浙江省衢州市衢县航埠中学高三数学理模拟试卷含解析

浙江省衢州市衢县航埠中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设的定义域为，若满足下面两个条件则称为闭函数：①是上单调函数；②存在，使在上值域为.现已知为闭函数，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.已知集合，若，则m的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：3.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（

）A.与2015年相比，2018年一本达线人数减少B.与2015年相比，2018二本达线人数增加了0.5倍C.2015年与2018年艺体达线人数相同D.与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加参考答案：D【分析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．4.定义在上的函数满足：且，若，则的值是（

）A．

B．

C．

D．无法确定参考答案：A5.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为2，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于（）A．5π B．20π C．8π D．16π参考答案：B【考点】球的体积和表面积．【分析】画出球的内接直三棱ABC﹣A1B1C1，作出球的半径，然后可求球的表面积．【解答】解：设棱柱的高为h，则，∴h=4．∵AB=2，AC=1，∠BAC=60°，∴BC=如图，连接上下底面外心，O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，则球的半径为OA，由题意，AP=?=1，OP=2，∴OA==，所以球的表面积为：4πR2=20π．故选：B．【点评】本题考查球的体积和表面积，球的内接体问题，考查学生空间想象能力理解失误能力，是中档题．6.已知直线，平面，且，，给出下列四个命题： ①若∥，则；②若，则∥； ③若，则∥；④若∥，则． 其中真命题的个数为(

)A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B略7.已知，则a，b，c的大小关系为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先比较三个数与零的大小关系，确定三个数的正负，然后将它们与进行大小比较，得知，，再利用换底公式得出、的大小，从而得出三个数的大小关系。【详解】函数在上是增函数，则，函数在上是增函数，则，即，即，同理可得，由换底公式得，且，即，因此，，故选：A。【点睛】本题考查比较数的大小，这三个数的结构不一致，这些数的大小比较一般是利用中间值法来比较，一般中间值是0与1，步骤如下：①首先比较各数与零的大小，确定正负，其中正数比负数大；②其次利用指数函数或对数函数的单调性，将各数与1进行大小比较，或者找其他中间值来比较，从而最终确定三个数的大小关系。8.已知集合，则等于

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：D9.某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于37，则输入的整数i的最大值为（

）

A.3

B.4

C.5

D.6参考答案：C略10.以原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线C，有一条渐近线的倾斜角为60°，点F是该双曲线的右焦点.位于第一象限内的点M在双曲线C上，且点N是线段MF的中点.若，则双曲线C的方程为A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则函数的最小值为________________．参考答案：3

12.如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则的取值范围是________.参考答案：[-5,5]13.若函数图像在点（1，1）处的切线为在x轴，y轴上的截距分别为，则数列的最大项为

。参考答案：1614.过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P、Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF面积的最大值是

．参考答案：12考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意，S△ABF=S△OBF+S△AOF，从而可知当直线与y轴重合时，面积最大．解答： 解：，a=5，b=4，c=3，如图，S△ABF=S△OBF+S△AOF，则当直线与y轴重合时，面积最大，故最大面积为×3×8=12．故答案为：12．点评：本题考查了椭圆的图形特征即面积的等量转化，属于基础题．15.记不等式组所表示的平面区域为，若直线与公共点，则的取值范围是

.

参考答案：：不等式组表示的平面区域如图为三角形ABC区域，其中A、B坐标分别为(1，1)，(0，4)，实数a为区域内的点与点(－1，0)连线的直线的斜率，显然经过点A时斜率最小为，经过点B时斜率最大为4，所以实数a的范围是16.圆心为（a，2），过抛物线y2=4x的焦点，且与其准线相切的圆的方程是_________．参考答案：17.已知变量满足约束条件，则的最大值为

．参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，.（Ⅰ）写出直线的极坐标方程；（Ⅱ）求直线与曲线交点的极坐标参考答案：见解析考点：参数方程解：（Ⅰ）将消去参数，化为普通方程

再将代入，得

（Ⅱ）联立直线与曲线的极坐标方程

因为，所以可解得或，

因此与交点的极坐标分别为，．19.在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，A，B，C都不是直角，且accosB+bccosA=a2﹣b2+8cosA（Ⅰ）若sinB=2sinC，求b，c的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理化简可得2bccosA=8cosA，由于cosA≠0，可求bc=4，由正弦定理化简已知可得b=2c，联立可求b，c的值．（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可求，进而可求，利用三角形面积公式即可解得得解其最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵，∴b2+c2﹣a2=8cosA，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴2bccosA=8cosA，∵cosA≠0，∴bc=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣由正弦定理得：b=2c，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）a2=b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA，即6≥8﹣8cosA，∴，当且仅当b=c时取等号，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴，∴，∴，所以面积最大值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣20.设关于x的一元二次方程x-x+1=0(n∈N)有两根α和β，

且满足6α-2αβ+6β=3．（2）试用表示a；（3）求证：数列是等比数列；（4）当时，求数列的通项公式。参考答案：解：（1）根据韦达定理，得α+β=，α?β=,由6α-2αβ+6β=3得

4分（2）证明：因为

13分21.已知函数，为的导数，证明：（1）在区间上存在唯一极大值点；（2）在区间上有且仅有一个零点．参考答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析．（1）由题意知：定义域为，且．令，，，．∵在上单调递减，在上单调递减，在上单调递减．又，，∴，使得，∴当时，；当时，，即在区间上单调递增；在上单调递减，则为唯一的极大值点，即在区间上存在唯一的极大值点．（2）由（1）知，且在区间存在唯一极大值点，在上单调递增，在上单调递减，而，，故在上恒有，∴在上单调递增，又，，因此，在上有且仅有一个零点．22.已知数列满足（为常数），成等差数列.（Ⅰ）求p的值及数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，证明：.

参考答案：解：（Ⅰ）由得∵成等差数列，∴即得………（2分）依题意知，当时，…相加得∴∴……………（4分）又适合上式，………（5分）故……………………（6分）（Ⅱ）证明：∵∴∵

…（8分）若则即当时，有…………………（10分）又因为………（11分）故……………………（12分）（Ⅱ）法二：要证

只要证…………（7分）下面用数学归纳法证明：①当时，左边=12，右边=9，不等式成立；