浅谈高等数学和小学数学的关系 论文

浅谈高等数学和小学数学的关系摘要：本文通过探讨与研究小学数学在内容及思维上与高等数学的关系，突出小学数学教学中渗透高等数学的必要性，进而针对性的探讨如何在小学数学中渗透高等数学。并通过实例来阐述高等数学在小学数学中一些重要的应用，为小学数学教师提供了些思路，并指明课堂教学改进方向。关键词：高等数学，小学数学，数学思维，联系，应用。引言：一般人认为小学数学与高等数学相差甚远，事实上它们之间不仅在内容方面，而且在思维形式方面都存在着密切的联系。如果站在高等数学的高度来理解小学数学，会使人感到小学数学的博大和精深；如果能把小学数学的内容放在高等数学这一背景中理解，从某种意义上讲小学数学是高等数学的重要组成部分。如果小学数学教师都能站在高等数学的高度来进行小学数学教学，那将会对小学生学习和理解数学概念起到非常积极的意义。本文将从内容和思维形式两个方面来揭示小学数学和高等数学之间的联系，努力寻求小学数学和高等数学的结合点，使高等数学在小学数学中得到更好的应用。一、内容的互补性高等数学中的一些概念是小学数学中一些量的抽象，而小学数学的内容则是高等数学中抽象概念的实例。如果站在抽象后的高度对小学数学的内容进行解释，那么小学数学的内容将是有序的、完整的。例如:加、减、乘、除是小学数学主要的教学内容之一，在高等数学中则是映射(代数运算)的几个特例而己。如果没有小学数学这些实例，那么就不可能理解、抽象出一般的代数运算的概念;如果在掌握一般的代数运算的概念的基出上讲解加、减、乘、除，就会把这些概念讲活讲完整。一般来讲，高等数学和小学数学在内容上是从以下四个方面进行互补的。1.个别和一般小学数学中有平均数的计算，平均数在高等数学中就是数学期望值的特例。如果站在数学期望的高度来讲解平均数，教师就会着重强调平均数和各个数之间差异，学生就会知道全班数学平均分数和每个学生的分数，虽然都是分数，但是它们的意义是完全不同的。反之，如果学生只会计算平均分数，而没有把平均分数和每个学生的分数加以区别，那么学生只是多做了一些四则运算的习题。这样不仅不能活跃学生的思维，而且也不利于提高学生的学习兴趣。再如小学数学中求自然数的正约数的个数问题，则是高等数学中代数基本定理的应用，并且求解任一正整数约数个数的计算公式，在高等数学中也有论证。2.有限和无限在小学数学中，一般是在有限的范围内讨论问题，有些问题则需要利用高等数学的观点进行解释。如小学数学中数的认识，内容虽然简单，但是其中数“数”及用“对等”的方法比较两个集合之间元素个数关系问题必须让学生理解。这是因为数“数”的方法是高等数学中研究可列集、不可列集的基本方法；而“对等”的方法则是比较两个集合(有限集、无限集)之间元素个数问题的基本方法。又如，小学数学中对于“自然数是无限的”这一结论，只有用极限的观点来进行解释，学生才能正确地理解这一结论。相反，如果教师没有扎实的高等数学根底，而是采用些不正确的方法进行解释，不仅不能帮助学生准确地理解“自然数是无限的”这一结论，而且会影响学生今后对极限概念的理解。再如，在小学数学中无限循环小数和分数之间的互化问题，这一问题是高等数学中级数概念的应用，教师在教学中通过“0.9”、“0.99……9”和“1”之间关系的解释，就会让学生再一次体会极限的概念。3.静止和运动小学数学中的很多概念如果只强调结果，则是静止的。如2+3这一表达式，只讨论其和为多少是静止的。如果分析这个表达形式，则是运动的。这是因为：若2=3-1，3=1+2，……那么这个表达式变为：3-1+1+2，......；若2、3分别表示2号房间和3号房问里人数之和，那么这个表达式的意义又不同了。通过这一次次的变化，学生对于数学概念的理解更趋完整，这一次次的变化正是代数思想的雏型。而代数思想是研究数学最根本的思想之一。4.推算和预测小学数学中有一类问题是已知现在的值，求原来的值。例如：现对甲、乙、丙三个车间的人员进行三次调整。第一次丙车间不动，甲、乙两个车间中的一个车间调出8人给另一车间；第二次乙车间不动，甲、丙两车间中的一个车间调出8人给另一车间；第三次甲车间不动，乙、丙两车间中的一个车间调出7人给另一车间。三次调整后甲车间有7人，乙车间有12人，丙车间有4人。问各车间原来有多少人。此题若按调整先后顺序来推算，讲很繁琐，而用列表进行推算则十分简单。人数甲车间乙车间丙车间第三次调整后第二次调整后第一次调整后原来771254113157513求解这类问题的方法是用列表（或作图）进行的，一般称这种方法为倒退法。而高等数学中更多的是已知过去和现在的值，求未来，这一类问题称为预测，也是通过列表（或作图）利用统计的方法进行求解的。二、思维形式的相通性常用的思维方法有分析和综合、比较和分类、归纳和演绎、系统等业方法。研究和学习高等数学必须以科学的思维方法作指导，这已达成共识，而很多人则把小学数学看成是以培养技巧为主。从小学数学的内容来看，如果不强调思维的培养，只是一味地训练运算技巧，那么小学数学的教学将会变得非常枯燥乏味。如果在小学数学中强化科学思维的培养，那么将会产生事半功倍的效果，同时也会提高学生的学习兴趣。下面分别叙述四种常用的思维方法在小学数学和高等数学中的应用。1.分析和综合分析，是将被研究对象的整体分为各个部分、方面、因素和层次，并分别加以考察，从而认识事物本质的思维方法。综合，是将已有的关于研究对象的各个部分、方面、因素和层次的认识联结起来，形成对研究对象整体性的新认识的思维方法。分析和综合是数学中常用的思维方法，“曹冲称象”这则故事正是分析和综合方法应用的实例。七岁的小曹冲以“称石头代称象”，运用的就是一种把整体分成若干较小而简单的问题，逐个地加以解决，从而使原问题得以解决的方法。小学数学中运用分析和综合的方法求解的实例也很多。2.比较和分类比较，是从具有同一性的事物间寻找其差异性，或者从具有差异性的事物间寻找其同一性的思维方法。分类，是通过比较建立集合的思维方法。在高等数学中可以利用同态、同构的方法把整数与多项式、矩阵与线性变换、多面体和平面图等建立联系。这就是比较、分类的方法。而小学数学中在学生掌握了自然数的四则运算法则的基础上，也是通过比较的方法使学生掌握小数的四则运算的。3.归纳和演绎归纳，是从已知个别的或特殊的知识出发，概括出一般性或普遍性结论的思维方法。演绎，是从已知一般性或普遍性的知识出发，推断出个别或特殊的结论的思维方法。这一方法在小学数学和高等数学中的应用时最为广泛的。4.系统的方法系统的方法，就是把研究对象作为整体，从整体的部分与部分、整体与环境的相互关系、相互作用中综合地考察对象的思维方法，即整体思考的思维方法。高等数学中的集合、向量空间、群等都是系统方法的应用。在小学数学中，如果利用这一思想方法不仅可以发展学生的思维，而且在解题时，可以化繁为简，由此及彼。例如:猎人甲带着他的猎狗到120千米外的猎人乙家去做客，甲出发时，乙也正好走出家门迎接甲。甲每小时走

10千米，乙每小时走20千米，猎狗每小时跑30千米。当猎狗先与乙相遇后，又返回来迎接甲，与甲相遇后，再转头去迎接乙。这样，猎狗在甲、乙之间往返奔跑。试问:当甲乙相遇时，猎狗共跑了多少路程?本题可以从问题的整体出发考虑，因为猎狗从出发起到甲、乙相遇止，它就以每小时30千米的速度格格跑了120÷(10＋20)=4(小时)，所以一共跑了30×4=120(千米)。综合所述，高等数学和小学数学之间确实存在着密切的联系。如果在小学数学的教学过程中能科学地认识高等数学与小学数学在内容上