第四篇波动与光学教学课件

第四篇波动

与光学

振动

物理量在某一定值附近来回变化

---振动。

机械振动:力学量的振动；电磁震

荡：电磁学量的振动。

振动的传播过程伴随着能量的流

动。

机械波:机械振动在介质中的传

播;电磁波:电磁场的传播。

光

属于电磁波,真空波长约在

0.77pm-0.35pm间。

独特之处:引起人的视觉，实用性

强。

教学内容（共六章,约28学时）

机械振动和机械波（第十四、十五

章，

电磁震荡和电磁波（第十六章），

光波:光的干涉（十七章）、光的衍

射（十八章）、光的偏振（十九章）。

第十

振动

教学目标

*掌握描述简谐振动各物理量及相

互关系。

*掌握旋转矢量法，并分析有关问

题。

*掌握谐振动基本特征，弹簧振子

微分方程，一维谐振动运动方程。

*理解同方向、同频率谐振动合成

规律。

教学内容（6学时）

§14-1简谐振动的描述

§14-2简谐振动的动力学

§14-3阻尼振动*

§14-4受迫振动共振*

§14-5同方向同频率的简谐振动

的合成

§14-6同方向不同频率的简谐振

动的合成*

§14-7谐振分析*

重占

简谐振动的描述及特征,谐振方

程、谐振曲线、旋转矢量。

作业

14-03）、14-06）、

14-08）>14T1）、

14-13）、14-18）、

14-22）、14-24）>

14-26）、14-32）、

14-38）O

§14-1简谐振

动的描述

-简谐振动的描述

（例如：弹簧振子的无阻

尼振动就是简谐振动）

'、1'•

——

II、

x=0'、

物体对于平衡位置的位移X按余弦函

数规律随之变化的振动—简谐振动。

1.谐振方程

*谐振方程(简谐振动的数学表

达式—运动方程)：

x=Acos(cot+0)

(14-D

其中：A.G和。为常量

——特征量_

A-----振幅；

_d①

①二兀-----角频率；9-----初相；

①=cot+cp相

位(14-2)

*相位变化△①：

从必到相位从

t29

①1=由1+0变到。2="2+9,相位变

化为：

△①=。△方

*振动周期T：

当/°=2"时(一次全振动),

有2%=，得：

_2九

T

CD

*振动频率叱：

1

v=——

T及

CD

2兀

有

2"

CD—271V=

(14-3)

*进一步记作:

=coAt-

(14-4)

x=Acos（cot+（p）=Acos（2jivt+（p）~

（14-5）

*单位（SI制）：

T—s9—Hz（或s

i）,①一rad/s（或s-1）

2.谐振曲线（按（14-5）描图——

谐振曲线）

要点:特征量A、°、°;

特殊相位（久士»/2、

±万、±37r/2、2万）

3.矢量图示法

*旋转矢量：作矢量Z绕。以匀角

速,沿逆时针旋转，端点画出一参考

困

设t=0时，2与x轴夹角为。,

任意方时为0=初+。，

矢量端点〃在0X轴上投影点户的

运动规律：

x=Acos(4＞方+⑶

——它就是谐振子在

0X方向上的简谐振动规律。

结论：可以用旋转矢量A的端点在0X

轴上的投影点P的运动来摸拟一个在

ox轴上的简谐运动。

*模拟内容如下：

矢量长度一振动振幅；

矢量角位置一振动相位，

矢量初角一振动初相位，

矢量角位移一振动相位变

化；

矢量角速度一振动的角频

率；

矢量旋转周期和频率一一振

动的周期和频率。

例14-1一质点沿工轴作简谐振动,

振幅为A,周期为7,

(1)当时，质点对平衡

位置的位移x0=A/2,

质点向x轴正向方运

动，求：质点振动的初相；

（2）质点从x=O处运动到

x=A/2处，求：最少需要多少时间？

解（1）当，=0时，即=42,旋转

矢量与x轴夹角为（p=n/3或（p--n/3O

若（P=n/3,不合题意；

若（P=・九/3,合题意（矢量端点

投影向“正方向运动）。

故质点振动的初相为（P=力/3。

（2）质点x=0处到x=A/2处过

程，不是匀速运动。

而在图（b）（x=0到x=A/2）,旋转

矢量从◎=-Till到0=-n/3处，转过n/6Q

匀角速转动，转动一周是T,锹n/6

时间为7772,就是所求的最短时间。

例14.2一质点作简谐振动的振动曲

线如图，求：质点的振动方程。

x=Acos（®+0）

（从图中找出特征量

A、。、。）

*振幅：A=2cm

*相位改变：

在时，Xo=A/2、质点速度（曲线

斜率）为负值，可知初相为0=江/3。

在，=2s时，XQ=A/2,质点速度为正值,

相位应为①=5n/3

（注意：不取0=

F/3)

从t=0至！]t=2s,(p=n/3变至1]

①=5n/3,At=2s,

相位改变为：4①=%/3

*角频率：

co=A①/At=2n/3

*振动方程：

_/2TC71.

X—2COS（-----tH-------）/、

33（c加

二同频率的简谐振动的相位差

设有下列两个同频率简谐振动:

巧=A{COS(69t+(P\)

()

x2=A2COS69Z+02

相位差为：

A0=(cot+cp2)-(cot+cp1)=cp2一(p[

(14-6)

例如:町=A]coscot

x2=A2COS(cot+〃/2)=A2COSco(t+T14,

(1)从谐振方程分析

相位上：”2超前巧振动

n/2,

时间上：”2超前巧振动

T/4。

可见：傩A①=n/2,/相位比占大

n12,修须7/4后到达叼的现状。

(2)从谐振曲线分析

在t=0时，/振动的相位为0,

，2振动的相位为n/2,

在方="时，/振动的相位为

冗/2,&振动的相位为几。

（、2振动超前《振动

冗/2,^T/4）

（3）从矢量图分析

（作出方=0时两振动的矢量图，

为简单起见，设A1=A2）

其中：4——七对应的旋转矢量,

也工2对应的旋转矢量。

夹角代表相位差,相位差不

随时间改变。

可见：上振动相位始终比修振动

相位超前)/2。

(可说：毛振动超前打振

动3兀/2)

约定：I,窗值限定在式以内，

A<P=0(2k7T,k=l,2,3..)---------

同相，八①=兀(k兀,k=l,3,5.....)------

反相。

三简谐振动的速度和加速度

*简谐振动质点的速度：

dx

V=——=—coAsin{cot+⑼

dt

=694COS(69r+0+—)

(14-7)

*简谐振动质点的加速度:

d2x

CL————co2Acos{cot+0)

dt2

=CD2ACOS(69?+0+4)

(14-8)

可以看出：

d?X2

CL=-------=—COJC

*亡义：简谐振动X的速度0、加速

度3是简谐振动，且频率相同，

振幅分别为A、Vmax~3力和^max~

CO2A；相位依次超前M2。

例14.3—质点沿“轴作简谐振动，

振幅4=0.12m,周期T=2s,

当£=0时，质点对平衡位置的

位移x0=0.06m,质点向B正向

运动。

求：（1）简谐振动的运动方程;

（2）当8774时,质点的

位移、速度、加速度；

解：（1）取平衡位置为坐标原点，设

位移表达式为：

X=Acos{cot+0）

其中：A=0.12（m）,

-1

CD=2/r/T=7T（S）,

下面用矢量求初相夕）

（。）

由初始条件"=0时M=0.06m=

A/2,质点向％正向运动，

可画出旋转矢量的初始位置，从

而得出0=_%/3。

于是运动方程为：

x=0.12COS(TZZ———)

（2）速度为:

v=—CDAsin("+⑼=—0.12%sin(R---)

加速度为：

27

a——coAcos(m+0)=—0.12〃cos(R

将％=T/4=0.5s代入，得：

位移为：x=

0.104m

速度为：

v=—0.188m/s

加速度为：

a=—l.O3m/s

§14-2简谐振动

的动力学

-简谐振动的微分方程

按简谐振动(14-8)式

Cl?X

.=---子=—CD2x

di?，改写为:

d?x

df2+CD2JV=O

(14-9)

(二阶线性齐次微分方程，称为谐

振微分方程)

方程解为：

X=ACOS(69?+0)

其中：A>(p-

-------------积分常量。

讨论：

*满足谐振微分方程(14-9)的物理量

是谐振量，运动是简谐振动.

(谐振的充分必要

条件)

*X可能是：速度、加速度，角位移、

角速度，电流、电压、

电场强度和磁感应强度

等。

二简谐振动的动力学特征

1.若质点所受合外力是正比回复力

F=—kx,则质点运动是简谐振动（充要

条件）

如果一个质点沿x方向运动，它受

到的合外力为正比回复力，即

F=—kx

则由牛顿第二定律，可得：

2

dx7

m———=-kx

dt2

或：

a?xk八

——▽H----JC=O

dtm

co二

固有角频率:m

(14-10)

固有周期：

7—2—2%E

①一2丑女(14-11)

2.若刚体所受的合外力矩是正比回

复力矩：

M=—ke

(14-12)

刚体的转动是简谐振动。

由转动定律可得:

d2O

=—k3

dt2

令

(14-13)

有：

dt2

谐振微分方程

(表示：刚体对于平衡位置的

角位移。是一个谐振量)

即：

0=0cos(cot+cp)(@表示角

位移的振幅)

固有角频率：

(14-14)

固有周期：

(14-15)

下面考虑几个具体的简谐振动

实例

*自由振动的水平弹簧振子

x『A」

、1

I-N/WWW,旃------?

4x=6

>、

由胡克定律，物体受弹性力为:

F=—kx

-简谐振动（左表示劲度系数）

固有角频率为

k

co=

m

固有周期为

27rm

-=27r

coVk

*竖直悬挂的弹簧振子（还受另一

个恒力的作用）：

则小球受合力为：

F-mg-kx

平衡点X=%0:

mg=kxo

代入得:

F=kx0-kx=-k(x

设立。V轴，工二次一M),

得：

F=—kx'简谐振动

振动周期是：

*单摆

摆球所受力矩

M=—mglsinO

对微振

M=—mgl3=—k3

其中：k=mgl《单摆的微振是简

谐振动）

周期

T2万c7

T=---=271\一

口V

（1447）

*稳定平衡位置附近的微小振动

不仅是单摆，所有在稳定平衡位置附

近的微小振动都可看作简谐振动。

（可通过泰勒级数展

开严格地证明，参考有关教材）

图(a)：正比回复力的F~x曲线

图(b)：一般的回复力的尸r曲线

*综述：

如果知道一个物体受正比回复力(矩)

的作用，则物体运动是简谐振动。

特征量：固有角频率/由系统的力学性

质决定，

振幅Z和初相°可由初始条

件确定。

例如：弹簧振子

若知道i=0时振子的位移与和速度为

的值，代入得：

/二一Acos°,

v0=-coAsin(p

可解得:

(14-19)

v

cp=arctan(-------o---)

coxQ

(14-20)

注意:可用简谐振动矢量图来判

定/所在的象限问题。

例14.4一个弹簧振子沿x轴作简谐

振动，

已知弹簧的劲度系数为

k=15.0N/m,物体质量为

m=O.lkgy

在i=0时物体位移

=0.05m,速度

v0=-0.82m/so

写出此简谐振动的表达式。

解：需知道三个特征量4。和血

角频率G由（14-L0）式可得

YW”）

力和。由初始条件决定，

由（14-由）式

A=L+工==8.38x10-2（

\co2\12.22

由（14-20）式

(P=arctan(—=arctan(——-°-82-)=

cox.12.2x0.05

由%Q=Acos^=O.O5m>0,取

cp-0.93(rad)

因此

x=8.38X10~2cos(12.2t+0.93)

m

例14.5—匀质细杆的长度为7,质

量为处可绕其一端的轴0

在铅垂面内自

由转动，见图。求：杆作微

小振动时的周期。

O

解：细杆所受合外力矩即重力矩。

在细杆偏离平衡位置。角时（逆

时针方向为正），杆受重力矩为：

M=—mg・《sin0

对于微振，。很小，sin0=09

所以:

1

M=——mglO=—kO

,17

其中k=-mgl

(1)(杆的振动为简谐振动)

转动惯量为：

J=­ml2

3

(2)

按(14T7)式，周期为：

T=—

(3)

把⑴、(2)式带入⑶式,得:

加f2r

------二171\—

mgl/2\3g

三简谐振动的能量

以弹簧振子为例

F=-kx(k-----劲度系数)

由(14-1)式和(14-7)式，可得:

11

E=—kx9=—kA9cos9(cot+cp)

P22

(14-21)

E=—mv2=—mco2A2sin2{cot+9)

k22

(14-22)

由(14-LO)式得：

CD2———k

m

改写：

22

Ek=—kAsin{cot+cp}

(14-23)

因此，机械能为：

1

E=Ek+Ep=—kA29

(14-24)

改写：

11

222

Ep=—MCOS(69Z+^)=—M[1+COS2(

11

222

Ek=—Msin(69f+^7)=—M[1-COS2(

4"

（下面画出。=0的Ep,Ek图）

后1

可见

(1)弹簧振子的机械能不随时间改

变，即能量守恒。

(孤立系统，在振动过程中没有

外力对它做功)

(2)简谐振动的弹簧振子的动能和

势能也在简谐振动，有：

*平衡点为，能量

E12

振幅为了二了77必t，

*动能、势能谐振频率均为

位移振动频率的两倍，

*振动相位相反，机械能守

恒。

一(3)动能、势能在一个位移周期内

的平均值

%=11—mo^A1sin2{cot)dt=一加①2AL

7'22

二—mo)2A2=—E

42

2»dO

(T--0-okdt=——)

coco

——11

E=-KA2=-E

同理:P42

可见在一个位移周期内，谐振动平均

动能等于平均势能。在前面讲能量均

分医理时用到了这个结论。

实际：任何一个简谐振动物体，受到合

外力为正比回复力尸=一丘，都相当于

一个弹簧振子。不同是，A值不

是劲度系数，而是由系统力学性质决定

的常数。

例14.5弹簧振子的劲度系数为k,jm

为m,可沿”轴作简谐振动,

刚开始时

振子静止在平衡点O。用恒定

的外力方外=履沿”轴正方向

拉动振子到

x=a处放手，其中a为一正常

量。以放手时作为时间零点，

求：振子的运动方程。

解：需要确定三个特征量A、。和

0。

*角频率取决于弹簧振子的自身

的性质：。=行

*按功能原理，弹簧振子的能量等

于外力作的功，故有：

22

E=—kA=F^CL—kci

可解得：

A=42a

*放手时振子位移x=a=A/也,且

速度为正，由旋转矢量图判断初相为：

71

（D---4

*运动方程为：

7T

—~4

§14-3阻尼振动（仅供

了解）

阻尼振动:受阻力的作用的实际振动

系统。

实际振动系统要不断地克服阻力做功，

能量将不断衰减，最终静止下来。

例：单摆在空气中振动，

单摆是在水中振动，.......

振动的形式和阻尼的大小有密切

关系。

由实验得阻力与速度7有下述

关系：

工dx

Jr=

dt

(14-25)

式中：脑阻力系数，由物体形状、大

小、表面及介质性质决定。

按牛二定律可得微分方程：

axdx

m———=—kx—y——

didt

(14-26)

令：

2_k

4>0=——2自=匕

m9m

(①。为无阻尼时系统振动的固有

角频率，户称为阻尼因子)

代入得：

2

dx>cdx,八2

+2B——+6<9QX=0

力2dt

(14-27)

在阻尼作用较小(即分＜口。)时,

此方程解为：

x=Aoe~^cos(。方+

(14-28)

其中：①二扁一伊

(14-29)

而Ao和。0是积分常数，令:

(14-30)

—阻尼振动的振幅因

子(A(t)按指数规律衰减)

于是，(14-29)式记作

x=A(t)cos(cot+(pQ)

(14-31)

(阻尼振动不是简谐振动，也不是严格

周期运动，但有往复性，称为准周期振

动)

阻尼振动的周期：

1=—2424

CD

J汨一

(14-32)

X

（阻尼振动的周期比系统的固有周期要

长。若阻尼很小，阻尼振动周期接近

于

无阻尼振动周期；阻尼越大，振动周

期越长。）

*欠阻尼振动（曲线a）——

A=A）e一斤

*过阻尼振动3＞外,曲线b）—

一不是周期运动

*临界阻尼振动（夕=g,曲线。）一

一非周期性运动回到静止状态时间最短

§14-4受迫振动共振

（仅供了解）

一・受迫振动

在周期性的外力—驱动力作用下的

振动（补充能量）。

设驱动力是简谐力：

F—FQCOSa）t

（14-33）

dx

同时受弹性力-壮和阻力—7区作

用，按牛二定律，受迫振动微分方程是:

7dx尸d2x

-kx-v----Frcoscot-m——

dtn°dt2

两边除以力并令°一加，"一；；以及

m,则改写成:

d2x^dx2

+2尸----F①QX=hcoscot

dt2dt

(14-34)

微分方程解为

x=A。""cos(J。：-/32t+Oo)+Acos(

(14-35)

表明：

#受迫振动可以看成是由两个

振动合成的。

_#受迫振动达到稳定状态(等

幅振动)：

x=Acos(m+cp)

(14-36)

(注：振动的角频率。

是驱动力的角频率)

_可以证明，稳态的受迫振动的

振幅为：

[(标—苏)2+44202]1/2

(14-37)

振动与驱动力的相差为：

_2/3CD

(P=arctan----------—

(14-38)

可知：

#稳态受迫振动的振幅与驱动力

频率有关。

#当驱动力频率为某特定值时，

振幅达将到极大值(求极值)。

驱动力的角频率G为：

叫二d-2/?2

(14-39)

振幅最大振幅为：

h

(共振)(14-40)

受迫振动的振幅曲线

二.共振

受迫振动的振幅达到最大值

的现象。

#共振现象

电磁共振（调谐）用于收音机

选台；

声学共振（共鸣）用于乐器利

用加强音响效果；

核磁共振用于进行物质结构研

究及医疗诊断等等。

下面三节：振动的合成

运动叠加原理

（例如：当两列声波同时传到空间

某点，该优质点运动是两振动的合

成）

*同方向同频率的简谐振动的合

成（合振动是简谱振动）；

*同方向不同频率的简谐振动的

合成（合振动不是简谐振动）；

*谐振分析（非简谐振动由简谐携

动合成）——傅里叶分析：

复杂周期性振动-傅里叶级数

（每一项级数表示一个简谐振动）

任意非周期性振动一傅里叶积

分（分解为许多简谐振动）。

§14-5同方向同频率

的简谐振动的合成

设两个振动为：

a=&COS（d9Z+%）

十%

X2=A2COS（5）

合振动的位移为：

%/+%2

O)

旋转矢量4,4的合矢量4A的端

+x

点投影坐标即：X=X12

合矢量A以◎匀速旋转,合振动也是简

谐振动。

x=Acos((vt+，

讨论

(D合振动振幅：

A=不A；+A；+2A4cosA①

（A①A）

#如果两个分振动同相，

AQ=IkTi,k=0,±1,±2,…,有：

A=1A：++2AlA2=4+A2

振动相互加强。

#如果两个分振动反相，

A①=（2k+1）»,[二0,±1,±2,…,有：

2=|A-A|

A=A/A1+AJ-241A22

振动相互减弱。

（若有4=&,4=0,质点静止）

#一般情况，△中可取任意值，合振

幅值则在A1+A2和IA1AI之间。

（2）合振动初相

tan①二Asin/+&sin%

A]COS（P\+A2COS02

®角的象限可由矢量图判定）

例14.6

有一个质点参与两个简谐振动,其中第

一个分振动为

X]=0.3coscot,

合振动为％=0・4s%m,求：第二个

分振动。

解：把合振动改写为

71

X—0.4cos（691-----）

2,t=0时的矢

量图见上图。

直角三角形。尸。“勾三股四弦

五”，于是：A2=0.5

初相位：

%二—90°—37°=—127°

故第二个分振动为：

x2=0.5cos（o1—127°）

例14.7

求简谐振动的合振动

4,

k7i、

x=>acos（z血d------）

-4

k=09

（2=0时合成矢量图见图）

解：5个同方向、同频率的简谐振动

的合振动。

从图中可以看出：

合振动的振幅为：

4=(1+扬。

_71

合振动的初相为：①]

故合振动为：

X=(1+cos(cot+])

§14-6同方向不同频率的简谐振动

合成（仅供了解）

两个分振动（角频率为％和处,

振幅都是a）：

cos（（z>/+）

xx—a

+0）

x2=acos（co2t

（14-41）

由和差化积公式可得：

x-xx^x2-acos(卯+9])+acos(02f+

八/必—(00。一0］、/CD)+6

=2acos(^L}t+■力cos(^

222

(14-42)

(无明显的周期性)

*特殊情况

当两个分振动的频率比较大且很接

近，合振动将现明显的周期性。

设公2各大于必,

。2一«。2+,

把第一个因子(低频振动因子)记作：

A«)=2acos产例/-+

(14-43)

02+%

令中二2，(14-45)式改写为:

A/、/CO^+CDy

x=A(r)cos(—―-t+(p

表示：

合振动是准周期振动，振动的振幅因子

44）随时间缓慢变化，角频率是

CD2+E

2°

一।!1!

*拍

（频率相差很小的两个同方向振动

合成产生的忽强忽弱的现象）

拍频：单位时间内振动加强或减弱

的次数。

振幅因子的角频率与两个分振动的

角频率的关系为：

2

两边除以2犯得振幅因子的频率:

/="2一匕

2

考虑到准周期振动的振幅是振幅因

子的绝对值（余弦振动），

振幅振动的频率应为振幅因子频率

的两倍，即拍频为:

V=V2-%（14-44）

（两分振动频率之差）

图14-22拍

形成的矢量图

当4和4的方向相同时，合矢

量最大，

当4和4的方向相反时，合矢

量为零。

可见：

若两个振动的振幅不相等，但拍现象

依然会出现，

只是合矢量最小时不是零，而是

也-闻，节拍将表现得不清晰。

§14-7谐振分析（仅供

了解）

1.谐振分析

理论证明：任何复杂的周期性振动

都可分解为一系列简谐振动之和，

2.傅里叶分析

*傅后里叶级数

一个周期为T的函数尸⑺可以分解

为一个级数，每一项表示一个简谐振动;

08

/⑺=寸+cos(k①t+%)]

,Zk=iIX

其中：CD=2TT/T（各分振动振

幅4与初相的可据/⑺求出）。

基频是原来的周期函数尸⑺的频率。

其它分振动频率是基频的整数倍，称

为谐频。

*傅唇里叶积分

任意一种非周期性振动也可以分解

为许多简谐振动（周期为8,不再介

绍。

<C)<d>

图

14-23振动的频谱

(a)锯齿波；(b)锯齿波

的频谱

(c)阻尼振动；(d)阻尼

振动的频谱

周期性振动所包含的频率是分立

的，频谱是线状谱(如图(a),(b)),

非周期性振动包含的频率是连续

的，频谱是连续谱(如图(c),(d))o

3.频谱分析的应用

对实际振动进行频谱分析，掌握

它各种频率成分的强度分布，

可在任何条件下通过合成来模拟

或重现这种运动，

也可对某些频率进行抑制或放

大，来改造这种运动。

这些科学方法在科学研究和工程

技术中已有广泛的应用。

内容

提要

1简谐振动的描述

⑴谐振方程：

x=Acos（。/+0）

振动相位：0

特征量：角频率0