概率论与数理统计汇总

概率论与数——新课堂成果：目前已经在开学初期的补实验过两次。第二次面向全校招生的61位同学，2/3的同学都顺：张同学：第二工业大学 （试卷编号 2012-2013： 学号 班级 成绩将一米的尺子折成3段观察3段的长度该随机试验的样本空间 3名男生5名，按一定次序随机的选派上场参加对抗比赛，问先后选择了1名、1名男生，然后又是1名的顺序的概率为 X1X2,...,Xn相互独立X1,X2,...,Xnp的两点分布（又0-1分布n，Xi服从的分布 (请用简洁的符号写出分布名称及具体参 ，设X1,X2,X3相互独立， U(0,2)均匀分布,X e(3)指数分布,X P(1/3)泊松分布，DX1X2X3 X1，X2，X3，...........,Xn来自于总体N,9，X为样本均值，S2为样本方差，则关于参数的 4AC10.61 B0.61 10.4 D10.64下列各函数中可以作为某个随量的分布函数的是 ,x 0,x （A）F(x)1 （B）F(x) x2（C）F(x)1 （D）F(x)cos 0.9, x 2从总体X~N(,2)中抽取简单随机样本X,1X,......,Xn以下结论错误的是 21 1 nnXi服从N nn

Xi服从N n n（C）12

(X 2服从2(n （D）1 X

2服从2( 量X服从正态分布N(1,2)，其分布函数为F(x)，则对任意实数x，有 （A）F(x)F(x) （B）F(x1)F(x1) （A） （B）X1X1X1X2X

21X

1X1 4X 2设测量误差 N(0,102)，先后进行100次独立测量，试15分。提示：所需查表见最后一页。）设随量X,Y相互独立，若X服从U(0,1)，Y服从e(1)试求：（1）X,Y)的联合密度若已知X,Y)

f(x,y)3x,0x1,0y X1，X2，X3，,X10为取X的样本X为样本S2为样本方差，试求（1）EXEX；（2）D(XE(S2（5分、7分，共12分已知某射手10次射击为一组，10次射击中次数X服从B(10,p)，其中p未知，记录最近的9组射击中次数分别7，5，6，8，5，6，6，7，8，试用矩估计法估计该射手的依次p。(8分)某仪器的测量误差服从N(0,2) 分布，由于长期的使用，使用者发现该仪器在测量时已经产生了系统误差，但不知道误差的波动性（即方差）有无改变，以往的经验值2=2 ，现记录查表550.006738,,50.084224 2（4）11.143, (4)0.4840 0提示：所有计算请保留到小数后一、填空

2012-2013学年第一学期期末考试《概率论与数理统计》试卷A卷标 30X03(1)(x,y,z):x0,y0,z0,x 30X03二、选择 三、计算1、解Ai=第一次取到i个新球i0,12;B第二次取到1个新球1个旧球C C（2）PAC422PAC621 C C 故P(B)P(Ai)P(B/A）624+ 5 46 15C2+ C B

（

45 （B） 2、解P(X19.6)P(X1.96)1P(X (2)设测量100次，测量误差超过19.6的次数为随量Y，则 2P(Y3)

Ck

(0.05)k又n100,p0.05,np 2k原式=1-

k!

0,xf ey,0x1,f 故 x, fX(x) y) 其fZ(z)fX(x)fY(zz0fZ(z当0z1

(z)ze(zx)dx1e0z1fZ(z1e(zx)dxez(e0 z

ez 0zez(e z E(X)1dxx3x2dy13x3dx EXEX E(X2)1dxx3x3dy13x4dx D(X)E(X2)E2(X)0.60.752E(S2DX5E(XXnpXpˆn1这里x (75 8)9ˆ6.446、解：建立假H022,H122因为该仪器在测量时已产生了系统误差，所以 0，故选择统计量找分位点，得到域0 0 (4)0.484,W211.143,0 0落在域，即认为该仪器的波动性较以往有显著的变化

2202

nn

(XiX)2~2

第二工业大学 （试卷编号 ： 学号 班级 成绩观察一个小时内打 交换机 个数该随机试验的样本空间 电路 个元件串联而成三个元件损坏与否相互独立且损坏的概率依次为0.3，0.2，0.1，则电路断路的概率。若X,Y独立同分布于N(0,1)，则2XY服从的分布 。(请用简洁的符号，出分布名称及具体参数，

,，则未知参数的矩估计量为 X1，X2，X3,Xn来自于总N,2X为样本S2的90%的置信区间 打靶中率为0.6，定义随量X为首次命中时的射击次数，关于X的分布描述错 （A）X为离散型随 （B）该分布的名称是几何分（C）PXk0.6 （D）X可能的值为1,2X1X2X3则下列计算正确的是

U(0,2)均匀分布,X e(3)指数分布,X P(1/3)泊松分（B）E(XXX) （B）E(XXX)4 （C）D(XXX) （D）D(XXX)2 （A）F(x)F(x) （B）F(x)F(x) 关于参数的置信区间估计，下列结论中正确的是 （A）置信度越大，置信区间越 （B）置信度越大，置信区间越（C）（D）已知总体X服从参数的泊松分布（未知，X1,X2,......,Xn为X的样本，则 1 1 n（A）n

是一个统计 （B）(XiEXnn

nX2X （C）1 n

是一个统计 （D） 是一个统计2X

x0xXf(x)X

XX01PY01PPXY0)1设X1，X2，X3，......,Xn来自总体e()的样本，相应的样本值为 ,xn，497，507，510若用矩估计法估计正态分布的两个参数,2，请回答,2的矩估计量（无需推导）如果估计方差没有变化，问该天打包机的工作是否正常 0.05试证明关于的矩估计 的无偏性查表：00251.96t0025(82.3060t00259提示：所有计算请保留到小数后二、填空

2012-2013学年第一学期期末考试《概率论与数理统计》试卷B卷标(1)0,1,2,3,.... (4)2X- (5) (n , (n 二、选择 三、计算1、解Ai=第一次取到i个新球i0,12B第二次取到2个新球（1）P(A)C62C3 C3（2）PAC422PAC41C618 C C C C C P(BPAi)P(

6+

4 1 （3）P(A/B=（A2)P(B/A2)315 （B） 28 2、解yg(x2x1x故

1(y)

y1,(g1(y)) fY(y)

(y1)/210y1Xf(g1(y))(g1(y)) Xy=

,1y

其 其 ex,x 3fX(x0其它，fYy0x0X、Y ey,0x1,yf(xy)fX(xYy) 其 （1）P(XY) f(x,y)dxdy1dxeydy1 XY （2）x0ory0F(xy当0x1y0F(xy

y

x(1eyx00dsex0 x1y0F(xy1dsyetdt1ey x0oryF(xyx(1ey0x1,y1ey x1,y=1 P(X1,Y1)0,P(X1,Y1)又由边缘分布和联合分布的关系，可得X、 的联合分布 01-00010P(X1,Y1) 故X、Y不相 P(X1)P(Y1) -1P E(XY)2

4

4E(XY)(1)113 D(XY)E(XY)2E2(XY)11 5X~f(x 其

n

i

in ln 令 0 xi0 故的极大似然估计值 ，的极大似然估计量ˆ 6、解 X（1）

nnn

1(XX

nn nH0500,H1500，选择统计量：UX0~N0,1找分位点，得到域 u00251.96,W

u2

x499U

4994/

0.75没有落在域，所以接受原假设，即认为打包机工作正常 1 1 E()E(Xi) E(Xi) 由无偏的定义知 具有无偏性第二工业大学 （试卷编号：A0604A2012-2013学年第二学期《概率论与数理统计》期末试题序号 ： 学号 班级 成绩已知P(B|A)=0.5，P(A)=0.6，则P(A- 三人独立进行射击，的概率分别为1/3；1/4；1/5，则至少一人的概率 0.262 若 量X～()(泊讼分布)；Y～e()(指数分布)，且EX1，则DY 3若总体X~N(01)，则样本(X1,X2,X3)的联合密度函数为f(x1，x2，x3) 1，若A与B独立，且P(A)0.5；P(B)0.4，则以下成立的为 ( B) P(A-B) P(AB) P(B|A)2，九件产品中有两件次品，无放回抽取，每次一件，则第三次才首次取到( (A)6

(B)3

(C)2

(D)33， 量X的概率分布为：P(Xk)

(k，)，则X取偶数概率为 (A)5

(B)4

(C)3

(D)2则DX≈( (A) (B) (C) (D)若(X1，X2，X3，X4)为取自总体X的样本,且EX=p,则关于p的无偏估计为 1 1X261

2X3 1

2

3

4 1，若A与B相互独立；A与B互斥，证明必有P(A)1或P(B)1(10分1x xX 量X的密度函数fX(x)X

，Yx

的密度函数fY(y)(10分e0 0

x，

x4，设二维随量(X,Y)的联合分布为 0120a1020求（1）a；（2）Zmax{X,Y}的概率分布；设二维随量(X,Y)的联合密度函数概率为xyf(x,y)

0 其0求:（1）X,Y的两个边缘密度函数,并判断X,Y（2）PYX2（106，X的

f(

xx

0)(试对参数作出最大似然估计(10分X(总体)～N(,2，16的样本，经测定得：x128.35；s25.650 0查表：(1.90 0

0

(15) (15) (15)第二工业大学 （试卷编号：A0604A2012-2013学年第二学期《概率论与数理统计》期末试题A答序号 ： 学号 班级 成绩51、 2、 3、C1p2(1p)450.220.845 5.若总体X~N(01)，则样本(X,X,X)的联合密度函数为f(x，x，x) (x2x2x2) 12 BACD1证明：因为A与B相互独立；所以A与B也相互独立 (4分AB互斥，则0PAB)PA)PB)PA)0PB)即必有P(A)1或P(B) (3分

(3分2P(X1y2 yX解：随量Y的分布函数：FY(y)P(Yy) y)X

yP(X1y2 y0 y (3分01y 1y2 yy0时，PX1y2

f(x)dx

dx1

(3分 x

1y

1yy

y

所以FY(y)1y y随量Y的密度函数

(y)

2 yy(1y2 y (4分 1，PX2

f(x)dx2

2 )(12 )(1 )

xdx (5分 2

1 3(e2

(1

(5分4解：（1）a=1-(1/4+1/12+1/6+1/4+1/12+1/6)= (3分Z012P（3）EZ=1.25；DZ= (22 1(x

1，fX(x)f(xy)dy

0x

0x (2分 其

其 f(y) f(x,y)dx(x

0y y

0y

(2分 因为f(x,y)fX(x)fY(y)，所以X与Y不独立。 2，P(YX2f(xy)dxdydx(xy)dy(x3 x4dx (4分y 6

x ,xn解：似然函数L() fn

x

(2分 0 其最大值仅需讨论大于零部分，lnL()nln(1)ln(x1 xn) [lnL()]'nln(x x)0 得最大似然估计为：ˆ xn)

(4分解：(1)均值置信度为95%的置信区间为：(x t

t

(n (2分snsn 25.65snsn 0

15128.35 25.65 0

2.13128.35 2.131)125.65131.04) (3(2)H0：

(n1)S 15S 在H0为真条件下， ~(n1)，即 (2分0 0对于显著水平0.05，得临界值 (15) (15)0 0由样本值得6.262

15s

24.07接受H0，即认为标准差4 (3分

0

(15) (15) (15)0 0第二工业大学 （试卷编0 02012-2013学年第二学期《概率论与数理统计》期末试题序号 ： 学号 班级 成绩已知P(B|A)=0.3，P(A-B)=0.2，则P(A) 四人独立进行射击，的概率分别为1/2；1/3；1/4；1/5，则至少一人的概率为。每次试验成功的概率为p，进行重复独立试验，则第8次试验才取得第3 若 量X～e()(指数分布)；Y～U(,)(均匀分布)，且 1，则DY 6若总体X的密度函数f(x) ，则样本(X,X,X)的联合密度函数为 (1x2 1，若P(A)0.5；P(B)0.4，且A与B互斥，则以下成立的为 ( B) P(AB) P(AB) P(A-B)2，若P(B|A) P(A|B) 则P(AB| B) (A)P

p

pq

pq35件产品中有3件次品，无放回抽取，每次1Ai第i次取到次品}(A)15

(B)5

(C)5

(D)54，一上的点数分别为：1；1；1；2；2；3，随量X={投掷出现的点数}。则DX (A) (B) (C) (D)若(X1，X2，X3，X4)为取自总体X的样本,且EX=p,则关于p的最优估计为 1X231

2X3 1

12 2

1 1

X110X

3

4 1，若A与B相互独立，证明A与B也相互独立(10分1x

x， 超过5(千小时)的概率。(共10分

变量X,Y)的x 0121a20求（1）a；（2）Z=Y/ 的概率分布（3）E(YX；D(YX（105.设二维随量(X,Y)的联合密度函数概率为2xcosyf(x,y)

0x1；0y0 其0求:（1）X,Y的两个边缘密度函数,并判断X,Y26XPXk

(k，。N(127234634)为样本试对参数作出矩估(10分 经测定得：x35.24；s4.650查表：(1.96)0

202

(8)

(8)17.535；0975(8)第二工业大学 （试卷编号：B0604A2012-2013学年第二学期《概率论与数理统计》期末试题B答序号 ： 学号 班级 成绩72 4 3．C2p31 7若总体X的密度函数f(x) (1x2

，则样本X1,X2X

)的联合密度1f(x1x2x3)3(1x2(1x2(1x21 BCAD1，若A与B相互独立，证明A与B也相互独立(10分)证明：因为A与B相互独立，所以P(AB)P(A)P(B)P(AB)P( B)1P( B)1[P(A)P(B)P(AB)]1P(A)P(B)P(1P(A)P(B)[1P(A)][1P(A)][1P(B)]P(所以A与B相互独立2Aii次取到次品}i则P(A3)P(A1A2 A1A2A3P(A1A2)P(A3|A1A2)P(A1A2)P(A3|A1A2)P(A1A2)P(A3|A1A232123133255 54 553

1解： P{X5}f(x)dxx2dxx

P1P(0)1C00.200.8310.512 （1）a Z012PE(Y/X)=5/6;D(Y/X)=31/72=解： 当0x1，f(x)f(x,y)dy22xcosydy2xsiny2 当0y

2，f(y)

f(x,y)dx2xcosydxcosyx2

cosf(x)

0x

cos；f(y)

0y 0 其 其0f(xy)f(xfy)X与YP(Y2

2)2xcosD

0xD：0yx2x1dx2

2xcosydy1dx2xsiny2 2 2x

x2dxsinx2dx2 6 解：EX k1 k1(1) (估计量2ˆ2x-1224.4147.8

(估计值解 10.95，0.05，t2(n1)t0.025(8)均值置信度为95%的置信区间为sn(x tn

n tn

(n1))(35.244.652.3035.244.65(31.66638.814)在

H0：n 0为真下 S (8)(8)

~

(8)

(8)(8)

(8)8因：

22.142（8） H，不能认为标准差9

0

(8) (8) (8)0 0第二工业大学 （试卷编号0 02013-2014学年第一学期期末考试《概率论与数理统计》A试： 学号 班级 成绩一、填空题（3分15设A和B是独立的，已知：P(A)0.4，P(B)0.5，则P(AUB) X 量相互独立，XP

，YP

则P(XY) XP

，F(x)为其分布函数，则F(1) 掷两枚硬币,掷出一正一反的概率 二、选择题（3分15

1)P(X2)，则参数 已知A,B为随机，P(A)0.4，P(B)0.3，P(AB)0.2，则P(AB) （A） （B） （C） （D）总体X~N(,2)，其中已知2未知。X1,X2为样本，下面哪个不是统计量 （A）1(XX （B）XX （C）X （D）X2X2 1 设随量X与Y相互独立，X~B(10,0.3)，Y~U(1,4)，D(XY) （A） (C) 设总体X服从正态分布X~N(4,9)，X1,X2 ,X9为X的样本， X4~N(0,1)（B）X4~N(0,1)（C）X4~N(0,1)（D）X9~N 1n ,X是其样本，2的置信度为90%的置信区间 1nn(

i,X)2(i,

iX (i

i,X)2(i,

X（A)(

（B）(2

2n(

iX)2(i

iX (i

iX)2(i

X （C）( , (D)( , 0952(n 0952(n 0052(n三、计算题（共70分1.（10）某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响，且他们的优质品的概率均为0.95，如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定是合格品，如果有一个部件不0.7，如果有两个部件不是优质品，则组装后的合格0 量X的密度函数为：f(x)0

0x 其

（1）a；（2）3.（本题12分）设二维随量(X,Y)的联合分布为 012120 量YlnX的概率密度f ,0x5.（本题10分）设总体X的密度函数为 其它，1,0,1为样本值，求参数元，已知旅游者消费额服从正态分布N(,502)(2)根据（1）的结论求消费者平均消费额的0.95的置信区间。 1.645； 2(35)53.203, 0 0 0 0第二工业大学 （试卷编号 2013-2014学年第一学期期末考试《概率论与数理统计》A一、填空题（3分150.7 3.F(1) 0.7 5. 二、选择题（3分，共15分CCAB三、计算题（共70分解：设Ai：仪器含有的优质部件i个（i0,1,2,3，B：仪器合P(B)

P(A)P(BA)0.0530.130.950.520.230.9520.50.70.9531 2 xF(x)1

0x xEX2x1xdx E(X2)2x21xdx DX216 X

3/

2/

EX5 1/35Z1234 EY13, 1/35Z1234（

4

2

3P(X1XY2)3/106 e4fX(x

x x

YlnX,xhyeyhyyfYy)fX(hy))hy) (y5、解：L(3edlnL(31033 2(n1)s 26.：（1）H02

，统计量

~0

(n1)0.05查表得 2(35)53.203, 2(35)20.569W(,20.569]U0 00计算228.35WH:25020由（1）2502的置信区间(x

)带入计算得到(983.7,1016.3)2第二工业大学 （试卷编号 2013-2014学年第一学期期末考试《概率论与数理统计》B试： 学号 班级 成绩1.已知A,B为随机，P(A)0.4，P(B)0.3， B)0.6，则P(AB) 已知3次独立重复实验 A至少成功一次的概率为：19，则一次试验中A功的概率p 量X的分布律为P(Xk)k,k1,2,3,4，则P(X2X4) 量X~B(5,0.2)，则E(2X21) 设X1~U(0,5),X2~P(4),Y2X1X2，则EY A与B相互独立,A与B互斥,必成立的 A)PAB PAB PABP P(A)1P(B ))；（A）(X1X2X3)；（B）X1X22；（C）max(X1,X2,X3

X12X22X32随量X服从参数2的指数分布，则P(2X4) （A）4 （B）24 （C）1(e4e8 （D）e4 4 从总体X~N(,2)中抽取简单随机样本X,X,......,X，以下结论错误的是 nX服从正态分 （B）

X)2服从2（A）

2(XX（C）D(1

（D）E( n

Xi)

n 5.当 量X的可能值充满

间 )时f(x)sinx可以成为某随量X的度函数

（D）[3, 概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选3只检查，结果都是好的，2.（本题12分）设随量X的密度函数为：f(x)

0x，（ab0)如 其已知EX21，求：（1）a,b（2）写出分布函数，⑶期望和23.（12分X1X2分别为取自总体X的容量为n1n2的两个样本的样本均值，求证：对任意实数a0,b0,ab1统计量YaX1bX2都是EX的无偏估计，并求ab Ae(3x2y x0,y设两维 量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y) 其A（2X,Y是否独立（3计算X,Y落在区域Gx3y5.（本题10分）已知 量X的概率密度函数为f(x)

x0

x设X1,X2 ,Xn是来自总体X的一个样本．求：的极大似然估计6.（本题14分）某元件的使用X~N(,2)，为估计其中的参数，现抽取了一个容量为25的样本，经测定得：x73.25；s10.32（1）能否认为使用X的标准差σ=9(显著水平=0.05)；（2）根据（1）的结论给出平均 95%的置信区间。附：u0025 u0051.645；1.960.975,t0025(24)2.0639,t0025(25) 2(24) 2(24) 2(25) 2(25)0 0 0 0第二工业大学 （试卷编号 2013-2014学年第一学期期末考试《概率论与数理统计》B： 学号 班级 成绩0.3p 1/3。PX2X4)_0.5_E(2X21) EY DDDB三、计算题（共70分

P(A1)P(BA1)

0.13C3

9.9 2 C3 122.7P(Ai)P(BAi 0.810.1110.1

C 1axbdx

x解：(1)

(2)F(x) 0x1(3)EX2,DX

b

11

x2axdx

xE(YaEX1bEX2aEXbEX

a nDYa2DX1b2DX2( )DX，在ab1的条件下 1 2时DY有最小值 b n1

f

(x)

x0,f(x,y)2e2

y0, 其 其 P((X,Y)G) 3dx26e(3x2y)dy(1e1 nni1解：设x,x i1 n

01 概率论数理统计计算题复习A5件中无优质B5件中4PA,PB某设备由5个这样的电子元件组装而成，若5的概率为0.35件中至4件优质品则组装后的设备一定合格；其它情况(优质品个数介于上述A,B之间)组装后的设备合格的概率为0.6，设D{组装后的设备合格}，求：PD。55PC10.1680.031P(D)P(A)P(DA)P(B)P(DB)P(C)P(D0.1680.30.03110.8010.6P(AD)

P(B)PP(B)P(D

0.1680.5P(P(A)P(DP(BD)

0.03110.06P(AD)P(B2、假设 量X的分布律为P(Xk) 2

(k0,1,2,3)a为多少？⑵写出3函数；⑶求E(X)，D(X)；⑷写出Y(2X1)2的概率分布。解：⑴P 1 603k

x30/ 0x⑵Fx50/ 1x65/ 2x x⑶EX86,EX2188,DXEX2EX2 ⑷Y2XP

50/ 15/ 12/3、设二维随量(X,Y)的联合分布为 012120求（2）ZXYX12P1/1/Y012X12P1/1/Y012P1/EX=3/2；EY=11/12；EX2=5/2；EY2=21/DX=EX2–(EX)2=5/2–9/4=1/4；DY=EY2–(EY)2=21/12–121/144=131/Z1234P1/5/1/1/（3）EZ=29/12；EZ2=81/12；DZ=EZ2–(EZ)2=231/144=77/、如果连续型随量X的分布函数为：F（1）a,b（2）P{1X

2 x x) x1（3）求密度函数，期望、方差。（1）a1,b⑵P{1X1}F1F11 2e2 x fxFx x

X~e2EX

2,DX、设 量X的密度函数为：f 0x 如果已

，（a,b其PX 2PX 2)（1）ab（2写出分布函数，⑶期望和方差和E(2X31) 00

ab2axb

2 2 x⑵Fx 0x x⑶EX2,EX21,DX1,E2X31 、设随量X～N(0,1)，求随量YX2的密度函数f(y)（定义fXx

1e2x1YX2[0,2 X y) 2

e2 yF(y)P(Yy)P( y) - f(y)F'(y)

11e

y

y y数，用P.57定理解FyFhyhy

y0 y6、设二维随量(X,Y)服从单位圆域x2y21上的均匀分布（1）求边缘密度；并问X,Y是否独立？（2）求X,Y)落在第一象限的概率；（3求EXYEX x2y2fxy fxfx,ydy21 x2，

y21 y

Y

fxyfXxfYyX,Y不独⑵PX0,Y 1 4 ⑶EX