广西壮族自治区河池市东兰县三石中学高三数学理上学期期末试题含解析

广西壮族自治区河池市东兰县三石中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)”，下底面宽AD=3丈，长AB=4丈，上棱EF=2丈，EF∥平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是(

)A.4立方丈

B.5立方丈

C.6立方丈

D.8立方丈参考答案：B2.若向量，满足：，，，则，的夹角为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两组训练的数量积为0，转化求解向量的夹角即可．【解答】解：由条件得：，∴，故，的夹角为，故选：D．3.已知，则的表达式为（）

B．

C．

D．参考答案：A4.设，则“且”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A略5.若x，y满足约束条件，则的取值范围是（

）A.[－2,2] B.(－∞,2] C.[－1,2] D.[－2,+∞)参考答案：A【分析】画出可行解域，平移直线，找到在纵轴上截距最大、最小时经过的点，这样可以求出的最大值和最小值，也就求出的取值范围.【详解】解：，满足约束条件，表示的平面区域，如图所示：其中，，由图易得目标函数在处，取最大值2，在处，取得最小值为-2，∴目标函数的取值范围是.故选：A．【点睛】本题考查了求线性目标函数最值问题，画出正确的可行解域，利用数形结合是解题的关键.6.已知函数，若,则实数的取值范围是

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A略7.在中,是边上的高，则的值等于（）A．0

B．4 C．8 D．参考答案：B略8.“φ=”是“函数y=sin（x+φ）为偶函数的”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】正弦函数的奇偶性；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】通过φ=?函数y=sin（x+φ）为偶函数，以及函数y=sin（x+φ）为偶函数推不出φ=，判断充要条件即可．【解答】解：因为φ=?函数y=sin（x+φ）=cosx为偶函数，所以“φ=”是“函数y=sin（x+φ）为偶函数”充分条件，“函数y=sin（x+φ）为偶函数”所以“φ=kπ+，k∈Z”，所以“φ=”是“函数y=sin（x+φ）为偶函数”的充分不必要条件．故选A．【点评】本题是基础题，考查正弦函数的奇偶性，必要条件、充分条件与充要条件的判断，正确计算函数是偶函数的条件是解题的关键．9.若，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【答案】A【解析】利用中间值0和1来比较:【高考考点】对数函数的性质及图象10.直线x+1=0的倾斜角是（）A．0° B．90° C．45° D．不存在参考答案：B【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；函数思想；直线与圆．【分析】直接利用直线方程求出直线的倾斜角即可．【解答】解：直线x+1=0的倾斜角是90°．故选：B．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，考查计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出如图所示的伪代码，根据该算法，可求得=

参考答案：－312.（09年聊城一模理）已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于,,

.参考答案：答案：013.已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+n，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是．参考答案：n≤9或n＜10略14.已知函数（）与，若函数图像上存在点P与函数图像上的点Q关于y轴对称，则a的取值范围是

．参考答案：设点在函数上，由题意可知，点P关于y轴的对称点在函数上，所以，消，可得，即，所以令，，问题转化为函数与函数在时有交点。在平面直角坐标系中，分别作出函数与函数的图象，如图所示，，当过点时，解得。由图可知，当时，函数与函数在时有交点.

15.若在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为

．参考答案：【考点】几何概型．【专题】计算题．【分析】由我们易画出图象求出其对应的面积，即所有基本事件总数对应的几何量，再求出区域内也单位圆重合部分的面积，代入几何概型计算公式，即可得到答案．【解答】解：满足约束条件区域为△ABC内部（含边界），与单位圆x2+y2=1的公共部分如图中阴影部分所示，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率概率为P=．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．16.若的展开式中第3项的系数为

。参考答案：617.若数列满足（，为常数），则称数列为调和数列．记数列=

.参考答案：20三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某学校高一、高二、高三三个年级共有名教师，为调查他们的备课时间情况，通过分层抽样获得了名教师一周的备课时间，数据如下表(单位：小时)：(1)试估计该校高三年级的教师人数；(2)从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，高二年级选出的人记为乙，假设所有教师的备课时间相对独立，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率；(3)再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别是(单位：小时)，这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为，试判断与的大小.(结论不要求证明)参考答案：(1)抽出的位教师中，来自高三年级的有名，根据分层抽样方法，高三年级的教师共有

(人).(2)设事件为

“甲是现有样本中高一年级中的第个教师”,

,事件

“乙是现有样本中高二年级中的第个教师”，,由题意知：,.设事件为“该周甲的备课时间比乙的备课时间长”.由题意知，，所以，故.(3)，，三组总平均值，新加入的三个数的平均数为，比小，故拉低了平均值，.本题主要考查分层抽样、相互独立性事件同时发生的概率、平均数，考查了分析问题与解决问题的能力.(1)由分层抽样法易得结论；(2)由相互独立性事件同时发生的概率公式求解即可；(3)由平均数公式求解可得结论.19.已知函数，其中，为自然对数的底数.（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间[0,1]上的最小值；（Ⅱ）若，函数在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围参考答案：（Ⅰ）当时，；当时，；当时，.（Ⅱ）的范围为.试题分析：（Ⅰ）易得，再对分情况确定的单调区间，根据在上的单调性即可得在上的最小值.（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，注意到.联系到函数的图象可知，导函数在区间内存在零点，在区间内存在零点，即在区间内至少有两个零点.由（Ⅰ）可知，当及时，在内都不可能有两个零点.所以.此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，且必有.由得：，代入这两个不等式即可得的取值范围.试题解答：（Ⅰ）①当时，，所以.②当时，由得.若，则；若，则.所以当时，在上单调递增，所以.当时，在上单调递减，在上单调递增，所以.当时，在上单调递减，所以.（Ⅱ）设为在区间内一个零点，则由可知，在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.则不可能恒为正，也不可能恒为负.故在区间内存在零点.同理在区间内存在零点.所以在区间内至少有两个零点.由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点.当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点.所以.此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，必有.由得：，有.解得.当时，在区间内有最小值.若，则，从而在区间上单调递增，这与矛盾，所以.又，故此时在和内各只有一个零点和.由此可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以，，故在内有零点.综上可知，的取值范围是.【考点定位】导数的应用及函数的零点.20.在公差不为的等差数列中，，且，，成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和公式.参考答案：解：（Ⅰ）设数列的公差为，又，可得，，．

由，，成等比数列得，即，整理得，解得或．由,可得．，所以．

（Ⅱ）由，，可得.所以．因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列．

所以的前项和公式为．略21.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若存在两条直线都是曲线的切线，求实数的取值范围；（3）若在，求实数的取值范围.参考答案：（1）.

当时，，则函数的单调递减区间是；

当时，令，得

当变化时，的变化情况如下：极小值

所以的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）因为存在两条直线，都是曲线的切线

所以至少有两个不等的正实根.

令得，记其两个实根分别为，

则

解得.

当时，曲线在点处的切线分别为

.

令.

由得（不妨设），

且当时，，即在上是单调函数.

所以.

所以是曲线的两条不同的切线.

所以实数的取值范围为.（3）当时，则函数是内的减函数.

因为，

而，不符合题意.

而当时，由（1）知：的最小值是（ⅰ）若，即时，.

所以符合题意.

（ⅱ），即时，

所以符合题意.

（ⅲ）若，即时，有.

因为，函数在内是增函数，

所以当时，.

又因为函数的定义域为，

所以

所以符合题意.

综上所述，实数的取值范围为.22.已知四边形ABCD中，AD=﹣1，AB=2，CD=，∠ADC=，设∠ABD=α，∠ADB=β，3cosαcosβ﹣3sinαsinβ=2﹣2cos2A．（1）求角A的大小；（2）求BD的长及四边形ABCD的面积．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2cos2A﹣3cosA﹣2=0．解得cosA=﹣，即可得解A的值．（2）由已知利用余弦定理可求BD，cos∠ADB=，进而可求∠ADB=，由S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵∠ABD=α，∠ADB=β，α+β=π﹣A，∴由3cosαcosβ﹣3sinαsinβ=2﹣2cos2A．可得：3cos（α+β）=2﹣2c