2020-2021学年上海市虹口区复兴高级中学高二（下）期中数学试卷

第1页（共1页）2020-2021学年上海市虹口区复兴高级中学高二（下）期中数学试卷一.填空题1．（3分）设复数z＝1﹣2i，（i是虚数单位），则|z|＝．2．（3分）若直线l1：2x+my+1＝0与l2：y＝3x﹣1互相垂直，则实数m＝．3．（3分）已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为4．（3分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则＝．5．（3分）若（3x﹣1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a2+a3+a4+a5．6．（3分）某校组队参加辩论赛，从5名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为.（结果用数值表示）7．（3分）四面体ABCD中，AB＝CD＝2，AC＝AD＝BC＝BD＝4，则异面直线AB与CD的距离为．8．（3分）已知空间向量＝（﹣，，1），＝（﹣，，0），若空间单位向量满足：＝0，则＝9．（3分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长AB＝AA1＝1，AD＝，它的外接球是球O，则A、A1这两点的球面距离等于．10．（3分）过抛物线C：y＝4x2的焦点F，且斜率为的直线交抛物线C于点M（M在x轴的上方），l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为．11．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1则下列四个命题：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的一条直线．其中的真命题是.（请在横线上填上正确命题的序号）12．（3分）定义域为集合{1，2，3，…，12}上的函数f（x）满足：①f（1）＝1；②|f（x+1）﹣f（x）|＝1（x＝1，2，…，11）；③f（1）、f（6）、f（12）成等比数列；这样的不同函数f（x）的个数为．二、选择题13．（3分）设α，β是两个不同的平面，b是直线且b⊂β．则“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件14．（3分）已知方程x2﹣px+1＝0的两虚根为x1、x2，若|x1﹣x2|＝1，则实数p的值为（）A． B． C．， D．，15．（3分）下列四个组合数公式：对n，k∈N*，约定0!＝＝1，有（1）（0≤k≤n）；（2）（0≤k≤n）（3）（1≤k≤n）；（4）（0≤k≤n）．其中正确公式的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．（3分）若曲线|y|＝x+2与C：+＝1恰有两个不同交点，则实数λ取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1] C．（1，+∞） D．[﹣1，0）∪（1，+∞）三、解答题17．已知圆锥AO的底面半径为2，母线长为2，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是AB的中点，且．（1）求圆锥的全面积；（2）求直线CD与平面AOB所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．在二项式（2x3+）12的展开式中，（1）求该二项展开式中的常数项；（2）求该二项展开式中含x4项的系数；（3）求该二项展开式中二项式系数最大的项．19．我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，堑堵指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．（1）某堑堵的三视图，如图1，网格中的每个小正方形的边长为1，求该堑堵的体积；（2）在堑堵ABC﹣A1B1C1中，如图2，AC⊥BC，若A1A＝AB＝2，当阳马B﹣AA1C1C的体积最大时，求二面角C﹣A1B﹣C1的大小．20．已知双曲线C：x2﹣y2＝1．（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C的渐近线相切的圆的方程；（2）若经过点P（0，﹣1）的直线与双曲线C的右支交于不同两点M、N，求线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围．21．如图，已知半圆C1：x2+y2＝b2（y≤0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于E点，半椭圆C2：＝1（y＞0，a＞b＞0）的上焦点为F，并且△ABF是面积为的等边三角形，将由C1、C2构成的曲线，记为“Γ”．（1）求实数a、b的值；（2）直线l：y＝x与曲线Γ交于M、N两点，在曲线Γ上再取两点S、T（S、T分别在直线l两侧），使得这四个点形成的四边形MSNT的面积最大，求此最大面积；（3）设点K（0，t）（t∈R），P是曲线Γ上任意一点，求|PK|的最小值．

2020-2021学年上海市虹口区复兴高级中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）设复数z＝1﹣2i，（i是虚数单位），则|z|＝．【分析】由复数的模的计算公式即可求出．【解答】解：因为复数z＝1﹣2i，所以|z|＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查复数模的运算，属于基础题．2．（3分）若直线l1：2x+my+1＝0与l2：y＝3x﹣1互相垂直，则实数m＝6．【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求出m的值．【解答】解：∵直线l1：2x+my+1＝0与l2：y＝3x﹣1互相垂直，∴2×3+m×（﹣1）＝0，求得实数m＝6，故答案为：6．【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，属于基础题．3．（3分）已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为4π【分析】直接利用球的三视图和表面积公式求出结果．【解答】解：由于球的俯视图面积为π，则：π＝πr2，解得球的大圆半径为1，故球的表面积为：S＝4πr2＝4π．故答案为：4π．【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用，球的表面积公式的应用．4．（3分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则＝．【分析】过A作与BC平行的母线AD，由异面直线所成角的概念得到∠OAD为．在直角三角形ODA中，直接由得到答案．【解答】解：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为．在直角三角形ODA中，因为，所以．则．故答案为【点评】本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题．5．（3分）若（3x﹣1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a2+a3+a4+a533．【分析】令x＝0，可得a0．再令x＝1，可得：a0+a1+a2+a3+a4+a5＝25，即可得出．【解答】解：令x＝0，可得a0＝﹣1．再令x＝1，可得：a0+a1+a2+a3+a4+a5＝25＝32，∴a1+a2+a3+a4+a5＝32﹣（﹣1）＝33，故答案为：33．【点评】本题考查了二项式定理的应用、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（3分）某校组队参加辩论赛，从5名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为72.（结果用数值表示）【分析】先安排甲担任一、二、三辩中的一个辩手，然后从剩余4人中，安排3人担任其他辩手，再求出不同的安排方法种数．【解答】解：先安排甲，甲可以担任一、二、三辩，共有中，然后从剩余4人中，安排3人，有，共有＝3×24＝72，故答案为：72．【点评】本题主要考查排列组合的应用，特殊元素优先法是解决本题的关键，是基础题．7．（3分）四面体ABCD中，AB＝CD＝2，AC＝AD＝BC＝BD＝4，则异面直线AB与CD的距离为．【分析】分别取AB与CD的中点E，F，连接AE，BE，EF，求出AF＝BF＝，得到EF⊥AB，由CE＝DE，得EF⊥CD，从而EF是异面直线AB，CD的公垂线，由此能求出异面直线AB与CD的距离．【解答】解分别取AB与CD的中点E，F，连接AE，BE，EF，CE，DE，∵四面体ABCD中，AB＝CD＝2，AC＝AD＝BC＝BD＝4，∴AF＝BF＝＝，∴EF⊥AB，由CE＝DE，得EF⊥CD，∴EF是异面直线AB，CD的公垂线，∵EF＝＝，∴异面直线AB与CD的距离为．故答案为：．【点评】本题考查两条异面直线间的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．8．（3分）已知空间向量＝（﹣，，1），＝（﹣，，0），若空间单位向量满足：＝0，则＝±【分析】设＝＝（x，y，z），由＝0，可得＝•＝0，即x+y+z＝0，x+y＝0，令x＝1，解得y，z即可得出．【解答】解：设＝＝（x，y，z），∵＝0，则＝•＝0，∴x+y+z＝0，x+y＝0，令x＝1，则y＝﹣，z＝0．∴＝（1，，0）．∴＝±＝±．故答案为：．±．【点评】本题考查了空间向量、数量积运算性质、单位向量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（3分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长AB＝AA1＝1，AD＝，它的外接球是球O，则A、A1这两点的球面距离等于．【分析】求出球的半径和∠AOA1，根据弧长公式得出答案．【解答】解：A1C＝＝2，∴外接球半径为OA1＝A1C＝1，∴△OAA1为等边三角形，∴∠AOA1＝，∴球A、A1这两点的球面距离为＝．故答案为：．【点评】本题考查了球面距离的计算，属于基础题．10．（3分）过抛物线C：y＝4x2的焦点F，且斜率为的直线交抛物线C于点M（M在x轴的上方），l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为．【分析】设|MN|＝|MF|＝m，∠MFX＝60°，求解m，△NFM为等边三角形，边长为4，转化求解即可．【解答】解：设|MN|＝|MF|＝m，∠MFX＝60°，∠NQM＝30°，|PF|＝2，|QF|＝4，|QM|＝2m，4+m＝2m，解得m＝4，△NFM为等边三角形，边长为4，∴M到直线NF的距离为2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．11．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1则下列四个命题：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的一条直线．其中的真命题是①③④.（请在横线上填上正确命题的序号）【分析】直接利用等体积转换法，线面的夹角，二面角，直线和平面的位置关系判断①②③④的结论．【解答】解：对于①，点P在直线BC1上运动，由于BC1∥平面AD1C，所以BC1上任意的点到平面AD1C的距离相等，所以三棱锥A﹣D1PC的体积不变，故①正确；对于②；点P在直线BC1上运动，直线AB和平面ACD1所成的角和直线AC1与平面ACD1所成的角不相等，故②错误；对于③；点P在直线BC1上运动，AP的轨迹是平面PAD1，二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，故③正确；对于④；点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，故点P的轨迹为一条与直线BC平行的直线，故④正确；故答案为：①③④．【点评】本题考查的知识要点：等体积转换法，线面的夹角，二面角，直线和平面的位置关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．12．（3分）定义域为集合{1，2，3，…，12}上的函数f（x）满足：①f（1）＝1；②|f（x+1）﹣f（x）|＝1（x＝1，2，…，11）；③f（1）、f（6）、f（12）成等比数列；这样的不同函数f（x）的个数为155．【分析】分析出f（x）的所有可能的取值，得到使f（x）中f（1）、f（6）、f（12）成等比数列时对应的项，再运用计数原理求出这样的不同函数f（x）的个数即可．【解答】解：经分析，f（x）的取值的最大值为x，最小值为2﹣x，并且成以2为公差的等差数列，故f（6）的取值为6，4，2，0，﹣2，﹣4．f（12）的取值为12，10，8，6，4，2，0，﹣2，﹣4，﹣6，﹣8，﹣10，所以能使f（x）中的f（1）、f（6）、f（12）成等比数列时，f（1）、f（6）、f（12）的取值只有两种情况：①f（1）＝1、f（6）＝2、f（12）＝4；②f（1）＝1、f（6）＝﹣2、f（12）＝4．|f（x+1）﹣f（x）|＝1（x＝1，2，…，11），f（x+1）＝f（x）+1，或者f（x+1）＝f（x）﹣1，即得到后项时，把前项加1或者把前项减1．（1）当f（1）＝1、f（6）＝2、f（12）＝4时；将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f（1）变化到f（6），第二步：从f（6）变化的f（12）．从f（1）变化到f（6）时有5次变化，函数值从1变化到2，故应从5次中选择3步加1，剩余的两次减1．对应的方法数为＝10种．从f（6）变化到f（12）时有6次变化，函数值从2变化到4，故应从6次变化中选择4次增加1，剩余两次减少1，对应的方法数为＝15种．根据分步乘法原理，共有10×15＝150种方法．（2）当f（1）＝1、f（6）＝﹣2、f（12）＝4时，将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f（1）变化到f（6），第二步：从f（6）变化的f（12）．从f（1）变化到f（6）时有5次变化，函数值从1变化到﹣2，故应从5次中选择1步加1，剩余的4次减1．对应的方法数为＝5种．从f（6）变化到f（12）时有6次变化，函数值从﹣2变化到4，故应从6次变化中选择6次增加1，对应的方法数为＝1种．根据分步乘法原理，共有5×1＝5种方法．综上，满足条件的f（x）共有：150+5＝155种．故填：155．【点评】解决本题的难点在于发现f（x）的取值规律，并找到使f（1）、f（6）、f（12）成等比数列所对应的三项．然后用计数原理计算种类．本题属于难题．二、选择题13．（3分）设α，β是两个不同的平面，b是直线且b⊂β．则“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【分析】根据线面垂直和面面垂直的定义和性质进行判断即可．【解答】解：由线面垂直的定义得若⫋β．则b⊥α时，α⊥β成立，即充分性成立，反之若α⊥β，则b⊥α不一定成立，即必要性不成立，故“b⊥α”是“α⊥β”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直和面面垂直的性质和定义是解决本题的关键．14．（3分）已知方程x2﹣px+1＝0的两虚根为x1、x2，若|x1﹣x2|＝1，则实数p的值为（）A． B． C．， D．，【分析】根据方程x2﹣px+1＝0有两虚根x1、x2，知Δ＜0，写出方程x2﹣px+1＝0的两虚根，由|x1﹣x2|＝1求得实数p的值．【解答】解：方程x2﹣px+1＝0的两虚根为x1、x2，∴Δ＝p2﹣4＜0，解得﹣2＜p＜2，∴方程x2﹣px+1＝0的两虚根为x1、x2，即x1＝，x2＝，∴|x1﹣x2|＝＝1，解得p＝±．故选：A．【点评】本题考查了复数的定义与应用问题，是基础题．15．（3分）下列四个组合数公式：对n，k∈N*，约定0!＝＝1，有（1）（0≤k≤n）；（2）（0≤k≤n）（3）（1≤k≤n）；（4）（0≤k≤n）．其中正确公式的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由题意利用组合数公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对n，k∈N*，约定0!＝＝1，∵根据排列的定义，＝•k!，∴（0≤k≤n），故（1）正确；∵＝，＝，故（2）（0≤k≤n）正确；∵＝•＝，＝，故（3）正确；∵＝，+＝+＝＝，故（4）正确，故选：D．【点评】本题主要考查组合数公式的应用，属于中档题．16．（3分）若曲线|y|＝x+2与C：+＝1恰有两个不同交点，则实数λ取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1] C．（1，+∞） D．[﹣1，0）∪（1，+∞）【分析】画出图形，判断C：+＝1是椭圆或双曲线时，求解实数λ取值范围．【解答】解：如图曲线|y|＝x+2与C：+＝1图形：当C：+＝1为椭圆时，必须满足图形中的红线，此时λ＞1，当C：+＝1为双曲线时，y＝±x为双曲线的渐近线，可得，可得λ≤﹣1．所以则实数λ取值范围为：（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞）．故选：A．【点评】本题考查椭圆与双曲线的综合应用，考查数形结合以及计算能力．三、解答题17．已知圆锥AO的底面半径为2，母线长为2，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是AB的中点，且．（1）求圆锥的全面积；（2）求直线CD与平面AOB所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【分析】（1）由圆锥AO的底面半径为r＝2，母线长为l＝2能求出圆锥的全面积．（2）以O为圆心，OC为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CD与平面AOB所成角．【解答】解：（1）∵圆锥AO的底面半径为r＝2，母线长为l＝2，∴圆锥的全面积S＝πrl+πr2＝+π×22＝（4+4）π．（2）∵圆锥AO的底面半径为2，母线长为2，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是AB的中点，且．∴以O为圆心，OC为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，OA＝＝6，C（2，0，0），A（0，0，6），B（0，2，0），D（0，1，3），＝（2，﹣1，﹣3），平面ABO的法向量＝（1，0，0），设直线CD与平面AOB所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴θ＝arcsin．∴直线CD与平面AOB所成角为arcsin．【点评】本题考查圆锥的全面积的求法，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．在二项式（2x3+）12的展开式中，（1）求该二项展开式中的常数项；（2）求该二项展开式中含x4项的系数；（3）求该二项展开式中二项式系数最大的项．【分析】可求得Tr+1＝212﹣r••x36﹣4r，（1）令36﹣4r＝0，得r＝9，可得二项展开式中的常数项；（2）令36﹣4r＝4，得r＝8，可求得二项展开式中含x4项的系数；（3）n＝12，可知展开式中二项式系数最大的项为中间项第7项，从而可得答案．【解答】解：二项式（2x3+）12的展开式中，其通项Tr+1＝•（2x3）12﹣r•＝212﹣r••x36﹣4r，（1）令36﹣4r＝0，得r＝9，故常数项为T10＝•23＝1760；（2）令36﹣4r＝4，得r＝8，故T9＝•24x4＝×16x4＝7920x4，故该二项展开式中含x4项的系数为7920；（3）二项式（2x3+）12的展开式中二项式系数最大的项为T7＝•26•x12＝59136x12．【点评】本题考查二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于中档题．19．我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，堑堵指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．（1）某堑堵的三视图，如图1，网格中的每个小正方形的边长为1，求该堑堵的体积；（2）在堑堵ABC﹣A1B1C1中，如图2，AC⊥BC，若A1A＝AB＝2，当阳马B﹣AA1C1C的体积最大时，求二面角C﹣A1B﹣C1的大小．【分析】（1）由三视图还原原几何体，再由棱柱体积公式求解；（2）阳马B﹣A1ACC1的体积V＝×A1A×AC×BC＝AC×BC≤（AC2+BC2）＝×AB2＝，当且仅当AC＝BC＝时，，以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解空间角．【解答】解：（1）由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面是等腰直角三角形，直角边长为，直三棱柱的高为2，则其体积为V＝；（2）解：∵A1A＝AB＝2，阳马B﹣A1ACC1的体积：V＝×A1A×AC×BC＝AC×BC≤（AC2+BC2）＝×AB2＝，当且仅当AC＝BC＝时，，以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（0，，2），B（，0，0），C1（0，0，2），∴＝（0，，2），＝（，0，0），＝（0，，0），＝（，0，﹣2），设平面CA1B的法向量＝（x，y，z），则，取y＝，得＝（0，，﹣1），设平面C1A1B的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，得＝（，0，1），设当阳马B﹣A1ACC1体积最大时，二面角C﹣A1B﹣C1的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴当阳马B﹣A1ACC1体积最大时，二面角C﹣A1B﹣C1的大小为arccos．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，考查二面角的余弦值的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20．已知双曲线C：x2﹣y2＝1．（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C的渐近线相切的圆的方程；（2）若经过点P（0，﹣1）的直线与双曲线C的右支交于不同两点M、N，求线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围．【分析】（1）求出右焦点到渐近线的距离，得出圆的方程；（2）设直线MN的方程为y＝kx﹣1，联立方程组消元，根据方程在（1，+∞）上有两解求出k的范围，得出线段MN的中垂线方程，从而得出截距t关于k的函数，得出t的范围．【解答】解：（1）双曲线的右焦点为F2（，0），渐近线方程为：x±y＝0．∴F2到渐近线的距离为＝1，∴圆的方程为（x﹣）2+y2＝1．（2）设经过点P的直线方程为y＝kx﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去y得：（1﹣k