辽宁省辽阳市灯塔第二高级中学高三数学理月考试卷含解析

辽宁省辽阳市灯塔第二高级中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一已知等差数列{an}中，其前n项和为Sn，若a3+a4+a5=42，则S7=（）A．98 B．49 C．14 D．147参考答案：A【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】根据题意和等差数列的性质求出a4的值，由等差数列的前n项和公式求出S7的值．【解答】解：等差数列{an}中，因为a3+a4+a5=42，所以3a4=42，解得a4=14，所以S7==7a4=7×14=98，故选A．2.若圆的圆心到直线的距离为，则a的值为（

）

A．-2或2

B．

C．

D．-2或0参考答案：C略3.设，则（）A．

B．

C．

D．参考答案：B4.（多选题）下列说法正确的是（

）A.“”是“点(2,1)到直线的距离为3”的充要条件B.直线的倾斜角的取值范围为C.直线与直线平行，且与圆相切D.离心率为的双曲线的渐近线方程为参考答案：BC【分析】根据点到直线的距离公式判断选项A错误；根据直线斜率的定义及正切函数的值域问题判断选项B正确；根据两直线平行的判定及直线与圆相切的判定，可判断选项C正确；根据双曲线渐近线的定义可判断选项D错误.【详解】选项A：由点到直线的距离为3，可得：，解得或，“”是“点到直线的距离为3”的充分不必要条件，故选项A错误；选项B：直线的斜率，设直线的倾斜角为，则或，，故选项B正确；选项C：直线可化为，其与直线平行，圆的圆心到直线的距离为：，则直线与圆相切，故选项C正确；选项D：离心率为，则若焦点在x轴，则双曲线的渐近线方程为，若焦点在y轴，则双曲线的渐近线方程为，故选项D错误.故选：BC.【点睛】本题考查了点到直线的距离，直线的斜率的定义，两直线的平行关系的判断，直线与圆的相切的判断，双曲线的渐近线方程，知识点较繁杂，需要对选项逐一判断.属于中档题.5.在长为的线段上任取一点.现作一矩形，邻边长分别等于线段的长，则该矩形面积小于的概率为A．

B．

C．

D．

参考答案：C6.在△ABC中，点D是AC上一点，且，P为BD上一点，向量，则的最小值为（

）A．16

B．8

C．4

D．2参考答案：A由题意可知：，其中B,P,D三点共线，由三点共线的充分必要条件可得：，则：，当且仅当时等号成立，即的最小值为16.本题选择A选项.

7.设是双曲线的两个焦点,是上一点,若且的最小内角为,则的离心率为(

)

A、

B、

C、

D、参考答案：C8.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线的方程为，则该双曲线的标准方程为（

）A. B. C. D.参考答案：C9.F是抛物线的焦点，A、B是抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为（

）A.4 B. C.3 D.参考答案：D【分析】根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出A,B的中点横坐标的和,求出线段AB的中点到y轴的距离【详解】是抛物线的焦点,

,准线方程,

设,,

,

线段AB的中点横坐标为,

线段AB的中点到y轴的距离为所以D选项是正确的【点睛】抛物线的弦长问题一般根据第一定义可简化运算．10.一个几何体的三视图如图所示，它们都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积等于(

) A． B． C．2 D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的图象经过点，则不等式的解为_________;参考答案：12.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是

参考答案：略13.已知函数f(x)=x3+ax2+bx在x=1处有极值为10，则f(2)等于____．参考答案：2略14.二项式的展开式中常数项为，则的值为

．参考答案：2

考点：二项式定理.15.若x、y满足条件，则z=x+3y的最大值是

.参考答案：略16.甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是_________．参考答案：甲17.抛物线上到焦点的距离等于9的点的横坐标是

．参考答案：6三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）当，且时，求.参考答案：解：（Ⅰ）由已知可得.所以.因为在中，，所以.

（Ⅱ）因为，所以.因为是锐角三角形，所以，.所以.由正弦定理可得：，所以.略19.已知数列满足，且．（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．参考答案：解：（1），且，∴，即，∴，数列是等差数列，∴，∴，∴．（2）由（1）知，，，，，，．

20.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（I）对极坐标方程两边同乘ρ，得到直角坐标方程；（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，利用参数意义和根与系数的关系列出方程解出α．【解答】解：（I）∵ρsin2θ=4cosθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（II）将代入y2=4x，得sin2α?t2+（2sinα﹣4cosα）t﹣7=0，所以，所以，或，即或．【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，桉树方程的几何意义，属于基础题．21.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=2，Sn﹣4Sn﹣1﹣2=0（n≥2，n∈Z）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=log2an，Tn为{bn}的前n项和，求证＜2．参考答案：【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．（II）利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）当n≥3时，可得Sn﹣4Sn﹣1﹣2﹣（Sn﹣1﹣4Sn﹣2﹣2）=0（n≥2，n∈Z）．∴an=4an﹣1，又因为a1=2，代入表达式可得a2=8，满足上式．所以数列{an}是首项为a1=2，公比为4的等比数列，故：an=2×4n﹣1=22n﹣1．（Ⅱ）证明：bn=log2an=2n﹣1．Tn==n2．n≥2时，=＜=．≤1++…+=2﹣＜2．22.已知函数f（x）=ax2﹣2lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）求导函数，可得切线的斜率，求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程；（Ⅱ）先求出函数的导数，通过讨论a的取值范围求出函数的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2﹣2lnx+x，f（1）=，∵f′（x）=x﹣，∴切线的斜率k=f′（1）=﹣1，∴切线方程为：y