一元二次不等式的解法(第三课时)

一元二次不等式的解法

（第三课时）

含参数的不等式

∆＝b2-4ac∆>0∆=0∆<0二次函数y=ax2+bx+c的图像(a>0)ax2+bx+c=0的根ax2+bx+c>0的解集ax2+bx+c<0的解集xyoxyo●xyox1x2●●三个二次的关系复习回顾一元二次不等式（a<0）化成a>0的形式解相应方程画出相应函数图像写出解集复习回顾一化判断对应方程的根.二判三求四画五写x2–ax–6a2<0.例4

解关于x下列不等式：（一）含参数的一元二次不等式的解法解：原不等式可化为：(x–3a)(x+2a)

<0.①当a=0时，x2<0,无解；②当a>0时，3a>

-2a，则有-2a<x<3a；③当a<0时，3a<

-2a，则有3a<x<-2a.综上，当a=0时，原不等式的解集为空集；当a>0时，原不等式的解集为{x|-2a<x<3a}；当a<0时，原不等式的解集为{x|3a<x<-2a}.题型与解法a2x2–ax–2

>0.例5

解关于x下列不等式：（一）含参数的二次不等式题型与解法x2+ax+4

>0.例6

解关于x下列不等式：ax2–(a+1)x+1

>0.例7

解关于x下列不等式：

解含参的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a∈R),把讨论对象逐级讨论，逐步解决。（一）含参数的二次不等式题型与解法归纳小结第一级讨论：二次项系数a，一般分为a>0,a=0,a<0进行讨论；第二级讨论：方程根的判别式△，一般分为△>0,△=0,△<0进行讨论；第三级讨论：

对应方程根的大小，若x1,x2分别是方程ax2+bx+c=0的两根，一般分为x1>x2,x1=x2,x1<x2

进行讨论.若某级已确定，可直接进入下一级讨论.（二）二次不等式的恒成立

例1

已知关于x下列不等式：(a-2)x2+(a-2)x+1试求a的取值范围.≥0恒成立，≥0的解集为R恒为非负≥0对任意x∈R都成立解：令y=(a-2)x2+(a-2)x+1,①当a=2时，y=1符合题意；②当a>2时，则△≤0，有2<a≤6；△＝(a-2)2-4(a-2)=(a-2)(a-6)③当a<2时，则a的值不存在；综上，所求a的取值范围为{a|2≤a≤6}.题型与解法（二）不等式的恒成立题型与解法（二）二次不等式的恒成立(2)当x∈[1,2]时，不等式x2-2mx+1≤0恒成立，

则实数m的取值范围是

.题型与解法变式训练1(1)已知不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0恒成立，求实数m的取值范围.[1,19)（二）二次不等式的恒成立(3)函数的定义域为R，

则实数k的取值范围是

.(4)不等式x2+ax+4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围

.题型与解法变式训练2(5)若不等式(2x-1)2<ax2

的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是

.(2009天津文16）(6)设0<b<1+a,若关于x的不等式(x-b)2>(ax)2

的解集中的整数恰有3个，则()(2009天津理10）A.-1<a<0B.0<a<1C.1<a<3D.3<a<6C（三）逆向问题题型与解法例2.已知不等式的解集为求a-b的值.（三）逆向问题题型与解法例2.已知不等式的解集为求a-b的值.解法一：∵不等式的解集为∴方程的两根为（三）逆向问题题型与解法例2.已知不等式的解集为求a-b的值.解法二：∵不等式的解集为∴方程的两根为由韦达定理得（三）逆向问题题型与解法例2.已知不等式的解集为求a-b的值.解法三：∵不等式的解集为由待定系数法得（三）逆向问题题型与解法变式训练2（四）一元二次方程根的分布问题例3

分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条件的m值的集合：(1)两根都大于0;(2)一个根大于0,另一个根小于0;(3)两根都小于1.解：令f(x)=x2-mx-m+3且图像与x轴相交x1x2x=m/2则△＝m2-4(-m+3)＝(m+6)(m-2)≥0得m≤-6或m≥2.题型与解法∴所求实数m的取值集合为：{m|m≤-6或m≥2}.例3

分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条件的m值的集合：(1)两根都大于0;ox1x2x=m/2解：(1)∵两根都大于0∴2≤m<3.题型与解法∴所求实数m的取值集合为：{m|2≤m<3}.（四）一元二次方程根的分布问题例3

分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条件的m值的集合：(2)一个根大于0,另一个根小于0;ox1x2x=m/2解：(2)∵一个根大于0,另一个根小于0;∴m>3.题型与解法∴所求实数m的取值集合为：{m|m>3}.（四）一元二次方程根的分布问题例3

分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条件的m值的集合：(3)两根都小于1;x1x2x=m/2解：(3)∵两根都小于1,∴m≤

-6.1题型与解法∴所求实数m的取值集合为：{m|m≤-6}.（四）一元二次方程根的分布问题借助图像“四看”：“一看”：开口方向题型与解法（四）一元二次方程根的分布问题归纳小结“二看”：判别式的正负“三看”：对称轴的位置“四看”：区间端点值的正负题型与解法（四）一元二次方程根的分布问题变式训练31.下列不等式中，解集为实数集R的是（）(B)(A)(C)(D)2.当的解是（）(A)(B)(C)(D)DC课堂练习3.（1）不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-1/2＜x＜1/3}，则a+b=

.

（2）关于x不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|x＜-2或x＞1/2}，则关于x的不等式ax2-bx+c＜0的解集为

.⑶对于任意实数x，ax2+4x-1≥-2x2-a，对于任意实数恒成立，则实数a的取值范围为

.4.当m为何值时，方程x2-2mx+2m+3=0

（1）有两个负实数根？

（2）有一个正根，一个负根.

（3）两根大于2.-14(a=-12,b=-2){x|-1/2<x<2}

a≤-3或a≥2-3/2<m≤-1m<-3/23≤