浙江省2015年高考理科数学必考题型过关练专题1-5共21份

目录

第1练小集合，大功能...........................................................2

第2练常用逻辑用语中的“常考题型”............................................6

第3练突破充要条件的综合性问题...............................................12

第4练再谈“三个二次”的转化策略.............................................17

第5练如何用好基本不等式......................................................24

第6练处理好“线性规划问题”的规划...........................................31

第7练基本初等函数问题........................................................39

第8练函数性质在运用中的巧思妙解.............................................45

第9练分段函数，剪不断理还乱.................................................53

第10练化解抽象函数快捷有效的几个途径.......................................60

第11练寻图有道，破解有方——函数的图象问题................................67

第12练函数的零点——关键抓住破题题眼.......................................75

第13练以函数为背景的创新题型................................................83

第14练三角函数化简与求值策略................................................90

第15练三角函数的图象与性质.................................................98

第16练解三角形问题.........................................................107

第17练平面向量中的线性问题.................................................116

第18练关于平面向量数量积运算的三类经典题型................................123

第19练基本量——破解等差、等比数列的法宝..................................133

第20练常考的递推公式问题的破解方略........................................140

第21练数列求和问题大全.....................................................147

知识•考点•题型篇——练透高考必会题型

集合与常用逻辑用语

第1练小集合，大功能

■典例剖析

题型一单独命题独立考查

例1已知集合/={1,2,3,4,5},B={(x,y)\x^A,y&A,x-y^A},则8中所含元素的个

数为()

A.3B.6C.8D.10

破题切入点弄清“集合的代表元素”是解决集合问题的关键.

答案D

解析V5={(x,y)\x&A,y^A,x-y^A},/={1,2,3,4,5},

.*.x=2,j/=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3；x=5,y=1,2,3,4-

・・・8={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},

•••8中所含元素的个数为10.

题型二与函数定义域、值域综合考查

例2设函数段)=3(1一¥),集合"=">=危)},8=()亚=负》)},贝U

图中阴影部分表示的集合为()

A.[-1,0]B.(-1,0)

C.(-8,-l)U[0,l)D.(一8,-l]U(0,l)

破题切入点弄清“集合”代表的是函数的定义域还是值域.如何求其定义域或值域？

答案D

解析因为4={x[y=/)}={x[l-/>0}={x|-14<1}.

则"=1”6(0,1],

所以5=白*=於)}=W*W0},AUB=(-°°,1),^(15=(-1,0],

题图阴影部分表示的集合为(/C(R8)U(8n[R，)

=(0,l)U(-o=,-1],故选D.

题型三与不等式综合考查

例3若集合[={x|f-x-2<0},8={x|-2q：<a},则的充要条件是()

A.a>—2B.QW—2

C.a>—1D.a^~\

破题切入点弄清“集合”代表不等式的解集，“4CBR说明两个集合有公共元素.

答案C

解析A={x\-l<x<2},B={x[-2<x<a},

如图所示：-2-1a012x

：.a>~1.

总结提高(1)集合是一个基本内容，它可以与很多内容综合考查，题型丰富.

(2)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，

要注意检验结果.

⑶对于给出已知集合，进行交集、并集与补集运算时，可以直接根据它们的定义求解，也

可以借助数轴、Venn图等图形工具，运用分类讨论、数形结合等思想方法，直观求解.

■精题狂练

1.已知集合1=30<10%<1},8="kW2},则/nb等于()

A.(0,1)B.(0,2]

C.(1,2)D.(1,2]

答案D

解析A={x|l<x<4},B={x|x<2},

{x|l<xW2}.

2.已知集合Z={x^+x—2=0},8={x|ax=l},若则。等于()

A.或1B.2或一1

C.—2或1或0D.一；或1或0

答案D

解析依题意可得=

因为集合/={x\x2+x-2=0}={-2,1},

当x=-2时，-2a=l,解得片弓

当x=1时，a=1;

又因为8是空集时也符合题意，这时〃故选D.

3.已知集合力={耳/-2x>0},B={x[—邓<x<小),贝ij()

A.ACB=。B.4U8=R

C.BQAD.AEB

答案B

解析易求Z={x|x〈O或x>2},显然/U8=R.

4.(2014•浙江)设全集U={xGNk22},集合4={xeNN25},贝此〃等于()

A.0B.{2}C.{5}D.{2,5}

答案B

解析因为/={xeN,W-小或xN小},

所以[〃="eN|2Wx<小},故»={2}.

5.已知M=(y|y=2x},N={(x,y)\x2+y2—4},则MCN中元素个数为()

A.0B.1C.2D.不确定

答案A

解析集合团是数集，集合N是点集，

故其交集中元素的个数为0.

6.设集合5=梯>2},7={X«2_3L4W0},则等于()

A.(2,4]B.(-8,-1)

C.(-8,2]D.(4,+8)

答案B

解析因为7={x|-1WXW4},

所以([R»n([RQ=(R(SUQ=(-8,-1).

7.若集合/="€为苏2+水+1=0}中只有一个元素，则。等于()

A.4B.2C.0D.0或4

答案A

解析当。=0时，显然不成立；

当a20时，由/=/-44=0,得a=4.故选A.

8.已知集合/={xGR||x-1|<2},Z为整数集，则集合ZCZ中所有元素的和等于

答案3

解析={xGR|pr-1|<2}={x£R|-l<r<3},

集合力中包含的整数有0,1,2,故ZDZ={0,1,2}.

故NCZ中所有元素之和为0+1+2=3.

9.已知集合"={3,m2},5-{-l,3,2w-l}.若/三8,则实数〃，的值为

答案1

解析22,；•"/=2切-1或，“2=-1（舍）.

由m2=2m-1得机=1.

经检验〃?=1时符合题意.

10.对于E={0,。2，…，moo}的子集x={q,4,…，a.},定义X的“特征数列”

’1*2'k

为X1，X2,X100>其中/=须“一•=%=1,其余项均为0.例如：子集{。2，的}的“特

征数列”为0,1,1,0,0,…，0.

(1)子集{0,的，/}的“特征数列”的前3项和等于；

(2)若£的子集尸的“特征数列"pi，P2，…，Pioo满足“=1，p,+p,+i=l,lWW99；E的子

集0的"特征数列"<j]t仅，…，4ioo满足41=1，％+%+i+%+2=1』WjW98,则PCQ的

元素个数为.

答案(1)2(2)17

解析(1)由题意，可得子集{。|,。3,比}的''特征数列”为1,0,1,0,1,0，…，0,所以前3项

和为1+0+1=2.

(2)由题意,可知P的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,…，0,

则/={«1，%。5，…，。993有50个元素.

即集合尸中的元素的下标依次构成以1为首项，2为公差的等差数列，

即这些元素依次取自集合£中的项。2”-QW〃W50,〃CN*).

。的''特征数列”为1,0,0,1,0,03…，1，

则0={。1，。4，。7，00，…，moo}，有34个元素.

即集合。中的元素的下标依次构成以1为首项，

3为公差的等差数列，

即这些元素依次取自集合E中的项。3”-2(lW"W34,〃CN*).

而产中的元素是由这两个集合中的公共元素构成的集合，

所以这些元素的下标依次构成首项为1,

公差为2X3=6的等差数列，

即这些元素依次取自集合E中的项％,「5，

由1^6/7-5^100,解得1W1W学

又“EN*,

所以1W/W17,即尸的元素个数为17.

11.已知函数於)=\^不9一;的定义域为集合/,函数g(x)=lg(—f+2x+M的定义域为

集合B.

(1)当加=3时，求/C([R8)；

⑵若4CB={x|—求实数机的值.

解(1)当加=3时，8={x|-1QS3},

则[R8={x|xW-1或x>3},

又Z={x[T<xW5},

.•./C([R8)={x|3WxW5}.

(2)：/={x|-&W5},{x|-134},

故4是方程-产+益+m二。的一个根，

.,.有-4?+2X4+，〃=0,解得机=8.

此时8={x|-2<x<4},符合题意.

因此实数机的值为8.

12.已知集合4={x[3Wx<7},8={x|2X10},C={x\x<a},全集为实数集R.

(1)求/US；

⑵([R/)C8；

(3)如果/CCW。，求。的取值范围.

解(1)因为/={x|3Wx<7},B={x\2<x<\0],

所以NU8={x[2<x<10}.

(2)因为Z={x[3Wx<7},

所以(R/={x|x<3或x27}.

所以(CRZ)CB={x\x<3或x27}A{x|2<x<10}={x\2<x<3或7^x<10}.

(3)如图，当a>3时，/CCW0.

37x

第2练常用逻辑用语中的“常考题型”

■典例剖析

题型一充分必要条件问题

例1(1)若y(x)和g(x)都是定义在R上的函数，则)x)与g(x)都为增函数”是“/(x)+g(x)

是增函数”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

(2)已知函数<x)=Ncos((yx+夕)(4>0,co>0,pWR),则“/(x)是奇函数"是的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

破题切入点⑴增函数的性质以及互相推出的关键.

(2)三角函数的图象和性质要熟练掌握.

答案(1)A(2)B

解析(1)若与g(x)都为增函数，

根据单调性的定义易知外)+ga)为增函数；

反之/(x)+g(x)为增函数时，

例如负x)=-X,g(x)=2x,y(x)+g(x)=x为增函数，

但/(x)为减函数，g(x)为增函数.

故"心)与g(x)都为增函数”是“/(x)+g(x)是增函数”的充分不必要条件•

(2)夕=^^/(JC)=Zcos((ox+§=-/sincux为奇函数，

TV

...”兀0是奇函数”是“9=*'的必要条件.

又/(x)=Acos(cox+°)是奇函数=7(0)=009=^+kit(keZ)Z)力夕=，

“外)是奇函数”不是的充分条件.

即“火X)是奇函数”是“9=5”的必要不充分条件.

题型二逻辑联结词、命题真假的判定

例2下列叙述正确的个数是()

①/为直线，a、夕为两个不重合的平面，若I邛,a邛,

则/〃a；

②若命题p：3xoR,/一xo+IWO,则p：Vx£R,%2-x+1＞0；

③在△ABC中，“NZ=60。"是"cos/=；”的充要条件；

④若向量“，5满足”心＜0,则a与〜的夹角为钝角.

A.1B.2C.3D.4

破题切入点判定叙述是否正确，对命题首先要分清命题的条件与结论，再结合涉及知识

进行判定；对含量词的命题的否定，要改变其中的量词和判断词.

答案B

解析对于①，直线/不一定在平面a外，错误；对于②，命题p是特称命题，否定时要写

成全称命题并改变判断词，正确；③注意到a/BC中条件，正确；④a山＜0可能〈a,b)=

兀，错误.故叙述正确的个数为2.

总结提高(1)充要条件的判断及选择：首先要弄清楚所要考查的相关知识并将其联系起

来；其次充要条件与互相推出的关系，有时以集合形式给出时找集合间的包含关系.牵扯

到比较复杂的问题时，要将条件转化之后再判断.

(2)命题真假的判定方法，注意真值表的使用.

(3)四种命题的改写及判断真假.

(4)含有一个量词的命题的否定的改写方法.

■精题狂练

1.已知集合/=｛1,a｝,8=｛1,2,3｝,则“a=3”是的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若。=3,则/=｛1,3｝18,

故。=3是的充分条件；

而若工£8,则。不一定为3,

当a=2时，也有418.

故4=3不是力工8的必要条件.故选A.

2.命题“若a号则tana=l”的逆否命题是()

7T

A.若a则tan1

TT

B.若a=『则tanaWl

TT

C.若tana#1,则1#彳

D.若tanaWl,贝U

答案C

解析由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tanaWl,则aW/

3.下面是关于公差办0的等差数列｛%｝的四个命题：

Pi：数列｛/｝是递增数列；

P2：数列｛〃％｝是递增数列；

P3：数列拗是递增数列；

P4：数列｛。“+3〃或是递增数列.

其中的真命题为()

A.Pt，p2B.P3，P4

C.p2,P3D.Pl，P4

答案D

解析如数列-2,-1,0,1,2,,,,,

则1X0=2X02,排除P2，

如数列1,2,3,…，则岸=1,

排除P3，故选D.

4.已知小吾<1,q：(x-a)(x-3)>0,若是^4的必要不充分条件，则实数。的取值

范围是()

A.(一8,1)B.[1,3]

C.[1,+8)D.[3,+°°)

答案C

2xx+1

解析_j-1<0=>^._j<0=>(x-l)(x+l)<0=>p:-.当a23时，q:x<3或x>〃；当

q<3时，q:x〈a或是^夕的必要不充分条件，即p是g的充分不必要条件，即p

=>q且寸面9,从而可推出。的取值范围是ael.

5.命题“对任意xCR,都有f2。”的否定为()

A.对任意xCR,都有x2<0

B.不存在xWR,使得x2<0

C.存在xoGR,使得君20

D.存在x°GR,使得看<0

答案D

解析全称命题的否定是一个特称命题，故选D.

6.若命题小函数y=f—2x的单调递增区间是口，+8),命题快函数y=x—(的单调递

增区间是口，+°°),贝!]()

A.p/\g是真命题B.pVg是假命题

C.是真命题D.是真命题

答案D

解析因为函数y=f-2x的单调递增区间是[1,+8),所以0是真命题；

因为函数卜=乂-:的单调递增区间是(-8,0)和(0,+8),所以4是假命题.

所以。八4为假命题，pVg为真命题,

为假命题，^4为真命题，故选D.

7.下列关于命题的说法中错误的是（）

A.对于命题p：2R,使得f+x+l<0,则p：VxGR,均有f+x+l》。

B.“x=l”是"$_3》+2=0”的充分不必要条件

C.命题“若X2—3X+2=0,则x=l”的逆否命题为：“若x"l,则X2-3X+2#0”

D.若为假命题，则p,«均为假命题

答案D

解析对于A,命题VxGR,均有f+x+120,因此选项A正确.对于B,由x=l

可得f-3x+2=0;反过来，由f-3x+2=0不能得知x=l,此时x的值也可能是2,因

此"x=1"是''f-3x+2=0”的充分不必要条件，选项B正确.对于C,原命题的逆否命

题是：“若x#l,则f-3x+2W0”，因此选项C正确，故选D.

8.下列命题中，是真命题的是（）

A.存在xG0,sinx+cosx>yj2

B.存在xG（3,+8）,使2X+12X2

C.存在xGR,使f=x-l

D.对任意xG（0,，,使sinx<x

答案D

解析A中，•.,sinx+cosx=^sinQ+；）W也，

**-A错误；

B中，2x+l2x2的解集为［l-也，l+也］,故B错误；

C中，/=（-l）2-4=-3<0,

=的解集为。，故C错误；

D正确，且有一般结论，对Vx6（0,。

均有sinx<x<tanx成立，故选D.

9.“夕=兀”是“曲线y=sin（2x+。）过坐标原点”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析当夕=兀时，y=sin（2x+兀）=-sin2x,

则曲线y=-sin2x过坐标原点,

所以"<p=n"n"曲线y=sinQx+夕）过坐标原点”；

当9=2兀时，y=sin（2x+2兀）=sin2x,

则曲线y=sin2x过坐标原点,

所以“夕=兀"Z片/“曲线y=sin（2x+°）过坐标原点”,

所以“0=兀”是“曲线y=sin（2x+0）过坐标原点”的充分而不必要条件，故选A.

10.下列命题中错误的是（）

A.命题“若¥-5X+6=0,则X=2”的逆否命题是“若X#2,则？-5叶6#0”

B.若x,y£R,则“x=y”是“kW（空》中等号成立”的充要条件

C.已知命题p和q,若pVq为假命题，则命题p与g中必一真一假

D.对命题p：使得2or—a&O,则p：VxGR,x2—2ax—a2^0

答案C

解析易知选项A,B,D都正确；选项C中，若/A/q为假命题，根据真值表，可知p,q

必都为假，故C错.

II.设加，〃是空间两条直线，a,4是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（）

A.当w±a时，“〃邛”是“a〃夕’成立的充要条件

B.当mUa时，“机，夕'是"a,夕’的充分不必要条件

C.当m<=a时，“〃〃a”是“机〃〃”的必要不充分条件

D.当,〃Ua时，是的充分不必要条件

答案C

解析与同一条直线垂直的两个平面平行，反之，当两个平行平面中有一个与一条直线垂

直时，另一个也与这条直线垂直，选项A正确；根据平面与平面垂直的判定定理，选择B

正确；当直线时，直线〃不平行于平面a,选项C不正确；根据线面垂直的性质，选

项D正确.

12.对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是（）

A.逆命题为“周期函数不是单调函数”

B.否命题为“单调函数是周期函数”

C.逆否命题为"周期函数是单调函数”

D.以上三者都不正确

答案D

解析根据四种命题的构成可得选项A、B、C中结论均不正确.

第3练突破充要条件的综合性问题

■典例剖析

题型一充分必要条件的判断方法

例1"e'e"是"1脸心1脸6”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

破题切入点有关充要条件的判断问题，弄清楚谁是条件谁是结论，然后看谁能推出谁.

答案B

解析因为e">e&a>6,

所以取4=1,6=-1,

则a>bRlog24>log2。；

若log2<7>log26)则a>b.

综上，uea>ebnD“log2a>log26”，

但<="log2a>log2b”.

l<w

所以是log2«>log26的必要而不充分条件.

题型二根据充要条件求参数范围

10g2X,X>0,

例2函数4x)=小，-c有且只有•个零点的充分不必要条件是()

.2a,0

A.<7<0B.0<<2<^

C.^<a<lD.aWO或q>l

破题切入点把函数用0的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，从而求出<x)有一

个零点的充分必要条件，再利用“以小推大”的技巧，即可得正确选项.

答案A

解析因为函数兀0过点(1,0),所以函数J(x)有且只有一个零点台函数y=-2'+a(xW0)没有

零点o函数'=2工(工忘0)与直线y无公共点.由数形结合，可得aWO或心1.

所以函数兀v)有且只有一个零点的充分必要条件是&W0或应排除D;当时，函

数y=-2、+a(xW0)有一个零点，即函数./(x)有两个零点，此时0<a<；是函数/(x)有且只有一

个零点的既不充分也不必要条件，应排除B;同理，可排除C,应选A.

总结提高(1)充要条件的判断，首先要审清什么是条件，什么是结论，然后再看谁能推出

谁，有些还可以先找出条件和结论的等价条件，再看谁能推出谁，还有一些数集或集合形

式给出的条件或结论，可以从集合的观点来判断充要条件.

(2)根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、

定理、图象等将原问题转化为最值问题、有解问题等，得到关于参数的方程或不等式

(组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)求出参数的值或取值范围.

■精题狂练

1.甲：xW2或y#3；乙：x+yW5,则()

A.甲是乙的充分不必要条件

B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

答案B

解析“甲0乙"，即"xW2或。"x+yW5”，其逆否命题为：“x+y=5”今"x

=2且y=3”显然不正确.同理，可判断命题“乙台甲”为真命题.所以甲是乙的必要不

充分条件.

2.设命题p：|4x-3|Wl；命题g：x2-(2o+l)x+a(a+l)<0,若㈱p是㈱g的必要不充分

条件，则实数。的取值范围是()

A[0,B.(0,I)

C.(—8,O)ug,+8)D・(—8,0)U(j,+8)

答案A

解析|4x-3|>l；

糠q;x2-(2a+l)x+a[a+l)>0,

解得^p：x>l或糠q：x>a+1或x<a.

A1

若㈱p<=^g,则j2或J2即(XW,

+1>1la+121,

3,设心0且则“函数外)="在R上是减函数”是“函数ga)=(2—0d在R上是

增函数”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由题意知函数/（、）=".在R上是减函数等价于函数g（x）=（2-a）x3在R上是

增函数等价于0<<7<1或\<a<2,

“函数兀0="在R上是减函数”是“函数g（x）=（2-a）?在R上是增函数”的充分不必

要条件.

4.（2014・湖北）设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得4=8=[°C”是“408

=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案C

解析若存在集合C使得4UC,8a[°C,则可以推出ZAB=。；

若工。8=0,由Venn图（如图）可知，存在/=C,同时满足Z=B^uC.

故“存在集合C使得/WC,8£[出”是“208=0”的充要条件.

5.设平面a与平面£相交于直线机，直线a在平面a内，直线6在平面尸内，且则

“a_L/T是“a_Lb”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析当a_L//时，由于=机，bUR,h±m,由面面垂直的性质定理知，h±a.

又taUa,"a_L.”是“a_Lb”的充分条件.

而当。Ua且。〃“7时，bl.m,.,.bA.a.

而此时平面a与平面夕不一定垂直，

:.“2”不是“皿”的必要条件，故选A.

6.um——\''是"直线/i：2x—叩=2加一1与直线邑x+2/„_y=/M—2垂直”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若加=-1,则直线小，2垂直；

若直线/卜，2垂直，则有加=±1,

所以"m=-1"是"直线2x-叼=2〃?-1与直线6：x+2叼=加-2垂直”的充分不必

要条件.选A.

7.给定两个命题p,夕.若是4的必要而不充分条件，则p是^^的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由题意知：（逆否命题）「今^夕.

8.已知下列各组命题，其中p是g的充分必要条件的是（）

A.p：mW—2或机26；q-.y=x2+/nx+，〃+3有两个不同的零点

C.p：cosa=cos/f；q：tana=tan夕

D.p：AQB^A；q：A^U,BJU,［述与〃

答案D

解析对于A,由y=f+/„x+m+3有两个不同的零点，可得/=＞-4（/w+3）＞0,从而可

得加v-2或加＞6.所以p是g的必要不充分条件；

对于B,

=1,例如函数/（x）=0,所以。是夕的充分不必要条件；

对于C,当cosa=cos/?=0时，不存在tana=tan/?,反之也不成立，所以p是q的既不充

分也不必要条件；

对于D,由知所以［曲

反之，由［4三（/，知即

所以pOq.

综上所述，p是q的充分必要条件的是D.

2777—3

9.在直角坐标系中，点。m+3—加2,吉：）在第四象限的充分必要条件是.

3

答案—1＜加＜5或2＜tn＜3

2m+3-〃?2>o,

2/W-3；3a

解析点(2"7+3-m2,2_加)在第四象限oj2m-3Q-或2<m<3.

10.已知命题p：实数加满足疗+12（?<7。皿。>0）,命题小实数相满足方程高■+黄£=

1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是4的充分不必要条件，。的取值范围为.

口案L3,8.

解析由a>0,m2-7am+12<72<0,得3a<m<4a,

即命题p:3a<n?<4a,a>0.

22

由y+六=1表示焦点在y轴上的椭圆，

m-12-w

,3

可得2-加解得IvmV］,

3

即命题g:l<w<2.

因为P是夕的充分不必要条件，

13

所以〈二或<3解得把aW看

14QV/,J&

所以实数。的取值范围是P卜l，j3-l.

H.给出下列命题：

①“数列｛仇｝为等比数列”是“数列｛仇仇+1｝为等比数列”的充分不必要条件；

②“。=2”是“函数段）=|%—々|在区间［2,+8）上为增函数”的充要条件；

③"相=3"是“直线（/w+3）x+/wy—2=0与直线加x—6y+5=0互相垂直”的充要条件；

④设a,b,c分别是△4BC三个内角4B,C所对的边，若a=l,方=小，则“4=30。”

是“8=60。”的必要不充分条件.

其中真命题的序号是.（写出所有真命题的序号）

答案①④

解析对于①，当数列｛%｝是等比数列时，易知数列｛。,而.|｝是等比数列；但当数列｛%%*|｝

是等比数列时，数列｛为｝未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应

的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确.对于②,当aW2时,函数次x）=|x-a|在

区间［2,+8）上是增函数，因此②不正确.对于③，当加=3时，相应的两条直线垂直；

反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出，〃=3,也可能得出机=0,因此③不正

确.对于④，由题意，得"=小，当8=60。时，有sin/=J,注意到故/=

30°；但当/=30。时，有sin8=坐，8=60。或8=120。，因此④正确.

12.下面有四个关于充要条件的命题：①“向量〃与非零向量a共线”的充要条件是“有且

只有一个实数7使得6=加”：②"函数y=f+6x+c为偶函数”的充要条件是“6=0”；

③“两个事件为互斥事件”是“这两个事件为对立事件”的充要条件；④设夕6R,则“夕

=0”是“/(x)=cos(x+0)(xWR)为偶函数”的充分不必要条件.其中，真命题的编号是

.(写出所有真命题的编号).

答案①②®

解析由共线向量定理，知命题①为真.当6=0时，了=/+瓜+。=/+。显然为偶函数，

反之，y=W++c是偶函数，则(+b(-x)+c=f+bx+c恒成立，就有bx=0恒成

立，得6=0,因此②为真.对立事件是互斥事件的特殊情形，所以③为假.在④中，若夕

=0,则y(x)=cosx是偶函数.但是若/(x)=cos(x+p)(xGR)是偶函数，则0=兀也成立，故

“9=0”是'7(x)=cos(x+°)(xGR)为偶函数”的充分不必要条件.

知识•考点•题型篇——练透高考必会题型

不等式与线性规划

第4练再谈“三个二次”的转化策略

■典例剖析

题型一函数与方程的转化

[|lgx|,x>0,,

例1设定义域为R的函数/)=，2一贝快于x的函数y=2/(x)—3段)+1

—X~2x,xWO,

的零点的个数为.

破题切入点将函数的零点问题转化为对应方程根的问题.

答案7

解析由y=^(x)-3/(x)+1=0得7(x)=；或兀。=1,

如图画出./(x)的图象，由/(x)=权口有4个根,

由於):1知有3个根，故共有7个零点.

题型二函数与不等式的转化

例2已知一元二次不等式用)<0的解集为“阵-1或x>；},则/(10')>0的解集为()

A.1或x>lg2}B.{x|—l<x<lg2}

C.{x|x>_1g2}D.{x[x<_1g2}

破题切入点由题意，可得用0»0等价于-1V102；,由指数函数的单调性即可求解.

答案D

解析方法一由题意可知y(x)>o的解集为国-

故40》0等价于-1<10'弓，

由指数函数的值域为(0,+8),知一定有

2

11g2

而10'<^可化为10'<10,

即10*<10182.

由指数函数的单调性可知x<-1g2,故选D.

方法二当x=1时，.*10)0,排除A,C选项.

当x=-1时，舄)>0，排除B.

题型三方程与不等式的转化

例3已知关于x的二次方程X2+2/MX+2/„+1=0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(-1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求朋的取值范围；

(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的取值范围.

破题切入点将二次函数的特殊点按照题目要求固定到区间内，转化为不等式(组)进行求

解.

解⑴由条件，抛物线外)=f+2/wx+2,”+1与x轴的交点分别在区间(-\「/

1,0)和(1,2)内，如右图所示，->yV2i

x0)=2m+KO

得〈X-l)=2>0

/(1)=4m+2<0

<X2)=6m+5>0

1

m<-r

"7ER,

51

1即m-不利<一了

5

w>-6-

故“7的取值范围是(-亲-1).

(2)抛物线与x轴交点的横坐标均在区间(0,1)内，如右图所示，列不等式组

二烦>0

<Xl)>0

心0

.0<-m<\

C1

加>一1，

11

今3m>-即-/〈mWl-g.

加21+陋或mWl一小,

<-1<w<0.

故m的取值范围是(-g,1-巾］.

总结提高“三个二次”是一个整体，不可分割.有关“三个二次”的问题的解决办法通

常是利用转化与化归思想来将其转化，其中用到的方法主要有数形结合、分类讨论的思

想，其最基本的理念可以说是严格按照一元二次不等式的解决步骤来处理.

■精题狂练

1.若4=3/+3+2我+1=0,xeR},B={x\x>0},且ZG3=0,则实数p的取值范围是

()

A.p>—4B.—4<p<0

C.p》0D.R

答案A

解析当4=。时，/=防+2)2-4<0,

-4Vp<0.

当NW。时，方程x2+(p+2)x+1=0有一个或两个非正根，

心0,

/.1.•卬20.

上1+尤2=-g+2)wo,

综上所述，p>-^.

2.已知函数1x）=》2—2x+3在闭区间[0,河上的最大值为3,最小值为2,则〃？的取值范

围为（）

A.[1,+°°）B.[0,2]

C.（-8,-2]D.[1,2]

答案D

解析V/x）=（X-I）2+2,其对称轴为X=l,当X=1时，<x）min=2,故机>1,XV/O）=

3,<2）=3,3/MW2.综上可知1—

♦3

3.方程x?一那一m=0在xG[—1,1]上有实根，则皿的取值范围是（）

c95

A.Z一mB・—T7</w<r

162

D.一2WmW,

fn

C.^2162

答案D

角星析m=x2-^x=[x-^2-x^[-1,1].

当x=T时，机取最大值为5，

3995

当x=a时，加取最小值为一讳，，一而W加w.

x+1,xWO,

4.已知函数<x）=若关于x的方程/。）一班工）=0恰有5个不同的实数

X2—2X-\-1,x>0,

解，则。的取值范围是（）

A.（0,1）B.（0,2）

C.（1,2）D.（0,3）

答案A

解析设1=段），

则方程为=0,

解得/=0或1=夕，

即加）=0或/）=a

如图，作出函数4）的图象,

由函数图象，可知於）=0的解有两个，

故要使方程/（X）-=0恰有5个不同的解,

则方程/（x）=a的解必有三个，此时0<a<\.

所以。的取值范围是（0,1）.

5.（2013・重庆）若。〈加《，则函数火工）=（%—4）（工-6）+。一3（工一0+（工一。。一0的两个零点

分别位于区间()

A.(a,b)和(6,c)内B.(—°°,a)和(a,6)内

C.(b,c)和(c,+8)内D.(—°°,a)和(c,+8)内

答案A

解析由于a<b<c,所以j(a)=0+(a-b)(a-c)+0>0,f{b)=(b-c)(b-a)<0>J(c)=(c-a)(c

一份>0.因此有人a)负b)<0,&0«)<0,

又因加)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，

因此函数")的两零点分别位于区间(a,6)和S，°)内，故选A.

6.(2013•浙江)已知m6c£R,函数危)=a?+版+c.若<0)=7(4)次1),则()

A.q>0,4a+b=0B.a<0,4a+h=0

C.a>0,2a+b=0D.a<0,2a+b=0

答案A

解析由7(0)=44)知，Xx)=ax2+bx+c的对称轴为-/=2.

：.4a+b=0.

又o和1在同一个单调区间内，且犬o)yi),

，7=小)在(-8,2)内为减函数.・・.4>0.故选A.

7.若关于x的不等式(2x—1)2<妆2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是

答案得制

解析因为不等式等价于(-a+4)x2-4x+1<0,其中(-a+4)f-41+1=0中的/=4a>0,

且有4-a>0,故0<a<4,不等式的解集为三品<、<式而，则一定有{12,3}

为所求的整数解集.所以35先1五4,解得。的范围为(<年25，491.

8.已知函数<x)=x2—2冰+2,当+8)时，於)24恒成立，则4的取值范围是

答案［-3,1］

解析因为/(X)=(X-4)2+2-/,

所以此二次函数图象的对称轴为x=a

①当ae(-8,-1)时，/)在［-1,+8)上单调递增,

所以义x)min=AT)=2a+3.

要使/(X)2。恒成立，只需/(X)min》a，

即2a+32a,解得a》-3,即-3Wa<-l.

②当-1,+8)时，於)min=刎=2-Z

要使恒成立，只需./(X)min》a，

即2-/》。，解得-2<oWl,即-IWaWl.

综上，实数。的取值范围为［-3,1］.

9.已知函数外)=262+左-3.如果函数y=/(x)在区间［-1,1］上有零点，则实数”的取值范

围为.

答案+二)

解析若。=0,则/(x)=2r-3,

J(x)=0=>x=1^［-1,1］,不合题意,故QWO.

下面就々WO分两种情况讨论：

①当大-1)大1年0时，段)在上有一个零点，即(2。-5)(2。-1户0,解得

(如1户0,

②当人-1)川)>0时，")在［-1,1］上有零点的条件是<_解得

2a

综上，实数a的取值范围为仕，+8).

7Ec

10.已知定义在R上的单调递增奇函数加)，若当时，/Ccos，e+2〃7sinO)+/(—2加一

2)<0恒成立，则实数m的取值范围是.

答案(-1,+8)

解析方法一Heos?。+2/wsin8)+&一2m-2)<09/(cos%