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文档简介
甘肃省靖远二中2022-2023学年高三下学期模拟卷(五)数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知实数,则下列说法正确的是()A. B.C. D.2.如图所示,矩形的对角线相交于点,为的中点,若,则等于().A. B. C. D.3.在四面体中,为正三角形,边长为6,,,,则四面体的体积为()A. B. C.24 D.4.已知空间两不同直线、,两不同平面,,下列命题正确的是()A.若且,则 B.若且,则C.若且,则 D.若不垂直于,且,则不垂直于5.设函数的定义域为,命题:,的否定是()A., B.,C., D.,6.“”是“函数的图象关于直线对称”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.一个四面体所有棱长都是4,四个顶点在同一个球上,则球的表面积为()A. B. C. D.8.如图,已知直线与抛物线相交于A,B两点,且A、B两点在抛物线准线上的投影分别是M,N,若,则的值是()A. B. C. D.9.定义在R上的偶函数满足,且在区间上单调递减,已知是锐角三角形的两个内角,则的大小关系是()A. B.C. D.以上情况均有可能10.若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点,则双曲线的离心率的取值范围是()A. B. C. D.11.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布,从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量ξ服从正态分布,则,.)A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%12.集合的真子集的个数为()A.7 B.8 C.31 D.32二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知全集,,则________.14.如图,椭圆:的离心率为,F是的右焦点,点P是上第一角限内任意一点,,,若,则的取值范围是_______.15.已知椭圆的下顶点为,若直线与椭圆交于不同的两点、,则当_____时,外心的横坐标最大.16.若,则________,________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)为增强学生的法治观念,营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围,某学校开展了“宪法小卫士”活动,并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取50名学生,统计他们的竞赛成绩,已知这50名学生的竞赛成绩均在[50,100]内,并得到如下的频数分布表:分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数51515123(1)将竞赛成绩在内定义为“合格”,竞赛成绩在内定义为“不合格”.请将下面的列联表补充完整,并判断是否有的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关?合格不合格合计高一新生12非高一新生6合计(2)在(1)的前提下,按“竞赛成绩合格与否”进行分层抽样,从这50名学生中抽取5名学生,再从这5名学生中随机抽取2名学生,求这2名学生竞赛成绩都合格的概率.参考公式及数据:,其中.18.(12分)在中,角,,所对的边分别为,,,且.求的值;设的平分线与边交于点,已知,,求的值.19.(12分)设函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若存在,使得不等式对一切恒成立,求实数的取值范围.20.(12分)已知椭圆的左、右顶点分别为、,上、下顶点分别为,,为其右焦点,,且该椭圆的离心率为;(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点作斜率为的直线交椭圆于轴上方的点,交直线于点,直线与椭圆的另一个交点为,直线与直线交于点.若,求取值范围.21.(12分)为提供市民的健身素质,某市把四个篮球馆全部转为免费民用(1)在一次全民健身活动中,四个篮球馆的使用场数如图,用分层抽样的方法从四场馆的使用场数中依次抽取共25场,在中随机取两数,求这两数和的分布列和数学期望;(2)设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为,其相应维修费用为元,根据统计,得到如下表的数据:x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求与的回归直线方程;②叫做篮球馆月惠值,根据①的结论,试估计这四个篮球馆月惠值最大时的值参考数据和公式:,22.(10分)已知,如图,曲线由曲线:和曲线:组成,其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点,点为曲线所在圆锥曲线的焦点.(Ⅰ)若,求曲线的方程;(Ⅱ)如图,作直线平行于曲线的渐近线,交曲线于点,求证:弦的中点必在曲线的另一条渐近线上;(Ⅲ)对于(Ⅰ)中的曲线,若直线过点交曲线于点,求面积的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
利用不等式性质可判断,利用对数函数和指数函数的单调性判断.【详解】解:对于实数,,不成立对于不成立.对于.利用对数函数单调递增性质,即可得出.对于指数函数单调递减性质,因此不成立.故选:.【点睛】利用不等式性质比较大小.要注意不等式性质成立的前提条件.解决此类问题除根据不等式的性质求解外,还经常采用特殊值验证的方法.2、A【解析】
由平面向量基本定理,化简得,所以,即可求解,得到答案.【详解】由平面向量基本定理,化简,所以,即,故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用,其中解答熟记平面向量的基本定理,化简得到是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,数基础题.3、A【解析】
推导出,分别取的中点,连结,则,推导出,从而,进而四面体的体积为,由此能求出结果.【详解】解:在四面体中,为等边三角形,边长为6,,,,,,分别取的中点,连结,则,且,,,,平面,平面,,四面体的体积为:.故答案为:.【点睛】本题考查四面体体积的求法,考查空间中线线,线面,面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力.4、C【解析】因答案A中的直线可以异面或相交,故不正确;答案B中的直线也成立,故不正确;答案C中的直线可以平移到平面中,所以由面面垂直的判定定理可知两平面互相垂直,是正确的;答案D中直线也有可能垂直于直线,故不正确.应选答案C.5、D【解析】
根据命题的否定的定义,全称命题的否定是特称命题求解.【详解】因为:,是全称命题,所以其否定是特称命题,即,.故选:D【点睛】本题主要考查命题的否定,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.6、A【解析】
先求解函数的图象关于直线对称的等价条件,得到,分析即得解.【详解】若函数的图象关于直线对称,则,解得,故“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件.故选:A【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断,考查了学生逻辑推理,概念理解,数学运算的能力,属于基础题.7、A【解析】
将正四面体补成正方体,通过正方体的对角线与球的半径关系,求解即可.【详解】解:如图,将正四面体补形成一个正方体,正四面体的外接球与正方体的外接球相同,∵四面体所有棱长都是4,∴正方体的棱长为,设球的半径为,则,解得,所以,故选:A.【点睛】本题主要考查多面体外接球问题,解决本题的关键在于,巧妙构造正方体,利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线,从而将问题巧妙转化,属于中档题.8、C【解析】
直线恒过定点,由此推导出,由此能求出点的坐标,从而能求出的值.【详解】设抛物线的准线为,直线恒过定点,如图过A、B分别作于M,于N,由,则,点B为AP的中点、连接OB,则,∴,点B的横坐标为,∴点B的坐标为,把代入直线,解得,故选:C.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法,考查抛物线的性质,是中档题,解题时要注意等价转化思想的合理运用,属于中档题.9、B【解析】
由已知可求得函数的周期,根据周期及偶函数的对称性可求在上的单调性,结合三角函数的性质即可比较.【详解】由可得,即函数的周期,因为在区间上单调递减,故函数在区间上单调递减,根据偶函数的对称性可知,在上单调递增,因为,是锐角三角形的两个内角,所以且即,所以即,.故选:.【点睛】本题主要考查函数值的大小比较,根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键.10、C【解析】
求得双曲线的渐近线方程,可得圆心到渐近线的距离,由点到直线的距离公式可得的范围,再由离心率公式计算即可得到所求范围.【详解】双曲线的一条渐近线为,即,由题意知,直线与圆相切或相离,则,解得,因此,双曲线的离心率.故选:C.【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围,注意运用圆心到渐近线的距离不小于半径,考查化简整理的运算能力,属于中档题.11、B【解析】试题分析:由题意故选B.考点:正态分布12、A【解析】
计算,再计算真子集个数得到答案.【详解】,故真子集个数为:.故选:.【点睛】本题考查了集合的真子集个数,意在考查学生的计算能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
利用集合的补集运算即可求解.【详解】由全集,,所以.故答案为:【点睛】本题考查了集合的补集运算,需理解补集的概念,属于基础题.14、【解析】
由于点在椭圆上运动时,与轴的正方向的夹角在变,所以先设,又由,可知,从而可得,而点在椭圆上,所以将点的坐标代入椭圆方程中化简可得结果.【详解】设,,,则,由,得,代入椭圆方程,得,化简得恒成立,由此得,即,故.故答案为:【点睛】此题考查的是利用椭圆中相关两个点的关系求离心率,综合性强,属于难题.15、【解析】
由已知可得、的坐标,求得的垂直平分线方程,联立已知直线方程与椭圆方程,求得的垂直平分线方程,两垂直平分线方程联立求得外心的横坐标,再由导数求最值.【详解】如图,由已知条件可知,不妨设,则外心在的垂直平分线上,即在直线,也就是在直线上,联立,得或,的中点坐标为,则的垂直平分线方程为,把代入上式,得,令,则,由,得(舍)或.当时,,当时,.当时,函数取极大值,亦为最大值.故答案为:.【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用,训练了利用导数求最值,是中等题.16、【解析】
根据诱导公式和二倍角公式计算得到答案.【详解】,故.故答案为:;.【点睛】本题考查了诱导公式和二倍角公式,属于简单题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)【解析】
(1)补充完整的列联表如下:合格不合格合计高一新生121426非高一新生18624合计302050则的观测值,所以有的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关.(2)抽取的5名学生中竞赛成绩合格的有名学生,记为,竞赛成绩不合格的有名学生,记为,从这5名学生中随机抽取2名学生的基本事件有:,共10种,这2名学生竞赛成绩都合格的基本事件有:,共3种,所以这2名学生竞赛成绩都合格的概率为.18、;.【解析】
利用正弦定理化简求值即可;利用两角和差的正弦函数的化简公式,结合正弦定理求出的值.【详解】解:,由正弦定理得:,,,,,又,为三角形内角,故,,则,故,;(2)平分,设,则,,,,则,,又,则在中,由正弦定理:,.【点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式,二倍角公式,考查运算能力,属于基础题.19、(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)时,根据绝对值不等式的定义去掉绝对值,求不等式的解集即可;(Ⅱ)不等式的解集为,等价于,求出在的最小值即可.【详解】(Ⅰ)当时,时,不等式化为,解得,即时,不等式化为,不等式恒成立,即时,不等式化为,解得,即综上所述,不等式的解集为(Ⅱ)不等式的解集为对任意恒成立当时,取得最小值为实数的取值范围是【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题,也考查了函数绝对值三角不等式的应用问题,属于常规题型.20、(Ⅰ);(Ⅱ),.【解析】
(Ⅰ)由题意可得,的坐标,结合椭圆离心率,及隐含条件列式求得,的值,则椭圆方程可求;(Ⅱ)设直线,求得的坐标,再设直线,求出点的坐标,写出的方程,联立与,可求出的坐标,由,可得关于的函数式,由单调性可得取值范围.【详解】(Ⅰ),,,,,由,得,又,,解得:,,.椭圆的标准方程为;(Ⅱ)设直线,则与直线的交点,又,设直线,联立,消可得.解得,,联立,得,,直线,联立,解得,,,,,,,,函数在上单调递增,,.【点睛】本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,考查运算求解能力,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21、(1)见解析,12.5(2)①②20【解析】
(1)运用分层抽样,结合总场次为100,可求得的值,再运用古典概型的概率计算公式可求解果;(2)①由公式可计算的值,进而可求与的回归直线方程;②求出,再对函数
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