浙江省宁波市余姚明伟中学高三数学理联考试卷含解析

浙江省宁波市余姚明伟中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则“k=1”是“|AB|=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】直线与圆；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线和圆相交的弦长公式进行判断即可．【解答】解：∵直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，∴圆心到直线的距离d=，则|AB|=2=2，当k=1时，|AB|=，即充分性成立，若|AB|=，则，即k2=1，解得k=1或k=﹣1，即必要性不成立，故“k=1”是“|AB|=”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断以及直线和圆相交的弦长的计算，根据弦长公式是解决本题的关键．2.设,，若，，则的最大值为(

)

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B3.已知数列是等比数列，且的值为

（

）

A．1

B．-1

C．

D．

参考答案：B略4.在△ABC中，“sinA=sinB”是“A=B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：显然，A=B?sinA=sinB，反之，在△ABC中，sinA=sinB?A=B，故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件的定义以及三角函数的性质，是一道基础题．5.已知，则是 （

）（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形

（D）不能确定参考答案：A略6.已知函数数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于()A．－3

B．－1

C．1

D．3参考答案：A7.

参考答案：A略8.如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于，．设，，则函数的图象大致是（

）参考答案：B9.右图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象，则函数的零点所在的区间是（

）A．

B．C．

D．参考答案：C略10.如右图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，则∠BAC等于（）A.70°

B.35°

C.20°

D.10°

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线极坐标方程为，它与曲线，（）相交于两点A，B，则=

.参考答案：

2；12.抛物线的焦点到准线的距离为

.参考答案：2由抛物线的方程可知，所以，即抛物线的焦点到准线的距离为2.13.已知数列{an}满足an﹣an+1=an+1an（n∈N*），数列{bn}满足，且b1+b2+…+b10=65，则an=．参考答案：【考点】数列递推式．【分析】数列{an}满足an﹣an+1=an+1an（n∈N*），﹣=1，可得bn+1﹣bn=1，再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵数列{an}满足an﹣an+1=an+1an（n∈N*），∴﹣=1，即bn+1﹣bn=1，∴数列{bn}为等差数列，公差为1，又b1+b2+…+b10=65，∴10b1+×1=65，解得b1=2．∴bn=2+（n﹣1）=n+1=，解得an=．故答案为：．14.如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列命题中正确的序号有__________1

存在点使；②存在点使平面③存在点使与所成的角等于④三棱锥的体积为定值参考答案：②③④15.已知抛物线方程为y2=﹣4x，直线l的方程为2x+y﹣4=0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，点A到直线l的距离为n，则m+n的最小值为．参考答案：﹣1【考点】抛物线的简单性质．【分析】点A到准线的距离等于点A到焦点F的距离，从而A到y轴的距离等于点A到焦点F的距离减1，过焦点F作直线2x+y﹣4═0的垂线，此时m+n=|AF|+n﹣1最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得m+n的最小值．【解答】解：由题意，点A到准线的距离等于点A到焦点F的距离，从而A到y轴的距离等于点A到焦点F的距离减1．过焦点F作直线2x+y﹣4═0的垂线，此时m+n=|AF|+n﹣1最小，∵F（﹣1，0），则|AF|+n==，则m+n的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．16.已知α为第二象限角，则

。参考答案：-117.已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（A）（0，1）(B)(C)(D)参考答案：B三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（其中是自然对数的底数）（1）若，当时，试比较与2的大小；（2）若函数有两个极值点，求的取值范围，并证明：．参考答案：（1）当时，，则，令，，由于故，于是在为增函数，所以，即在恒成立，从而在为增函数，故．（2）函数有两个极值点，则是的两个根，即方程有两个根．设，则，当时，，函数单调递增且；当时，，函数单调递增且；当时，，函数单调递增且；要使方程有两个根，只需．故实数的取值范围是．又由上可知函数的两个极值点满足，由得，∴，由于，故，所以．19.（本小题满分14分）已知直线过椭圆的右焦点F，抛物线：的焦点为椭圆的上顶点，且直线交椭圆于、两点，点、F、

在直线上的射影依次为点、、.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线交y轴于点，且，当变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值，否则，说明理由；

（3）连接、，试探索当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.参考答案：解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点∴，抛物线的焦点坐标椭圆的方程

……4分

（Ⅱ）易知，且与轴交于，设直线交椭圆于由∴∴……………6分

又由

同理∴∵∴

……9分所以，当变化时，的值为定值；

……10分（Ⅲ）先探索，当时，直线轴，则为矩形，由对称性知，与相交

的中点，且，猜想：当变化时，与相交于定点

………11分证明：由（Ⅱ）知，∴当变化时，首先证直线过定点，方法1）∵，当时，∴点在直线上，同理可证，点也在直线上；∴当变化时，与相交于定点………14分方法2）∵∴

∴、、三点共线，同理可得、、也三点共线；

∴当变化时，与相交于定点

……14略20.（本题满分12分）函数,.其图象的最高点与相邻对称中心的距离为,且过点.(1)求函数的表达式;(2)在△中，、、分别是角、、的对边,,,角C为锐角.且满足,求的值.参考答案：(Ⅰ).

∵最高点与相邻对称中心的距离为,则,即,∴,∵,∴,又过点,∴,即,∴.∵,∴,∴.……(6分)(Ⅱ),由正弦定理可得,∵,∴,

又,,∴,由余弦定理得,∴.

(6分)21.（本题满分14分）已知数列满足（，.（1）求的通项公式；（2）若，且，求证：参考答案：【解】（1）由已知，得，即

,

数列是以为首项，为公差的等差数列．，…………4分又因为

，解得，22.（本题满分12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90o，AE⊥平面ABCD，EF//CD，BC=CD=AE=EF==1．（Ⅰ）求证：CE//平面ABF；（Ⅱ）求证：BE⊥AF；（Ⅲ）在直线BC上是否存在点M，使二面角E-MD-A的大小为？若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由．参考答案：（I）证明：如图，作FG∥EA，AG∥EF，连结EG交AF于H，连结BH，BG，∵EF∥CD且EF=CD，∴AG∥CD，即点G在平面ABCD内．由AE⊥平面ABCD知AE⊥AG，∴四边形AEFG为正方形，CDAG为平行四边形，

……………………2分∴H为EG的中点，B为CG中点，∴BH∥CE，∴CE∥面ABF．………………4分（Ⅱ）证明：∵在平行四边形CDAG中，∠ADC=90o，∴BG⊥AG．又由AE⊥平面ABCD知AE⊥BG，∴BG⊥面AEFG，∴BG⊥AF．……………………6分又∵AF⊥EG，∴AF⊥平面BGE，∴AF⊥BE．……………………