第四章随机分析与随机微分方程

第四章随机分析（Stochasticanalysis）本章主要介绍随机分析的大体理论，重点介绍在数理金融学领域（资产定价和套期保值）中最常常利用的Brown运动的Ito随机积分、Ito公式、测度变换定理等内容。§4.1随机进程的均方积分通常涉及到的积分由两种：Riemann积分和Riemann-Stieltjes积分Riemann积分：给定一个函数在区间上的定积分概念为：对区间划分为各点，即，设 ，是上任意一点，，令，对于和式当极限存在且极限与划分无关，称在区间上可积，积分记为。闭区间上的有限变差函数都是可积函数。定积分由很多性质，如线性性质，可加性，单调性。Riemann-Stieltjes积分：给定两个函数，，若是在区间上是单调不减右持续函数，关于函数的定积分概念为：对区间划分为各点，即，设 ，是上任意一点，，令，对于和式当极限存在且极限与划分无关，称关于函数在区间上可积，积分记为。当是有界变差函数时，关于函数在区间上可积。Riemann-Stieltjes积分有通常Riemann积分的所有性质。随机积分就是指随机进程的积分，即当在上述积分概念中，函数，为随机进程和时对应上述两种积分如何概念？如型如专门是当随机进程和都为Brown运动时上述积分由如何概念？随机进程的均方积分二阶矩进程若是随机进程，对任意有，称随机进程为二阶矩进程。均方收敛设概念在概率空间上二阶矩存在（）随机变量序列，若是存在随机变量知足，且称均方收敛，记。二阶矩随机变量空间：概率空间上二阶矩存在（）随机变量全部组成的空间。1）是上的线性空间；2）是内积空间，内积概念为Schwarz不等式，3）是线性赋范空间；，范数概念为4）是距离空间；，距离概念为5）在均方收敛意义下是完备的赋范线性空间，即Banach空间。均方持续性二阶矩进程称为在均方持续，若是（均方收敛）若是在均方持续，称在上均方持续。均方持续判定准则二阶矩进程在均方持续的充分必要条件是在处持续。均方导数阶矩进程称为在处均方可微，若是（均方收敛）存在，此极限记为称为在处的均方导数。均方可微准则在处的均方导数的充要条件是在处广义二次可微。随机进程均方积分若是随机进程是概念在上的二阶矩进程，将区间划分为各点，即，设，是上任意一点，，令，对于和式当在均方意义下极限存在，即且极限与划分无关，称在区间上可积，积分记为。均方可积准则在区间上均方可积的充要条件是下列普通的二重积分存在由于Brown运动在闭区间上的二次全变差有界，所以积分是成心义的。§4.2Brown运动的Ito随机积分设是标准Brown运动，随机进程是概念在上知足：1）是关于适应的，即是的函数；2），，将区间划分为各点，即，设，是的左端点，，令，概念Riemann-Stieltjes和若是在均方意义下存在，即存在随机变量知足则称为关于Brown运动的Ito积分。注：上述积分的概念中Riemann-Stieltjes和当选用的是左端点，若是选用任意点（有端点或中点），是上任意一点概念Riemann-Stieltjes和，取得的积分可能不同。Ito积分的性质：随机进程是关于，的鞅进程。Doob不等式知足等距性，即，知足线性性积分区间的可加性特别1）若是随机进程为标准Brown运动，则有证明：注意到由Brown运动性质2）若是随机进程退化为持续可微函数，则积分进程是正态进程，且有，3）对任意两的持续可微函数，，有对任意，利用Brown运动的独立增量性可得4）若是随机进程退化为简单进程，如则在区间，相应的Ito积分为概念4.2.1给定一个域流，若是对所有的，是可测的，其中，则称随机进程是。定理4.2.1设是由标准Brown运动生成的域流，假设则存在一个线性映射，它把中的函数映射到概念在上的持续鞅空间上，知足若是是如下形式的函数（简单函数），即，其中，，，当时，，是可测的随机变量，且。则若是，那么有概念4.2.2对，记称为进程关于Brown运动的Ito积分。§4.3持续鞅（半鞅）的随机积分本节将上节中的Brown运动随机积分推行到一般的持续鞅（持续半鞅）的随机积分。概念4.3.1给定一个域流，若是概念在上随机进程是适应的，即对所有的，是可测的，而且知足1）2）对任意，有，则称是鞅。持续鞅的二次变差进程概念4.3.2设是持续鞅，与相对应的二次变差进程是，知足对任意划分，即，设，，令，当时有，，当记为特别，标准Brown运动的二次变差进程为定理4.3.1(Doob定理)若是是持续鞅，则有界持续鞅随机积分存在定理定理4.3.2(积分存在定理)设是有界持续鞅，且对所有，，假设则存在一个线性映射，它把中的函数映射到概念在上的持续鞅空间上，知足若是是如下形式的函数（简单函数），即，其中，，，当时，，是可测的随机变量，且。则若是，那么有概念4.3.3对，记称为进程关于持续鞅的随机积分。持续鞅的随机积分和Ito积分有相同性质。持续半鞅的随机积分概念4.3.4假设是有界持续鞅，是有界变差进程，概念，称随机进程为持续半鞅。对任意关于半鞅的随机积分概念为§4.4Ito公式Ito公式主如果解决随机进程函数的微积分问题，专门是有关Brown运动函数的微分形式和积分表达式在数理金融学中有着极为重要的应用。设是由标准Brown运动生成的域流，假设则函数关于在上的积分仍然是一个随机进程，形式上其微分可记为上式称为随机进程关于Brown运动的微分形式。Ito公式是解决Brown运动的函数的微分形式表达问题。定理4.4.1（Ito引理）若二元函数知足：存在且持续，而且对几乎所有的函数，则有其微分形式可表示为：Ito公式的证明思路（可参看P82）：将区间划分为各点，即，设，是的左端点，，令，在每一个分割小区间上用泰勒展开其中，利用Ito积分概念能够证明注意：在证明顶用到两个结论：，定理4.4.2（一般Ito引理）设，是有界持续鞅，且对所有，。若二元函数知足：，存在且持续，而且对几乎所有的函数，则有其微分形式可表示为：特别当时，有分步积分公式：其微分形式可表示为：推论：若函数的二阶导函数存在且持续，而且对几乎所有的函数，则有其微分形式可表示为：例题利用Ito公式计算，，1）（）解：令由Ito公式即由于再由Ito积分性质所以由于，，，，，作业题：1）求，2）已知是标准Brown运动，概念，求i)的微分表达形式;ii);iii)说明在知足什么条件时是鞅进程。3)用Ito公式证明：Ito进程与Ito随机微分方程设随机进程知足如下Ito积分：对任意有（*）等价于微分形式（**）其中，是二元持续函数，且对任意，，称式（*）为Ito随机积分方程，式（**）为Ito随机微分方程。（**）式的直观解释：随着时刻的转变和Brown运动的转变致使了随机进程的改变是由两部份组成：一部份是由速度为的决定性运动产生的位移，称为漂移项；另一部份是随机位移，它等于标准Brown运动在内的位移与的乘积，即称为扩散项。Ito进程函数的Ito随机积分与微分表示。定理4.4.3（一般Ito引理）设随机进程知足：对任意有二元函数知足：存在且持续，而且对几乎所有的函数，令，则随机进程，对任意，知足下列方程：微分形式利用Ito公式可求解随机微分方程。随机微分方程解的存在性定理：已知随机微分方程设知足下列条件它们都是二元持续的，而且关于和的一致持续函数；知足增加条件：Lipschitz条件：其中为某正数，与，则上述随机微分方程存在唯一解。例子：求随机微分方程，的解。并求，解：方程两边乘以，则有即，对上式两边积分可得所以随机指数若随机进程知足方程，则称随机进程是关于Brown运动的Ito指数。显然由Ito公式能够验证为方程，的解。而不是上方程的解。证明对利用Ito公式可得即几何Brown运动（股票波动模型）若随机进程知足方程其中，和是常数，称该进程为几何Brown运动。Ito公式能够验证进一步若随机进程知足方程其中，函数知足，，称该进程为广义几何Brown运动。广义几何Brown运动可表示为求解：令则由Ito公式所以有所以Black和Scholes用几何Brown运动来刻画股票的波动规律，并取得了著名的B-S公式。O-U进程和指数O-U进程若随机进程知足方程，其中是常数，称随机进程为Ornstein-Uhlenbeck进程。（Langevin在1908年用该进程来模拟和研究Brown质点的运动速度。）令，由Ito公式可证明Ornstein-Uhlenbeck进程可表示为进一步，若随机进程知足方程，其中是常数，称随机进程为指数Ornstein-Uhlenbeck进程。1．假设股票价钱知足如下随机微分方程:，其中是概念在完备概率空间上的标准Brown运动,为常数，而且,则上述方程的解为：进一步求该方程的解。求解：令可得2．解方程，解：令，由Ito公式，类似可求解1），的解为：2），是可微函数，则的解为：3），是可积函数，令，则的解为：3．解方程，解：令，由Ito公式同1）可解。注意：4．求解方程，解：若是则由Ito公式代如方程得：所以有由此可得，由得随机利率模型在金融衍生产品的定价理论中下列方程常被用来刻画随机利率的波动规律1)均值回归模型（Vasicek模型，是由Vasicek1977年提出的）其中为常数。对函数利用Ito公式，即可的上方程1)的解为2)CIR利率模型（Cox-Ingersoll-Ross于1985年提出）其中为常数。令，由Ito公式可得特别，当时，于是知足的微分方程。3）双平方根模型（Beaglehole和Tenny在1992年提出的）其中为常数，且时，令，由Ito公式可得所以有4）弹性波动率模型（CKLS模型，是由Chan,Karolyi,Longstaff和Sanders在1992年提出）其中是常数，令，由Ito公式可得5）利率的Black-Karasinski模型，其中是标准布朗运动，其中是时刻的肯定函数而且是可积函数，由Ito公式可得事实上，令，由于=则将上式两边乘，有即两边同时积分有由于所以其他模型的求解留为作业。作业：1.求解随机微分方程，2.求解随机微分方程，3.求解随机微分方程令，则令则由Ito引理得：即则当时知足的微分方程是：而当时知足CIR模型解为：（2）当知足：和知足：且时，知足的微分方程，由Ito定理取得：=代入和的微分方程能够取得：上式即为知足已知条件的微分方程。由上面求出可知4.用Ito公式证明§4.5Girsanov定理与鞅表示定理等价鞅测度在资产定价理论中有着重要的地位，在给定的金融市场模型中，若是存在一个概率测度（等价鞅测度）使得资产的折现价钱进程为鞅进程，则市场是无套利的，若是等价鞅测度存在且唯一则市场是完备无套利市场。对给定市场模型，寻觅是资产折现价钱进程为鞅的概率测度（鞅测度），是解决资产定价问题的关键。本节将讨论随机进程在等价概率测度变换下的一些性质。等价概率测度：设是概率空间，若是对任意，有称在上概率测度关于绝对持续。记为，若同时有，称与等价。记为。上概率测度关于绝对持续的充要条件是存在一个非负随机变量使得。称为关于的密度。记为，如果有存在非负随机变量使得，则。随机变量的测度变换：设是概念在上的标准正态随机变量，做一个测度变换，令，则能够验证，所以，概念一个新的随机变量则随机变量在概率测度下仍然是标准正态散布。对Brown运动，咱们有如下定理。定理4.5.1（Girsanov定理）设是知足且关于适应的进程，而且使如下概念的进程，是一个鞅进程。令，概念一个新的随机进程，则随机进程在概率测度下是一个标准Brown运动。注：1）定理中适应进程，必需知足i)ii)进程是一个鞅。引理4.5.1（Novikov条件）设是局部鞅的可料进程，知足则是鞅.定理4.5.2（Novikov定理）若适应进程知足则是一个鞅。条件是著名的Novikov条件。2）概率测度与等价。事实上，由于是一个鞅所以，3）利用测度变换定理能够计算任意随机进程关于概率测度的期望。更一般有，引理4.5.2设与等价，且.则适应的右连左极（Cadlag）进程是局部鞅（鞅）的充要条件是是局部鞅（鞅）.Girsanov定理证明思路：只需要证明是鞅。利用Ito引理易证明。Black-Scholes市场模型是一个完备的无套利市场模型。设股票价钱进程是概念在滤子概率空间上的几何Brown运动，即知足设市场上无风险利率为，，股票的折现价钱进程记为，，证明存在概率测度，使得折现价钱进程是鞅。证明：由Ito公式可得所以有令（）其中，概念：显然有所以。而且容易证明：，是由Girsanov定理可得是关于的Brown运动。所以有即再由Ito积分性质可知是鞅。由于当，给按时，是唯一的，所以等价鞅测度也是唯一的。鞅的表示定理概念4.5.2一个鞅若是对任意知足称其为平方可积鞅。定理4.5.3设是标准Brown运动，是完备的自然滤子流.则对任意一个均方可积鞅有表示式（4.5.1）其中是可积的可料进程，即。定理4.5.4设是维Brown运动，是完备的自然滤子流.则对任意一个局部均方可积的局部鞅有表示式（4.5.2）其中是可积的可料进程，即，.1.5.3随机分析中常常利用的大体定理Ito引理1.5.9设是维半鞅，（有二阶持续偏导数）.则是一个半鞅而且知足（1.5.6）特别，若是半鞅，（是二次持续可微函数）.则是一个半鞅而且知足（1.5.7）Doleans-DadeExponential定理1.5.10设是一个半鞅，，则存在唯一的半鞅知足随机积分方程（1.5.8）即（1.5.9）特别1）当是标准Brown运动时；2）当，是强度为的Poisson进程时Meyer-Girsanov定理1.5.11设与等价且.是关于的半鞅且有分解其中是局部鞅，是进程（有限变差进程），则是-半鞅且有分解其中是局部鞅，是进程（有限变差进程）.Meyer-Girsanov定理说明：在将变换成的进程中，由Girsanov变换销去了中的漂移项，该定理提供了构造等价鞅测度的方式.引理1.5.12设与等价，且.则适应的右连左极（Cadlag）进程是局部鞅（鞅）的充要条件是是局部鞅（鞅）.下面引理可由黄志远（2001）定理证明.引理1.5.13（Novikov条件）设是局部鞅的可料进程，知足（1.5.10）则是鞅.推论1.5.14设关于是半鞅且有分解，其中是局部鞅，是在紧集上有有界变差的适应的右连左极进程（Cadlag）.设的可料进程，知足（1.5.11）则，令，概念测度使得对给定有，则，在测度下是局部鞅.证明由随机指数概念得，而与等价，且Novikov条件知是鞅，由Grisanov定理是局部鞅，而，故是局部鞅.Kunita-Watanabe分解1.5.15设是实值的平方可积的局部鞅（），是值的平方可积的局部鞅（），则有下列形式的分解：，（1.5.12）其中，而且与正交（）.Galtchouk-Kunita-Watanabe分解1.5.16若值进程是持续的局部鞅，则任意对任意，概念是的右连左极修正，则是一致可积的鞅，而且有下分解：，，（1.5.13）其