人教A版选择性必修第一册第三章第5课时双曲线及其标准方程作业

第5课时双曲线及其标准方程1．双曲线的方程为x2－2y2＝1，那么它的右焦点坐标为(B)A．(eq\f(\r(2),2)，0)B．(eq\f(\r(6),2)，0)C．(eq\f(\r(5),2)，0)D．(eq\r(3)，0)解析：将双曲线的方程化为标准方程为x2－eq\f(y2,\f(1,2))＝1，所以a2＝1，b2＝eq\f(1,2)，所以c2＝a2＋b2＝eq\f(3,2)，所以c＝eq\f(\r(6),2)，故右焦点坐标为(eq\f(\r(6),2)，0)．2．F是双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦点，点A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，那么|PF|＋|PA|的最小值为(A)A．9B．5C．8D．4解析：设右焦点为F′，那么F′(4，0)．依题意，有|PF|＝|PF′|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF′|＋|PA|＋4≥|AF′|＋4＝5＋4＝9(当P在线段AF′上时，取等号)．故|PF|＋|PAA.3．经过点P(－3，2eq\r(7))和Q(－6eq\r(2)，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1.解析：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m＋28n＝1，,72m＋49n＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,75)，,n＝\f(1,25)，))故双曲线的标准方程为eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1.4．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB的长为5，假设2a＝8，那么△ABF2的周长是26.解析：由题得|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，所以|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16.所以|AF2|＋|BF2△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.5．与双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1共焦点的双曲线过点P(－eq\f(\r(5),2)，－eq\r(6))，求该双曲线的标准方程．解析：双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，那么c2＝16＋9＝25，所以c＝5.设所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．依题意知b2＝25－a2，故所求双曲线的方程可写为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,25－a2)＝1.由于点P(－eq\f(\r(5),2)，－eq\r(6))在所求双曲线上，所以eq\f(〔－\f(\r(5),2)〕2,a2)－eq\f(〔－\r(6)〕2,25－a2)＝1，化简得4a4－129a2＋125＝0，解得a2＝1或a2＝eq\f(125,4).当a2＝eq\f(125,4)时，b2＝25－a2＝25－eq\f(125,4)＝－eq\f(25,4)＜0，不合题意，舍去，所以a2＝1，b2＝24，所以所求双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,24)＝1.6．(多项选择)在平面直角坐标系Oxy中，动点P到两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的斜率之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，那么(BC)A．曲线E经过坐标原点B．曲线E关于x轴对称C．曲线E关于y轴对称D．假设点(x，y)在曲线E上，那么－1≤x≤1解析：设P(x，y)，那么kPF1·kPF2＝eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－1)＝eq\f(y2,x2－1)＝8，那么x2－eq\f(y2,8)＝1(y≠0).故轨迹为焦点在x轴上的双曲线去除顶点．曲线E不经过原点，A错误；曲线E关于x轴对称，关于y轴对称，B、C正确；假设点(x，y)在曲线E上，那么x＞1或x<－1，D错误．应选BC.7．(多项选择)A，B两监测点间距离为800米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒，设声速为340米/秒，以下说法正确的选项是(BD)A．爆炸点在以A，B为焦点的椭圆上B．爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上C．假设B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，那么爆炸点到B监测点的距离为eq\f(680,3)米D．假设B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，那么爆炸点到B监测点的距离为680米解析：依题意，A，B两监测点间距离为800米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒．设爆炸点为C，那么|CA|－|CB|＝340×2＝680<800，所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上．所以A选项错误，B选项正确．假设B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，所以eq\f(|CA|2,|CB|2)＝4，即|CA|＝2|CB|，结合|CA|－|CB|＝680可得|CB|＝680.所以C选项错误，D选项正确．应选BD.8．在△ABC中，A(－2eq\r(2)，0)，B(2eq\r(2)，0)，且内角A，B，C满意sinB－sinA＝eq\f(1,2)sinC，那么顶点C的轨迹方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,6)＝1(x＞eq\r(2)).解析：由sinB－sinA＝eq\f(1,2)sinC及正弦定理，可得b－a＝eq\f(c,2)，|CA|－|CB|＝eq\f(1,2)|AB|＝2eq\r(2)<|AB|，由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去右顶点)．由于a＝eq\r(2)，c＝2eq\r(2)，所以b2＝c2－a2＝6，所以顶点C的轨迹方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,6)＝1(x>eq\r(2))．9．双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1的左、右焦点分别为F1，F2.(1)假设点M在双曲线上，且eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，求M点到x轴的距离；(2)假设双曲线C与双曲线有相同焦点，且过点(3eq\r(2)，2)，求双曲线C的方程．解析：(1)如图，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，那么MF1⊥MF2.设|MF1|＝m，|MF2|＝n，由双曲线的定义，知m－n＝2a＝8，①又m2＋n2＝(2c)2＝80，②由①②得m·n＝8，所以eq\f(1,2)mn＝4＝eq\f(1,2)|F1F2|·h，所以h＝eq\f(2\r(5),5).(2)设所求双曲线C的方程为eq\f(x2,16－λ)－eq\f(y2,4＋λ)＝1(－4<λ<16)．由于双曲线C过点(3eq\r(2)，2)，所以eq\f(18,16－λ)－eq\f(4,4＋λ)＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，所以所求双曲线C的方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.10．如图，某野生动物爱护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有三个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30千米．一名野生动物观看员在爱护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早eq\f(40,v0)秒(注：信号每秒传播v0千米)．(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如图)，依据题设条件求观看员全部可能消失的位置的轨迹方程．(2)假设C点监测点信号失灵，现马上以监测点C为圆心进行“圆形〞红外扫描，为保证有救援盼望，扫描半径r至少是多少千米？解析：(1)设观看员可能消失的位置的所在点为P(x，y)．由于A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早eq\f(40,v0)秒，故|PB|－|PA|＝eq\f(40,v0)×v0＝40<|AB|＝60，故点P的坐标满意双曲线的定义．设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(x<0)，由题可知2a＝40，2c＝60，解得b2＝c2－a2＝500，故点P的轨迹方程为eq\f(x2,400)－eq\f(y2,500)＝1(x<0)．(2)设轨迹上一点为P(x，y)，那么|PC|＝eq\r(x2＋〔y－30〕2)＝eq\r(x2＋y2－60y＋900).又由于eq\f(x2,40