2022年安徽省蚌埠市英才中学高三数学理月考试卷含解析

2022年安徽省蚌埠市英才中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知△ABC，，，N是边BC上的点，且，为△ABC的外心，的值为（

）A.8 B.10 C.18 D.9参考答案：D【分析】先由得到，取，中点分别为，求出，，进而可求出结果.【详解】因，所以，因此；取，中点分别为，则，；因此，所以.故选D

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，熟记数量积运算法则以及数量积的几何意义，即可求解，属于常考题型.2.在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=xlnx﹣x的图象上的动点，该曲线在点P处的切线l交y轴于点M（0，yM），过点P作l的垂线交y轴于点N（0，yN）．则的范围是（） A．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） B． （﹣∞，﹣3]∪[1，+∞） C．[3，+∞） D．（﹣∞，﹣3]参考答案：A略3.已知，在的图象上存在一点，使得在处作图象的切线，满足的斜率为，则的取值范围为（

）A． B．C． D．参考答案：A4.过抛物线焦点的直线交该抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则

A.14

B．12

C.l0

D.8参考答案：B5.已知2，则的值是(

)

A．-7

B．

C．

D．参考答案：D略6.已知的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：设三边分别为，最大角大于，因此最大角是，由余弦定理得，解得（舍去），因此三边长为，三角形的周长，故答案为A.考点：1、等差数列的概念；2、余弦定理的应用.7.设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（

）A.B.C.D.参考答案：C【分析】由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小．【详解】是R的偶函数，．，又在(0，+∞)单调递减，∴，，故选C．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．8.在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则?=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求．【解答】解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=（+）?（+）=（）?（）=（+）?（+）=++=×（1+4）+0=．故选B．9.若抛物线x2=12y上一点（x0，y0）到焦点的距离是该点到x轴距离的4倍，则y0的值为（）A．1 B． C．2 D．参考答案：C【分析】利用抛物线的定义与性质，转化列出方程求解即可．【解答】解：拋物线x2=24y上一点（x0，y0），到焦点的距离是该点到x轴距离的4倍，可得y0+=4y0，所以y0==×=2．故选：C．10.在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（

）A．2π

B．4π

C．6π

D．8π参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知,则的最小值为

．参考答案：12.若曲线在点处的切线与y轴垂直，则a=_________.参考答案：1【分析】对求导，由条件，可得结果.【详解】，因为在A处的切线与y轴垂直，所以，解得．【点睛】本题考查函数的求导，导数的几何意义，考查运算能力，属于基本题.13.函数f(x)=－的最大值是_____．参考答案：解：f(x)=－，表示点(x，x2)与点A(3，2)的距离及B(0，1)距离差的最大值．由于此二点在抛物线两侧，故过此二点的直线必与抛物线交于两点．对于抛物线上任意一点，到此二点距离之差大于|AB|=．即所求最大值为．14.（3分）设x，y满足约束条件若的最小值为，则a的值．参考答案：1【考点】：简单线性规划的应用．【专题】：计算题；数形结合．【分析】：先根据约束条件画出可行域，再利用z的几何意义求最值，只需求出何时可行域内的点与点（﹣1，﹣1）连线的斜率的值最小，从而得到a的值．解：先根据约束条件画出可行域，因为z的值就是可行域内的点与点（﹣1，﹣1）连线的斜率的值，当点在可行域内的（3a，0）时，有最小值为，即=，解得：a=1．故答案为：1．【点评】：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．15.已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围是

．参考答案：16.若实数x，y满足不等式组，则z=y﹣2x最小值等于﹣2，z的最大值．参考答案：10【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先求出m的值，然后结合数形结合即可得到结论．【解答】解：由z=y﹣2x，得y=2x+z，作出不等式对应的可行域，平移直线y=2x+z，由平移可知当直线y=2x+z经过点C时，直线y=2x+z的截距最小，此时z取得最小值﹣2，由得，即C（1，0），将C（1，0）代入x+y+m=0，得m=﹣1，即此时直线方程为x+y﹣1=0，当直线y=2x+z经过点B时，直线y=2x+z的截距最大，此时z取得最大值由，得，即B（﹣3，4），此时z的最大值为z=4﹣2×（﹣3）=10，故答案为：1017.设函数，若从区间（0,4]内随机选取一个实数，则所选取的实数x0满足的概率为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x﹣，g（x）=x2﹣2ax+4若对任意x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]，使f（x1）＞g（x2），求实数a的取值范围？参考答案：【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】求出f（x）min=f（0）=﹣1，根据题意可知存在x∈[1，2]，使得g（x）=x2﹣2ax+4≤﹣1，分离参数，要使a≥），在x∈[1，2]能成立，只需使a≥h（x）min，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=x﹣，x∈[0，1]，∴f′（x）=1+＞0，∴f（x）在[0，1]上单调递增∴f（x）min=f（0）=﹣1根据题意可知存在x∈[1，2]，使得g（x）=x2﹣2ax+4≤﹣1．即a≥能成立，令，则要使a≥h（x），在x∈[1，2]能成立，只需使a≥h（x）min，又函数在x∈[1，2]上单调递减，∴，故只需a≥．19.如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.参考答案：为中点，，，四边形是平行四边形，

………4分

略20.（本小题满分12分）已知椭圆C1：（a＞b＞0）的离心率为e＝，过C1的左焦点F1的直线l：x－y＋2＝0，直线l被圆C2：＋＝（r>0）截得的弦长为2．（1）求椭圆C1的方程：（2）设C1的右焦点为F2，在圆C2上是否存在点P，满足｜PF1｜＝｜PF2｜，若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）；若不存在，说明理由．参考答案：（1）直线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），∴F1（﹣2，0）．即c=2，又e==，∴a=4，b==2，∴椭圆C1的方程为．（2）∵圆心C2（3，3）到直线l的距离d==，又直线l被圆C2截得的弦长为2，∴圆C2的半径r==2，故圆C2的方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2=4．设圆C2上存在点P（x，y），满足｜PF1｜＝｜PF2｜，即|PF1|=|PF2|，又F1（﹣2，0），F2（2，0），∴，整理得（x﹣14）2+y2=192，表示圆心在C（14，0），半径是8的圆．∴|CC2|=，∴两圆没有公共点．∴圆C2上不存在点P满足｜PF1｜＝｜PF2｜．

21.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程为．（1）求圆C的直角坐标系方程及直线l的参数方程；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求的最大值和最小值．参考答案：解：（1）由，得，即，所以圆的直角坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．（2）将代入，得，，设，两点对应的参数分别为，，则，因为，所以的最大值为，最小值为．

22.已知函数f(x)＝－x3＋x2－2x(a∈R)．(1)当a＝3时，求函数f(x)的单调区间；(2)若对于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)＜2(a－1)成立，求实数a的取值范围；(3)若过点可作函数y＝f(x)图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．参考答案：(1)单调递增区间为，单调递减区间为和；(2)；(3)试题解析：(1)当时，函数，得．

所以当时，，函数f(x)单调递增；

当x＜1或x＞2时，，函数f(x)单调递减．

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．3分(2)由，得，

因为对于任意都有成立，所以问题转化为对于任意都有．

4分因为，其图象开口向下，对称轴为.①当，即时，在上单调递减，所以，由，得，此时.

5分②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以，由，得，此时.

综上可得，实数的取值范围为．

6分(3)设点是函数图象上的