最优化方法-课程设计报告-运用DFP算法解决无约束最优化问题

PAGE北方民族大学课程设计报告系（部、中心）信息与计算科学学院专业信息与计算科学班级09信计（3）班小组成员课程名称最优化方法设计题目名称运用DFP算法解决无约束最优化问题提交时间2012年6月26日成绩指导教师 摘要变尺度法是在牛顿法的基础上发展起来的，它和梯度法亦有密切关系.变尺度法避免了Newton法在每次迭代都要计算目标函数的Hesse矩阵和它的逆矩阵而导致随问题的维数增加计算量迅速增加.DFP算法是变尺度法中一个非常好的算法.DFP算法首先是1959年由Davidon提出的后经Fletcher和Powell改进，故名之为DFP算法，它也是求解无约束优化问题最有效的算法之一.DFP变尺度法综合了梯度法、牛顿法的优点而又避弃它们各自的缺点，只需计算一阶偏导数，无需计算二阶偏导数及其逆矩阵，对目标函数的初始点选择均无严格要求，收敛速度快.本文主要分析DFP算法原理及运用Matalb软件编程解决实际数学问题.最后运算结果符合计算精度且只用了一次迭代，由此可见收敛速度快.关键词：Newton法变尺度法Hesse矩阵Matlab软件目录一、课程设计目的 1二、课程设计要求 1三、课程设计原理 1（1）变尺度法基本原理 1（2）DFP算法 3四、实验内容 4五、数学建模及求解 41.DFP算法迭代步骤 42.DFP算法的流程图 5六、程序实现 5七、数值实验的结果与分析 8八、实验总结与体会 91.DFP公式恒有确切解 92.DFP算法的稳定性 9参考文献 10WORD格式--可编辑--专业资料完整版学习资料分享课程设计目的：1、掌握无约束优化问题DFP算法的数值求解思路；2、训练分析DFP算法的运算存储量及收敛速度的能力，了解算法的优缺点；3、通过运用DFP算法求解实际无约束优化问题的意义；4、熟悉应用Matlab求解无约束最优化问题的编程方法.课程设计要求熟悉了解DFP算法原理及求解无约束优化问题的步骤，并运用Matlab件编程实现求解问题.课程设计原理（1）变尺度法基本原理在Newton法中，基本迭代公式，其中，，，于是有···（1）其中是初始点，和分别是目标函数在点的梯度和Hesse矩阵.为了消除这个迭代公式中的Hesse逆矩阵，可用某种近似矩阵来替换它，即构造一个矩阵序列去逼近Hesse逆矩阵序列此时式（1）变为事实上，式中无非是确定了第次迭代的搜索方向，为了取得更大的灵活性，我们考虑更一般的的迭代公式(2)其中步长因子通过从出发沿作直线搜索来确定.式（2）是代表很长的一类迭代公式.例如，当（单位矩阵）时，它变为最速下降法的迭代公式.为使确实与近似并且有容易计算的特点，必须对附加某些条件：为保证迭代公式具有下降性质，要求中的每一个矩阵都是对称正定的.理由是，为使搜索方向是下降方向，只要成立即可，即成立.当对称正定时，此公式必然成立，从而保证式（2）具有下降性质.要求之间的迭代具有简单形式.显然，(3)是最简单的形式了.其中称为校正矩阵，式（3）称为校正公式.必须满足拟Newton条件.即：(4)为了书写方便也记于是拟Newton条件可写为(5)有式（3）和（5）知，必须满足或(6)（2）DFP算法DFP校正是第一个拟牛顿校正是1959年由Davidon提出的后经Fletcher和Powell改进故名之为DFP算法它也是求解无约束优化问题最有效的算法之一.DFP算法基本原理考虑如下形式的校正公式(7)其中是特定维向量，是待定常数.这时，校正矩阵是.现在来确定.根据拟Newton条件，必须满足（6），于是有或.满足这个方程的待定向量和有无穷多种取法，下面是其中的一种：，注意到和都是数量，不妨取，，同时定出，.将这两式代回（5.32）得.（8）这就是DFP校正公式.实验内容采用课本P102页例5.3和P107页例5.4进行数值计算；1，求，取初始点.2，求，取初始点.数学建模及求解1.DFP算法迭代步骤在拟Newton算法中，只要把第五步改为计算式（8）而其他不变，该算法就是DFP算法了.但是由于计算中舍去误差的影响，特别是直线搜索不精确的影响，可能要破坏迭代矩阵的正定性，从而导致算法失效.为保证的正定性，采取以下重置措施：迭代次后，重置初始点和迭代矩阵，即以后重新迭代.已知目标函数及其梯度，问题的维数，终止限.选定初始点.计算，.置，，.作直线搜索；计算，.判别终止准则是否满足：若满足，则打印，结束；否转（5）.若，则置，，，转（2）；否则转（6）.计算，，，，置，转（3）.2.DFP算法的流程图开始开始选定，，，，终止准则满足？Y结束N？YN程序实现数值实验的结果与分析由上述运行结果可得出：第一题迭代一次就解得：与精确解误差远小于，符合要求.第二题同样迭代一次就解得：与精确解误差远小于，符合要求.且所计算的矩阵和梯度与精确计算所得一样，这也表明DFP算法的matalb程序完全符合要求.实验总结与体会DFP变尺度法综合了梯度法、牛顿法的优点而又避弃它们各自的缺点，只需计算一阶偏导数，无需计算二阶偏导数及其逆矩阵，对目标函数的初始点选择均无严格要求，收敛速度快，这些良好的性能已作阐述。.对于高维（维数大于50）问题被认为是无约束极值问题最好的优化方法之一。下面对其效能特点再作一些补充说明.1.DFP公式恒有确切解

分析DFP公式

为使变尺度矩阵恒有确定的解，必须保证该式右端第二项和第三项的分母为异于零的数，南京大学编的《最优化方法》已证明了这两项的分母均为正数.

2.DFP算法的稳定性

优化算法的稳定性是指每次迭代都能使目标函数值逐次下降。在阐述构造变尺度矩阵的基本要求中。已经证明为保证拟牛顿方向目标函数值下降，必须是对称正定矩阵。南京大学编的《最优化方法》证明了对于f(X)的一切非极小点处，只要矩阵对称正定，则按DFP公式产生的矩阵亦为对称正定。通常我们取初始变尺度矩阵为对称正定的单位矩阵，因此随后构造的变尺度矩阵序列{(k=1,2,…)}必为对称正定矩阵序列，这就从理论上保证DFP法使目标函数值稳定地下降。但实际上由于一维最优搜索不可能绝对准确，而且计算机也不可避免地有舍入误差，仍有可能使变尺度矩阵的正定性遭到破坏或导致奇异。为提高实际计算的稳定性，除提高一维搜索的精度外，通常还将进行n次(n为目标函数