2022年山东省淄博市候庄中学高三数学理联考试题含解析

2022年山东省淄博市候庄中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义在R上的函数满足，．当x∈时，，则的值是（

）A．－1

B．0

C．1

D．2参考答案：B2.函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）A．（﹣，+∞） B．（﹣，1） C．（﹣，） D．（﹣∞，﹣）参考答案：B【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【分析】依题意可知要使函数有意义需要1﹣x＞0且3x+1＞0，进而可求得x的范围．【解答】解：要使函数有意义需，解得﹣＜x＜1．故选B．3.已知过抛物线C：y2=8x的焦点F的直线交抛物线于P，Q两点，若R为线段PQ的中点，连接OR并延长交抛物线C于点S,则的取值范围是A.(0,2) B.[2,+∞) C.(0,2] D.(2,+∞)参考答案：D由题意知，的焦点的坐标为（2,0）。直线的斜率存在且不为0，设直线方程为。由消去y整理得，设，，则，故，所以，直线的方程为，代入抛物线方程，解得，由条件知。所以。选D。

4.函数的零点所在的区间是A. B. C. D.参考答案：5.当时，不等式恒成立，则的取值范围是

A．[－4,8]

B．[－2,8]

C．[0,6]

D．[4,12]参考答案：A6.设（，），（，），…，（，）是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是

A．和的相关系数为直线的斜率

B．和的相关系数在0到1之间

C．当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同

D．直线过点参考答案：D本题考查了回归直线方程最小二乘法、相关系数、样本中心等知识点，难度中等。

因为回归直线方程恒过样本点中心，故选D7.函数f（x）=的所有零点的和等于（）A．1﹣2π B．1﹣ C．1﹣π D．1﹣参考答案：A【考点】余弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数的零点即是方程的解，解方程即可．【解答】解：当x≥0时，f（x）=﹣1=0，解得x=1，当﹣2π≤x＜0时，f（x）=2cosx﹣1=0，解得cosx=，x=﹣，或x=﹣，∴1﹣﹣=1﹣2π所以所有零点的和等于1﹣2π，故选：A【点评】本题考查了函数的零点定理和余弦函数的图象的性质，属于基础题．8.已知等比数列的前项和为，且满足，则公比=（

）A.

B.

C.2

D.参考答案：D9.某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是参考答案：A10.已知，0<x<π，则tanx为

A．－

B．－

C．2

D．－2参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若的二项展开式中，所以二项式系数之和为64，则

；该展开式中的常数项为

（用数字作答）.参考答案：，.试题分析：由题意得，，由二项展开通项公式可知，令，故常数项为，故填：，.考点：二项式定理.12.已知是抛物线的焦点，过且斜率为的直线交于两点．设<,若，则λ的值为

．参考答案：13.已知直线与圆交于A、B两点，当|AB|最小时=

；命题意图:考查极坐标与参数方程，直线和圆相关计算，中档题.参考答案：=-114.已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{xn}满足xn+1=xn﹣，设an=ln，若a1=，xn＞2，则数列{an}的通项公式an=．参考答案：2n﹣2（n∈N*）【考点】数列与函数的综合．【分析】由题意可得f（x）=a（x﹣1）（x﹣2），求出导数，可得xn+1=，求得an+1=ln=2ln=2an，运用等比数列的通项公式即可得到所求．【解答】解：函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，可得f（x）=a（x﹣1）（x﹣2），f′（x）=a（2x﹣3），则xn+1=xn﹣=xn﹣=，由a1=，xn＞2，则an+1=ln=ln=2ln=2an，即有an=a1qn﹣1=?2n﹣1=2n﹣2．故答案为：2n﹣2（n∈N*）．15.抛物线的焦点为F，P，Q是抛物线上的两个动点，线段PQ的中点为M，过M作抛物线准线的垂线，垂足为N，若，则的最大值为_____．参考答案：分析：设|PF|=2a，|QF|=2b，．由抛物线定义得|PQ|=a+b，由余弦定理可得（a+b）2=4a2+4b2﹣8abcosθ，进而根据基本不等式，求得的θ取值范围，从而得到本题答案.详解：设|PF|=2a，|QF|=2b，由抛物线定义，得|PF|=|PA|，|QF|=|QB|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|PA|+|QF|=2a+2b，∵|MN|=|PQ|，∴|PQ|=a+b，由余弦定理得，设∠PFQ=θ，（a+b）2=4a2+4b2﹣8abcosθ，∴a2+b2+2ab=4a2+4b2﹣8abcosθ，∴cosθ=，当且仅当a=b时取等号，∴θ≤，故答案为：点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系和基本不等式等，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键有二，其一是要联想到抛物线的定义解题，从而比较简洁地求出MN和PQ,其二是得到后要会利用基本不等式求最值.16.从数字1、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为__________.参考答案：略17.函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为____________?参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4－1：几何证明选讲如图，∠BAC的平分线与BC和外接圆分别相交于D和E，延长AC交过D，E，C三点的圆于点F。（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求的值。

参考答案：如图，连接CE，DF∵AE平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在圆内又知∠DCE=∠EFD，∠BCE=∠BAE∴∠EAF=∠EFD又∠AEF=∠FED∴ΔAEF∽ΔFED∴∴………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知∵EF=3，AE=6∴ED=3/2，AD=9/2∴AC*AF=AD*AE=6*9/2=27…………10分

19.已知函数.（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）若f(x)有两个零点，求实数a取值范围.参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域和导数，然后分和两种情况讨论，分析在上导数符号的变化，即可得出函数的单调区间；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，函数有两个零点，则且有，即可求出实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，.①当时，由，知函数在内单调递增；②当时，由，即得；由，即得.所以，函数在内单调递增，在内单调递减.因此，当时，在内单调递增；当时，在内单调递增；在内单调递减；（Ⅱ）当时，则函数在上为增函数，函数最多一个零点，不合乎题意，舍去；当时，由（Ⅰ）知，函数在内单调递增，在内单调递减.且当时，，当时，，则，即，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查带参函数单调区间的求解，同时也考查了利用函数的零点个数求参数的取值范围，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.20.在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a，b，c（1）若，求A的值；（2）若，且△ABC的面积，求sinC的值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）已知等式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后求出tanA的值，即可确定出A的度数；（2）法1：由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，将已知面积与sinA的值代入得到b=3c，再利用余弦定理列出关系式，将b=3c及cosA的值代入得到a=2c，最后利用正弦定理即可求出sinC的值；法2：由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，将已知面积与sinA的值代入得到b=3c，再利用余弦定理列出关系式，将b=3c及cosA的值代入得到a=2c，最后利用余弦定理及锐角三角函数定义即可求出sinC的值．【解答】解：（1）∵cos（﹣A）=2cosA，即cosA+sinA=2cosA，∴sinA=3cosA，即tanA=，∵0＜A＜π，∴A=；（2）法1：∵cosA=，且A为三角形内角，∴sinA==，∵S=c2=bcsinA=bc，∴b=3c，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=9c2+c2﹣2c2=8c2，∴a=2c，由正弦定理得=，即=，得到sinC===；法2：∵cosA=，且A为三角形内角，∴sinA==，∵S=c2=bcsinA=bc，∴b=3c，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=9c2+c2﹣2c2=8c2，∴a=2c，∵a2+c2=8c2+c2=9c2=b2，∴△ABC是Rt△，角B为直角，∴sinC==．21.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，，，点E为线段AB上异于A，B的点，连接CE，延长CE与DA的延长线交于点F，连接PE，PF．(1)求证：；(2)若三棱锥的体积为，求PE的长．参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.（Ⅰ）因为平面，平面，所以．又四边形是矩