概率论与数理统计习题答案

概率论与数理统计习题答案-修订版-复旦大学

概率论与数理统计习题及答案

习题一

1.略.见教材习题参考答案.

2.设A,B,C为三个事件，试用A,B,C的运算关系式表示下列事件：

(1)A发生，B,C都不发生；

(2)A与B发生，C不发生；

(3)A,B,C都发生；

(4)A,B,C至少有一个发生；

(5)A,B,C都不发生；

(6)A,B,C不都发生；

(7)A,B,C至多有2个发生；

(8)A,B,C至少有2个发生.

【解】⑴ABC(2)ABC(3)ABC

(4)AUBUC=ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC=ABC(5)ABC=ABC

(6)ABC(7)ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC=ABC=AUBUC

(8)ABUBCUCA=ABCUABCUABCUABC

3.略.见教材习题参考答案

4.设A,B为随机事件，且P(A)=0.7,P(AB)=0.3,求P(AB).

【解】P(AB)=1P(AB)=1[P(A)P(AB)]

=1[0.70.3]=0.6

5.设A,B是两事件，且P(A)=0.6,P(B)=0.7,求：

(1)在什么条件下P(AB)取到最大值？

(2)在什么条件下P(AB)取到最小值？

【解】(1)当AB=A时，P(AB)取到最大值为0.6.

(2)当AUB=C时，P(AB)取到最小值为0.3.

6.设A,B,C为三事件，且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,

P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件发生的概率.

【解】P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)

=11113++=443124

23.设P()=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5,求P(BIAU)

【解】P(BAB)

P(AB)PA()PAB()P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.70.510.70.60.54

111,,,求将此密码破译出53433.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为

的概率.

【解】设Ai=｛第i人能破译｝(i=l,2,3),则

P(Ai)1P(A1A2A3)1P(A1)P(A2)P(A3)i13

14230.6534

34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是040.5,0.7,若只有一

人

击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都

击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.

【解】设A={飞机被击落},Bi={恰有i人击中飞机},i=0,l,2,3

由全概率公式，得

P(A)P(A|Bi)P(Bi)

i03

=(0.4x0.5x0.3+0.6x0.5x03+0.6x0.5x0.7)0.2+

(O.4xO.5xO.3+O.4xO.5xO.7+O.6xO.5xO.7)O.6+O.4xO.5xO.7

=0.458

习题二

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只，以X表示取出的3

只

球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.

【解】

X3,4,5

P(X3)

P(X4)10.1C3530.3C3

5

C2

4P(X5)30.6C5

2

故所求分布律为

2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样,

以X表示取出的次品个数，求：(1)X的分布律；

(2)X的分布函数并作图；(3)

133

P{XP{1XP{1XP{1X2}.

222

【解】

X0,1,2.

3

C1322

P(X0)3.

C15352C112

2C13

P(X1)3.

C1535

Cll

P(X2)13.3

C1535

(2)当x<O时，F(x)=P(X<x)=0

当0gx&It;l时,F(x)=P(X<x)=P(X=0)=

2235

当lgx<2时，F(x)=P(X<x)=P(X=0)+P(X=l)=当xN2时，F(x)=P(X<x)=1故X

的分布函数

3435

x00,

22

,0x135F(x)

34,1x235l,x2

(3)

3

1122P(X)F(),

2235333434

P(1X)F()F(l)0

223535

3312

P(1X)P(X1)P(1X)

2235

341

P(1X2)F(2)F(l)P(X2)10.

3535

3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的

分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】

设X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.

P(X0)(0.2)30.008

2

P(X1)C130.8(0.2)0.096

P(X2)C(0.8)0.20.384P(X3)(0.8)30.512

2

3

2

x00,

0.008,0x1

F(x)0.104,1x2

0.488,2x3

x31,P(X2)P(X2)P(X3)0.896

4.(1)设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a

k

k!

其中k=0,1,2,,,,心＞0为常数，试确定常数a.

(2)设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a/N,k=l,2,N,

试确定常数a.【解】(1)由分布律的性质知

1P(Xk)a

k0

k0

k

k!

ae

4

故ae

(2)由分布律的性质知

NN

1P(Xk)kIklaaN

即a1.

5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求:

(1)两人投中次数相等的概率；

(2)甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X〜b(3,0.6),Y-b(3,0.7)

(1)P(XY)P(X0,Y0)P(X1,Y1)P(X2,Y2)

P(X3,Y3)

212(0.4)3(03)3Cl

30.6(0.4)C30.7(0.3)+

22C3(0.6)20.4C3(0.7)20.3(0.6)3(0.7)3

0.32076

(2)P(XY)P(X1,Y0)P(X2,Y0)P(X3,Y0)

P(X2,Y1)P(X3,Y1)P(X3,Y2)

23223Cl

30.6(0.4)(03)C3(0.6)0.4(0.3)

22(0.6)3(0.3)3C3(0.6)20.4Cl

30.7(0.3)

2322(0.6)3Cl

30.7(0.3)(0.6)C3(0.7)0.3

=0.243

6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设

各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降

落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？

【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X〜b(200,0.02),设机场需配备N条跑道,

则有

P(XN)0.01

即

利用泊松近似kN1C200k200(0.02)k(0.98)200k0.01

np2000.024.

5

e44k

P(XN)0.01k!kN1

查表得NN9.故机场至少应配备9条跑道.

7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为

0.0001,在某天的该时段p13

4所以P(X4)C5()l

34210.3243

9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时，指示灯发出信号,

(1)进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；

(2)进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.

【解】(1)设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X〜6(5,03)

kP(X3)C5(0.3)k(0.7)5k0.16308

k35

(2)令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y〜b(7,0.3)

kP(Y3)C7(0.3)k(0.7)7k0.35293

k37

10.某公安局在长度为t的时间间隔(2)P(X1)1P(X0)1e,k=0,l,2

5211.设P{X=k}=C2P(1p)

P{Y=m}=C4p(lp)mm4m2k,m=0,l,2,3,4

分别为随机变量X,Y的概率分布，如果已知P{X*}=5,试求P{YN1}.9

6

【解】因为P(X1)54,故P(X1).99

而P(X1)P(X0)(1p)2

4,9

1即p.3故得

(1P)2

从而P(Y1)1P(Y0)1(1p)4650.8024781

12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书

中

恰有5册错误的概率.

【解】令X为2000册书中错误的册数，则X〜b(2000,0.001).利用泊松近似计算，

np20000.0012

e225

0.0018得P(X5)5!

13.进行某种试验，成功的概率为31,失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次

44

数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.

【解】X1,2,,k,

13P(Xk)()k144

P(X2)P(X4)P(X2k)

131313()3()2k1444444

I

3141(1)25

4

14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡

的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保

险公司领取2000元赔偿金.求：

(1)保险公司亏本的概率；

(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.

【解】以“年”为单位来考虑.

(1)在1月1日，保险公司总收入为2500x12=30000元.

设1年中死亡人数为X,则X〜b(2500,0.002),则所求概率为

P(2000X30000)P(X15)1P(X14)

由于n很大，p很小，X=np=5,故用泊松近似，有

7

e55k

P(X15)I0.000069k!14k0

(2)P(保险公司获利不少于10000)

P(300002000X10000)P(X10)10

e55k

0.986305

kOk!

即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上

P(保险公司获利不少于20000)P(300002000X20000)P(X5)

5

e55k

kOk!0.615961

即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%

15.已知随机变量X的密度函数为

f(x)=Ae|x|,co<x<4-oo,

求：⑴A值;(2)P{O<X<l};(3)F(x).

【解】⑴由

fi(x)dx1得

1Ae|x|dx2

OAexdx2A

故A1

2.(2)p(0X1)1

21

Oexdx112(1e)

(3)当x<O时，F(x)xl

2exdx1

2ex

当xK)时，F(x)xl

2e|x|dx01

2xdxxl

02exdx

11x

2e

Ixx0

故F(x)2e,

11

2ex

x0

16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为

100

f(x)=x2,x100,

0,x100.

求：(1)在开始150小时内没有电子管损坏的概率；

(2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率；

8

(3)F(x).

【解】

lOOldx.100x23

28pl[P(X150)]3()3327

41122(2)p2C3()339(1)P(X150)150

(3)当x<100时F(x)=0

当xNlOO时F(x)

x100f(t)dtf(t)dtxlOOxf(t)dtlOOlOOt1100t2x

100,x1001故F(x)xx00,

17.在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在[0,中

任意小区间由题意知X~U[0,a],密度函数为

1,0xaf(x)a其他0,

故当x<O时F(x)=0

当OMx%时F(x)

当x>a时，F(x)=1

即分布函数xf(t)dtf(t)dtOxxOlxtaa

0,xF(x),

a

l,x00xaxa

18.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观

测

值大于3的概率.

【解】X~U[2,5],即

1,2x5f(x)3其他0,

9

P(X3)

故所求概率为5312dx33

2320222IpC3()C3()333327

19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布E().某顾客在窗口

等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到

服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{YN1}.

【解】依题意知X〜E(),即其密度函数为

x15e,x0f(x)50,x01515

该顾客未等到服务而离开的概率为

xl5P(X10)edxe2105

Y~b(5,e2),即其分布律为

kP(Yk)C5(e2)k(le2)5k,k0,1,2,3,4,5

P(Y1)1P(Y0)1(1e)0.516725

20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X

服

从N(40,102)；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N(50,42).

(1)若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？

(2)又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些?

【解】(1)若走第一条路，X〜N(40,102),则

x406040P(X60)P(2)0.977271010

若走第二条路，X〜N(50,42),则

X506050P(X60)P(2.5)0.9938-H-44

故走第二条路乘上火车的把握大些.

(2)若X〜N(40,102),则

X404540P(X45)P(0.5)0.69151010

若X〜N(50,42),则

X504550P(X45)P(1.25)44

10

1(1.25)0.1056

故走第一条路乘上火车的把握大些.

21.设X〜N(3,22),

(1)求P{2<XW5},P{4<X<10},P{IXI>2},P{X>3};

(2)确定c使P{X>c}=P{X<c}.

【解】(1)P(2X5)P23X353222

11(1)(1)122

0.841310.69150.5328

43X3103P(4X10)P222

770.999622

P(|X|2)P(X2)P(X2)

X323X323PP2222

1515

12222

0.691510.99380.6977

P(X3)P(X33-3)1(0)0.522

(2)c=3

22.由某机器生产的螺栓长度(cm)X〜N(10.05,0.062)，规定长度在10.05±0.12内为合格

品，求一螺栓为不合格品的概率.【解】P(|X10.05|0.12)PX10.050.12

0.060.06

1(2)(2)2[1(2)]

0.0456

23.一工厂生产的电子管寿命X(小时)服从正态分布N(160,a2),若要求P{120<X<200}

>0.8,允许。最大不超过多少？【解】

P(120X200)P120160X160200160

11

404040

210.8

故40

1.2931.25

24.设随机变量X分布函数为

F(x)=ABext,x0,

0,x0.(0),

(1)求常数A,B；

(2)求P{XW2},P{X>3}；

(3)求分布密度f(x).

limF(x)1

【解】(1)由x得

xlim0F(x)AIxlim0F(x)B1

(2)P(X2)F(2)1e2

P(X3)1F(3)1(1e3)e3

(3)f(x)F(x)ex,x0

0,x0

25.设随机变量X的概率密度为

0x1,

f(x)=x,

2x,lx2,

0淇他

求X的分布函数F(x),并画出f(x)及F(x).

【解】当x<0时F(x)=0

0<x<l时F(x)xx

f(t)dt0f(t)dt0f(t)dt

xx2

Otdt2

当lgx<2时F(x)x

f(t)dt

Of(t)dt1x

Of(t)dtlf(t)dt

1

Otdtxl(2t)dt

12xx23

222

x2

22x1

当x>2时F(x)

f(t)dt1

x00x1

0,2x,2

故F(x)2

x2x1,21,

1x2x2

26.设随机变量X的密度函数为

(1)f(x)=ae|x|,X>O;

bxOx1,(2)f(x)=,1

1x2,x2,

0,

其他.

试确定常数a,b,并求其分布函数F(x).

【解】⑴由

f(x)dx1知1ae|x|dx2aexd2a

故a

2

即密度函数为f(x)2

ex

,x02

exx0当xgO时F(x)

fi(x)dx

2xdx12

ex当x>O时F(x)

f(x)dx0

2

x

dx

x

2

dx

1

1x

2

e故其分布函数

11x

F(x)2

e,x01

2

ex,x0(2)由1

f(x)dx1bxdx2

IbO

1

x2dx21

2

得b=l

即X的密度函数为

13

0x1x,1f(x)2,1x2

x

其他0,

当x<0时F(x)=0

xOx当0<x<1时F(x)f(x)dxf(x)dxOf{x}dx

x

Odxx2x2

当lgx<2时F(x)x

f(x)dxOOdxIxdxxl0lx2dx

3

21

x

当x>2时F(x)=1

故其分布函数为

0,x0

x2

,0x1

F(x)2

31

,1x2

2x

l,x2

27.求标准正态分布的上分位点，

(1)=0.01,求z;

(2)=0.003,求z,z12.

【解】⑴P(Xz)0.01

即1(z)0.01即(z)0.09故

z2.33

(2)由P(Xz)0.003得

1(z)0.003

即(z)0.997查表得z2.7514

由P(Xz/2)0.0015得

1(z/2)0.0015

即(z/2)0.9985

查表得z/22.96

求Y=X的分布律.

【解】Y可取的值为0,1,4,9

P(Y0)P(X0)

1

5

11761530P(Y1)P(X1)P(X1)1P(Y4)P(X2)5

I1P(Y9)P(X3)30

故Y的分布律为

29.设P{X=k}=(k),k=l,2,,,,令2

1,当X取偶数时Y1,当X取奇数时.

求随机变量X的函数Y的分布律.

【解】P(Y1)P(X2)P(X4)P(X2k)

111()2()4()2k222111()/(1)443

P(Y1)1P(Y1)

30.设X〜N(0,1).

(1)求丫=«*的概率密度；

(2)求Y=2X2+1的概率密度；

(3)求Y=IXI的概率密度.

1523

【解】(1)当yWO时，FY(y)P(Yy)0

当y>O时，FY(y)P(Yy)P(exy)P(XIny)

Iny

fX(x)dx

故

ftiFY(y)lln2y/

Y(y)dyyf(lny)2

x,y0

(2)P(Y2X2I1)1

当ySl时FY(y)P(Yy)0当y>1时FY(y)P(Yy)P(2X21y)

PX2y1P2X

fX(x)dx

故

fHY(y)fdyFY(y)Xf

X

(yD/4,y1

⑶P(Y0)1

当y<0时FY(y)P(Yy)0当y>0时FY(y)P(|X|y)P(yXy)

y

yfX(x)dx故fd

Y(y)dyFY(y)fX(y)fX(

y)

y2

/2,y0

31.设随机变量X~U(0,1),试求：

(1)Y=eX的分布函数及密度函数;

(2)Z=21nx的分布函数及密度函数.

【解】(1)P(0X1)116

故P(1YeXe)1当y1时FY(y)P(Yy)0当l<y<e时

FY(y)P(eXy)P(XIny)

Iny

OdxIny

当yNe时FY(y)P(eXy)1即分布函数

0,y1

F

Y(y)lny,lye

l,ye

故Y的密度函数为

1

Ry)y,iyeY

o淇他

(2)由P(0<X<l)=1知

P(Z0)1

当z<0时，FZ⑵P(Zz)0当z>O时，FZ⑵P(Zz)P(21nXz)

P(lnXz)P(Xez/2

2)

1

ez/2dx1ez/2

即分布函数

F)0,z0Z(zl-e-z/2,z0

故Z的密度函数为

f(z)1

2ez/2,z0

Z

0,z0

32.设随机变量X的密度函数为

fi[x)=2x

兀2,0xn,

0淇他.

17

试求Y=sinX的密度函数.

【解】P(0Y1)1

当ySO时，FY(y)P(Yy)0

当0<y<l时，FY(y)P(Yy)P(sinXy)

P(0Xarcsiny)P(兀arcsinyX兀)

兀2x2xdx0兀27tarcsiny兀2dx

11222arcsiny)1-2兀-arcsiny)im

2arcsinynarcsiny

当心1时,FY(y)1

故Y的密度函数为

20y17tfY(y)0,其他

33.设随机变量X的分布函数如下：

1,F(x)1x2

(2),

试填上⑴，⑵,⑶项.

【解】由limF(x)1知②填1。xx(l)x,(3).

F(x)F(x0)1知x00,故①为0。由右连续性lim+xxO

从而③亦为0。即

l,x0F(x)1x2

x01,

34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律.

【解】设Ai=｛第i枚骰子出现6点｝。(i=l,2),P(Ai)=

抛掷出现6点｝。则1.且A1与A2相互独立。再设C=｛每次6

P(C)P(A1A2)P(A1)P(A2)P(A1)P(A2)

18

111111666636

11故抛掷次数X服从参数为的几何分布。36

35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9?

【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则

X-b(n,0.1)

OnP(X1)1P(X0)ICO

n(0.1)(0.9)0.9

即(0.9)n0.1

得n>22

即随机数字序列至少要有22个数字。

36.已知

0,IF(x)=x,21,x0,10x,21x.2

则F(x)是()随机变量的分布函数.

(A)连续型；(B)离散型；

(C)非连续亦非离散型.

【解】因为F(x)在(oo,+oo)上单调不减右连续，且limF(x)Ox

xlimF(x)1,所以F(x)是一个分布函数。

但是F(x)在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F(x)是非连续亦非离散型随机变

量的分布函数。选(C)

37.设在区间［a,b］上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx,而在［a,b］外，f(x)=O,则区间［a,b］

等于()

(A)［0,7t/2］;(B)［0,7t］;

(C)［7t/2,0］;(D)［0,

【解】在［0,］上sinxNO,且

在［0㈤上

在［3兀］.2兀2n/20sinxdx1.故f(x)是密度函数。nOsinxdx21.故f(x)不是密度函数。

TT,O］±sinx0,故f(x)不是密度函数。2

33在［0,兀］上，当兀x兀时，sinx<O,f(x)也不是密度函数。22

故选(A)。

19

38.设随机变量X〜N(0,c2),问：当。取何值时，X落入区间(1,3)的概率最大？

【解】因为X~N(0,),P(1X3)P(21

3X3)()()令g()1

利用微积分中求极值的方法，有

g()(3

311)()022

9/2221/2221/28/2[13e]0令得024,则

0ln3又g(0)0

故0

X落入区间(1,3)的概率最大。故当

39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P(X),每个顾客购买某种物

品的概率为P，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物

品的人数Y的分布律.em

,m0,1,2,【解】P(Xm)m!

设购买某种物品的人数为Y,在进入商店的人数X=m的条件下，Y〜b(m,p),即

kmkP(Yk|Xm)Ck,k0,1,,mmp(1p)

由全概率公式有

P(Yk)P(Xm)P(Yk|Xm)

mk

20

em

kkCmp(lp)mk

m!mk

e

emkk!(mk)!p(p)k

k!mk(lp)mk[(1p)]mk(mk)!mk

(P)k

(1p)eek!

(P)k

pe,k0,1,2,k!

此题说明：进入商店的人数服从参数为入的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分

布，但参数改变为加.

40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1e2X在区间(0,1)上服从均

匀分布.

【证】X的密度函数为

2e2x,x0fX(x)x00,

由于P(X>0)=1,故0<le2X<l,即P(0<Y<l)=1

当yWO时，FY(y)=0

当yNl时,FY(y)=1

当0<y<l时，FY(y)P(Yy)P(e2x1y)

1P(Xln(ly))2

即Y的密度函数为1ln(ly)202e2xdxy

1,0y1fY(y)0淇他

即Y~U(0,1)

41.设随机变量X的密度函数为

13,0x1,

2f(x尸,3x6,

9其他.0,

若k使得P{XNk}=2/3,求k的取值范围.(2000研考)

【解】由P(X>k)=21知P(X<k)=33

若k<0,P(X<k)=0

21

Ikldx0333

1当k=l时P(X<k)=3

Uki若lWkW3时P(X<k)=dxOdx0313

Uk2211若3<k06,则P(X<k)=dxdxk0339933若0<k<l,P(X<k)=k

若k>6,则P(X<k)=1

故只有当l<k<3时满足P(X>k)=

42.设随机变量X的分布函数为2.3

x1,0,0.4,1x1,F(x)=

0.8,1x3,

x3.1,

求X的概率分布.(1991研考)

【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为

43.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27,

求A在一次试验中出现的概率.

【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设P(A)=p，则X〜b(3,p)

由P(X>1)=

故p=198知P(X=0)=(1p)3=272713

44.若随机变量X在(1,6)上服从均匀分布，则方程y2+Xy+l=0有实根的概率是多少？

【解】

1,1x6f(x)50,其他

P(X240)P(X2)P(X2)P(X2)

45.若随机变量X~N(2,G2),且P{2<X<4}=0.3,则

P{X.【解】0.3P(2X4)P(4522

X2

42

)

22()(0)()0.5

22

故(2

)0.8

X2因此P(X0)P(

202)(2)1()0.2

46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经

调

试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(nN2)台仪

器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求

(1)全部能出厂的概率a；

(2)其中恰好有两台不能出厂的概率供

(3)其中至少有两台不能出厂的概率0.

【解】设人=｛需进一步调试｝,B=｛仪器能出厂｝,则

A=｛能直接出厂｝,AB=｛经调试后能出厂｝

由题意知B=AUAB,且

P(A)0.3,P(B|A)0.8

P(AB)P(A)P(B|A)0.30.80.24

P(B)P(A)P(AB)0.70.240.94

令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X〜6(n,0.94),

故

P(Xn)(0.94)n

n2P(Xn2)C2(0.06)2n(0.94)

P(Xn2)1P(Xn1)P(Xn)

1n(0.94)n10.06(0.94)n

47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为

72

分，96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.

【解】设X为考生的外语成绩，则X~N(72,c2)

24X7296720.023P(X96)P1()

故(

查表知

从而X-N(72,12)

故P(60X84)P224)0.977242,即o=126072X728472

121212

23

(1)(1)2(1)1

0.682

48.在电源电压不超过200V、200V〜240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的

概

率分别为0.1,0.001和0.2(假设电源电压X服从正态分布N(220,252)).试求：

(1)该电子元件损坏的概率a;

(2)该电子元件损坏时，电源电压在200〜240V的概率。

【解】设Al=｛电压不超过200V｝,A2=｛电压在200〜240V｝,

A3=｛电压超过240V｝,B=｛元件损坏｝。

由X〜N(220,252)知

P(A1)P(X200)

X220200220P2525

(0.8)1(0.8)0.212

P(A2)P(200X240)

200220X220240220P

252525

(0.8)(0.8)0.576

P(A3)P(X240)10.2120.5760.212

由全概率公式有

P(B)P(Ai)P(B|Ai)0.0642

i13

由贝叶斯公式有

P(A2|B)P(A2)P(B|A2)0.009P(B)

49.设随机变量X在区间(1,2)上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y).

【解】fX(x)1,1x20淇他

因为P(l<X⁢2)=1,故P(e2<Y<e4)=1

当y<e2时FY(y)=P(Y<y)=0.

当e2<y<e4时，FY(y)P(Yy)P(e

P(1X

1lny2

12Xy)liny)2

dxliny1224

当yNe4时，FY(y)P(Yy)1

0,ye2

1即F24Y(y)21nyl,eye

l,ye4

故f1,e2ye4

Y(y)2y

0,其他

50.设随机变量X的密度函数为

f(x)=ex,x0,

X0,x0.

求随机变量Y=eX的密度函数fY(y).

【解】P(Y>1)=1

当y<l时，FY(y)P(Yy)0当y>l时，FY(y)P(Yy)P(eXy)P(XIny)

Inyx

Oedx1ly

即F11

y,y>i

Y(y)

O,y1

1

故f)y2,y>l

Y(y

O,y1

51.设随机变量X的密度函数为

fl

X(x)=7t(1x2),

求Y=1x的密度函数fY(y).

【解】FY(y)P(Yy)P(ly)P(X(1y)3)(1995研考)

25

1Idxx(ly)37t(1X2)TI

(1y)3

1兀3arctg(1y)n2

3(1y)2

故fY(y)Til(1y)6

52.假设一大型设备在任何长为t的时间FT(t)t00,

即间隔时间T服从参数为X的指数分布。

e16

8(2)QP(T16|T8)P(T16)/P(T8)8ee

53.设随机变量X的绝对值不大于1,P{X=1}=1/8,P{X=l}=l/4.在事件{l<X<l}

出现的条

件下，*在{1,1}(1997研考)

【解】显然当x<1时F(x)=0；而近1时F(x)=l由题知P(1X1)1115

848

x12当l&[t;x<l时，P(Xx|1X1)

此时F(x)P(Xx)

P(X,1XI)P(Xx,X1)P(Xx,X1)

P(Xx,1X1)P(Xx,x1)

P(Xx|1X1)P(1X1)P(X1)

X15151(x1)288168

18当乂=1时，F(x)P(Xx)P(X1)

故X的分布函数

26

x10,

51

F(x)(x1),-1x<l

816

x11,

54.设随机变量X服从正态分N(gl,ol2),Y服从正态分布N(p2,o22),且

P||X-nl|<l}>P{|Y-g2|<l}，试比较Q1与。2的大小.

(2006研考)解：依题意

X1

1

N(0,l),

Y2

2

N(0,l),贝lj

P{X11}P{

X1

1

Y2

1

P{Y21}P{

因为PX11}PY21},即

2

2

P{

X1

1

1

}P{

Y1

2

1

2

｝，

所以有

1

1

2

，即12.

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数

出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的

只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.27

3.设二维随机变量（X,Y）的联合分布函数为

TUTsinxsiny,0x,0yF(x，y)=22

其他.0,

求二维随机变量(X,Y)在长方形域0x

【解】如图P{0Xm,y467r内的概率.37nnt,Y}公式(3.2)463

兀兀皿虫,)F(,)F(0,)F(0,)434636

TtmtrnmsinsinsinsinsinOsinsinOsin4346361).

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。

4.设随机变量(X,Y)的分布密度

Ae(3x4y),x0,y0,f(x,y)=其他.0,

求：(1)常数A；

(2)随机变量(X,Y)的分布函数；

(3)P{O<X<l,0<Y<2}.

28

【解】(1)由

f(x,y)dxdy00Ae-(3x4y)dxdyA12l得A=12

(2)由定义，有

F(x,y)yx

f(u,v)dudv

yy(3u4v)dudv(1e3x

0012e)(1e4y)y0,x0,

0,0淇他

⑶P{0X1,0Y2}

P)0X1,0Y2}1)

02(3x4y012edxdy(1e3)(1e8)0.9499.

5.设随机变量(X,Y)的概率密度为

f(x,y)=k(6xy),0x2,2y4,

0,其他.

(1)确定常数k；

(2)求P{X<1,Y<3}；

(3)求P{X<1.5}；

(4)求P(X+Y<4}.

【解】(1)由性质有

4f(x,y)dxdy202k(6xy)dydx8k1,故R

(2)P{X1,Y3}13

f(x,y)dydx

131

028k(6xy)dydx3

8(3)P(X1.5}f(x,y)dxdy如图a

x1.5f(x,y)dxdyDI

1.541

Odx28(6xy)dy27

32.(4)P{XY4}f(x,y)dxdy如图b

XY4f(x,y)dxdyD2

24xl

Odx28(6xy)dy2

3.

29

题5图

6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在