福建省泉州市衡阳学校高三数学理模拟试卷含解析

福建省泉州市衡阳学校高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列的前项和，那么等于A．5 B．6 C．7 D．8参考答案： A2.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩?UB=（）A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8}参考答案：A【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，∴?UB={2，5，8}，则A∩?UB={2，5}．故选：A．3.设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．4.有四人在海边沙滩上发现10颗精致的珍珠，四人约定分配方案：四人先抽签排序①②③④，再由①号提出分配方案，四人表决，至少要有半数的赞成票才算通过，若通过就按此方案分配，否则提出方案的①号淘汰，不再参与分配，接下来由②号提出分配方案，三人表决…，依此类推．假设：1．四人都守信用，愿赌服输；2．提出分配方案的人一定会赞成自己的方案；3．四人都会最大限度争取个人利益．易知若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0）．问①号的最佳分配方案是（）A．（4，2，2，2） B．（9，0，1，0） C．（8，0，1，1） D．（7，0，1，2）参考答案：B【考点】进行简单的合情推理．【分析】若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0），可得结论．【解答】解：根据若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0），可知①号的最佳分配方案是（9，0，1，0），故选B．【点评】本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．5.对于定义在R上的函数f（x），如果存在实数a，使得f（a+x）?f（a﹣x）=1对任意实数x∈R恒成立，则称f（x）为关于a的“倒函数”．已知定义在R上的函数f（x）是关于0和1的“倒函数”，且当x∈时，f（x）的取值范围为，则当x∈时，f（x）的取值范围为（）A． B． C． D．R参考答案：B【考点】抽象函数及其应用；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；规律型；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据“倒函数”的定义，建立两个方程关系，根据方程关系判断函数的周期性，利用函数的周期性和函数的关系进行求解即可得到结论．【解答】解：若函数f（x）是关于0和1的“倒函数”，则f（x）?f（﹣x）=1，则f（x）≠0，且f（1+x）?f（1﹣x）=1，即f（2+x）?f（﹣x）=1，即f（2+x）?f（﹣x）=1=f（x）?f（﹣x），则f（2+x）=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，若x∈，则﹣x∈，2﹣x∈，此时1≤f（x）≤2∵f（x）?f（﹣x）=1，∴f（﹣x）=∈，∵f（﹣x）=f（2﹣x）∈，∴当x∈时，f（x）∈．即一个周期内当x∈时，f（x）∈．∴当x∈时，f（x）∈．故选：B．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，根据“倒函数”，的定义建立方程关系判断函数的周期性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．6.已知双曲线的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B，则S△ABF=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，可以确定A、F的坐标，设BF的方程为y=（x﹣2），代入y=﹣x，解得B的坐标，由三角形的面积公式，计算可得答案．【解答】解：由双曲线，可得a2=1，b2=3，故c==2，∴A（1，0），F（2，0），渐近线方程为y=±x，不妨设BF的方程为y=（x﹣2），代入方程y=﹣x，解得：B（1，﹣）．∴S△AFB=|AF|?|yB|=?1?=．故选：B．【点评】本题考查双曲线方程的运用，注意运用渐近线方程，关键求出B的坐标；解此类面积的题目时，注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合，以简化计算．7.已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（2m，m+1）．若，则实数m的值为（）A． B．﹣3 C． D．﹣参考答案：B【考点】96：平行向量与共线向量；9J：平面向量的坐标运算．【分析】先求得得==（3，1），再由，则这两个向量的坐标对应成比例，解方程求得实数m的值，可得结论．【解答】解：由题意可得==（3，1），若，则这两个向量的坐标对应成比例，即，解得m=﹣3，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．8.过点（0，1）引x2+y2－4x+3=0的两条切线，这两条切线夹角的余弦值为（

）.A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.如右图，某几何体的主（正）视图与左（侧）视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是参考答案：C略10.是定义在R上的以3为周期的奇函数，=0，则方程=0在区间（0，6）内解的个数

（）A．是3个B．是4个C．是5个D．多于5个参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个，记取出的非空子集中元素个数为，则的数学期望

．参考答案：略12.设f（x）=的图象在点（1，1）处的切线为l，则曲线y=f（x），直线l及x轴所围成的图形的面积为．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据导数的几何意义即可求出切线方程；根据定积分的几何意义即可求出所围成的图形的面积．【解答】解：由f（x）=的导数为f′（x）=，则切线l的斜率k=y′|x=1=，切线l的方程为y﹣1=（x﹣1）即y=（x+1），由x=0可得y=；y=0可得x=﹣1．所求的图形的面积S=×1×+（x+﹣）dx=+（x2+x﹣x）|=++﹣=．故答案为：．13.设集合，如果满足：对任意，都存在,使得，那么称为集合的一个聚点，则在下列集合中：（1）；（2）;(3);(4)，以为聚点的集合有

（写出所有你认为正确的结论的序号）．参考答案：（2）（3）略14.若函数在上的最大值为，则的值为。参考答案：15.已知函数，若，则实数取值范围是

参考答案：略16.在平面四边形ABCD中，若AB=1，BC=2，B=60°，C=45°，D=120°，则AD=．参考答案：【考点】解三角形的实际应用．【分析】在△ABC中，由余弦定理可得AC，求出∠ACD=15°，在△ACD中，∠D=120°，由正弦定理可得AD．【解答】解：连接AC，在△ABC中，由余弦定理可得AC==，∴BC2=AB2+AC2，∴∠BAC=90°，∴∠ACB=30°，∴∠ACD=15°．在△ACD中，∠D=120°，由正弦定理可得AD==．故答案为：．17.已知正项等比数列{an}满足，若存在两项，，使得，则的最小值为__________．参考答案：2【分析】由正项等比数列通项公式结合已知条件求出，再由，求出，由此利用均值定理能求出结果．【详解】正项等比数列满足，，整理，得，又，解得，，存在两项，使得，，整理，得，，则的最小值为2．当且仅当取等号，又，．，所以只有当，时，取得最小值是2．故答案为：2【点睛】本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正项等比数列的性质和均值定理的合理运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤20.设函数f（x）=cx-（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={X{f(x)da＞0（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β-α）；（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1-k≤a≤1+k时，求I长度的最小值。（21）（本小题满分13分）参考答案：19.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求函数在上的最小值.参考答案：解：（Ⅰ）

…………2分

……………4分所以函数的最小正周期为.

…………6分由，，则.则函数单调减区间是，.

………………9分

(Ⅱ)由，得.

………11分则当，即时，取得最小值.…13分

20.（本小题满分12分）已知椭圆左、右焦点分别为F1、F2，点，点F2在线段PF1的中垂线上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角互补，求证：直线过定点，并求该定点的坐标．参考答案：21.(本小题满分16分)已知椭圆的左顶点为，左右焦点为，点是椭圆上一点，，且的三边构成公差为1的等差数列．(I)求椭圆的离心率；(II)若，求椭圆方程；(III)若，点在第一象限，且的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，求点的坐标﹒参考答案：

略22.已知函数，R.（1）试讨论函数f(x)的极值点的个数；（2）若a∈N*，且恒成立，求a的最大值.参考数据：1.61.71.741.8104.9535.4745.6976.050220260.4700.5310.5540.5882.303

参考答案：（1）函数的定义域为.…………………………1分①当时，，在定义域单调递减，没有极值点；…………2分②当时，在单调递减且图像连续，，时，，所以存在唯一正数，使得，函数在单调递增，在单调递减，所以函数有唯一极大值点，没有极小值点.………………3分综上：当时，没有极值点；当时，有唯一极大值点，没有极小值点.………4分（2）方法一：由（1）知，当时，有唯一极大值点，所以，恒成立………………………5分因为，所以，所以.令，则在单调递增，由于，，所以存在唯一正数，使得，从而.…………………6分由于恒成立，①当时，成立；②当时，由于，所以.…………7分令，当时，，所以在单调递减，从而.因为，且，且N*，所以.…………………8分下面证明时，.，且在单调递减，由于，所以存在唯一，使得，…………9分所以.……10分令，，易知在单调递减，所以，所以………………