﹣或k＞，所以k的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长的计算问题，是基础题．20．（10分）在△ABC中，4sinBsin2（+）+cos2B＝1+．（1）求角B的度数；（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简已知等式，算出sinB＝，结合B是△ABC的内角可B＝，或B＝；（2）根据正弦定理的面积公式，算出边c＝5．再利用余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB的式子，代入数据即可算出边b的值等于或．【解答】解：（1）由4sinB•sin2（+）+cos2