河北省保定市亭乡中学高三数学理联考试卷含解析

河北省保定市亭乡中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，若是的最小值，则的取值范围为A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：由于当时，在时得最小值；由题意当时，若，此时最小值为，故，解得，由于，因此；若，则条件不成立，故的取值范围为，故答案为D．考点：1、分段函数的应用；2、函数的最值．2.将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是（）A．40 B．60 C．80 D．100参考答案：A【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、在六个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，由组合数公式可得放法数目，②、假设剩下的3个盒子的编号为4、5、6，依次分析4、5、6号小球的放法数目即可；进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，在六个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，有C63=20种选法，剩下的3个盒子的编号与放入的小球编号不相同，假设这3个盒子的编号为4、5、6，则4号小球可以放进5、6号盒子，有2种选法，剩下的2个小球放进剩下的2个盒子，有1种情况，则不同的放法总数是20×2×1=40；故选：A．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，关键是编号与放入的小球编号不相同的情况数目的分析．3.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度参考答案：C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出ω，由五点法作图求出ω的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=﹣2，2sinφ=，∴sinφ=，结合|φ|＜，可得φ=．再根据五点法作图可得ω×+=π，求得ω=2，故f（x）=2sin（2x+）．故把f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x的图象，故选：C．4.设，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B5.某宾馆有N间标准相同的客房，客房的定价将影响入住率．经调查分析，得出每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表：每间客房的定价220元200元180元160元每天的住房率50℅60℅70℅75℅对每间客房，若有客住，则成本为80元；若空闲，则成本为40元．要使此宾馆每天的住房利润最高，则每间客房的定价大致应为A．220元

B．200元

C．180元

D．160元参考答案：C6.已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为()A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：A略7.已知实数x，y满足x2+4y2≤4，则|x+2y﹣4|+|3﹣x﹣y|的最大值为（）A．6 B．12 C．13 D．14参考答案：B【考点】绝对值三角不等式．【分析】设x=2cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π），|x+2y﹣4|+|3﹣x﹣y|=|2cosθ+2sinθ﹣4|+|3﹣2cosθ﹣sinθ|=4﹣2cosθ﹣2sinθ+3﹣2cosθ﹣sinθ=7﹣4cosθ﹣3sinθ=7﹣5sin（θ+α），即可得出结论．【解答】解：设x=2cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π）．∴|x+2y﹣4|+|3﹣x﹣y|=|2cosθ+2sinθ﹣4|+|3﹣2cosθ﹣sinθ|=4﹣2cosθ﹣2sinθ+3﹣2cosθ﹣sinθ=7﹣4cosθ﹣3sinθ=7﹣5sin（θ+α），∴|x+2y﹣4|+|3﹣x﹣y|的最大值为12，故选B．8.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个的样本个体的编号是

（下面摘取了随机数表第7行至第9行）8442175331

5724550688

7704744767

2176335025

83921206766301637859

1695566719

9810507175

1286735807

44395238793321123429

7864560782

5242074438

1551001342

9966027954参考答案：068略9.双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线为等边三角形OAB的边OA、OB所在直线，直线AB过焦点，且|AB|=2，则双曲线实轴长为（）A． B． C． D．3参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线方程以及渐近线的性质求出a，b关系式，通过|AB|=2，求出c，然后求解a即可得到结果．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线为等边三角形OAB的边OA、OB所在直线，可得，直线AB过焦点，且|AB|=2，可得c=，则，解得a=．则双曲线实轴长为：3．故选：D．10.在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足,则等于（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式的解集为__________________。参考答案：略12.08年泉州一中适应性练习文）某市有高中三所，A学校有学生4000人，B学校有学生2000人，C学校有学生3000人，现欲通过分层抽样的方法抽取900份试卷，调查学生对2008年奥运会关心的情况，则从A学校抽取的试卷份数应为____________________________。参考答案：答案：40013.已知，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则=_______。参考答案：14.设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有4Sn=an2+2an，其中Sn为数列{an}的前n项和，则数列{an}的通项公式为an=．参考答案：2n【考点】数列递推式．【分析】当n=1时，得a1=2；当n≥2时，由4an=4Sn﹣4Sn﹣1，得an﹣an﹣1=2，从而可得结论．【解答】解：当n=1时，由4S1=a12+2a1，a1＞0，得a1=2，当n≥2时，由4an=4Sn﹣4Sn﹣1=（an2+2an）﹣（an﹣12+2an﹣1），得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，因为an+an﹣1＞0，所以an﹣an﹣1=2，故an=2+（n﹣1）×2=2n．故答案为：2n．15.已知曲线C的极坐标方程为，把曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程为

。参考答案：16.写出用三段论证明为奇函数的步骤是．参考答案：满足的函数是奇函数，大前提，小前提所以是奇函数．

结论17.

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（其中坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）（1）写出曲线C的直角坐标方程（2）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，设P（4，2），求|PM|+|PN|的取值范围．参考答案：考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，利用即可得出直角坐标方程．（2）把直线l的参数方程代入x2+y2=4x，可得t2+4（sinα+cosα）t+4=0，利用△＞0，可得sinαcosα＞0，，利用根与系数的好像可得|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4，即可得出．解答：解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x即为直角坐标方程．（2）把直线l的参数方程代入x2+y2=4x，可得t2+4（sinα+cosα）t+4=0，由△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴，∴t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．∴t1＜0，t2＜0．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4（sinα+cosα）=4，由，可得∈，∴≤1，∴|PM|+|PN|的取值范围是．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性、参数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M在线段EC上且不与E，C重合．（Ⅰ）当点M是EC中点时，求证：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M﹣BDE的体积．参考答案：考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）三角形的中位线定理可得MN∥DC，MN=．再利用已知可得，即可证明四边形ABMN是平行四边形．再利用线面平行的判定定理即可证明．（II）取CD的中点O，过点O作OP⊥DM，连接BP．可得四边形ABOD是平行四边形，由于AD⊥DC，可得四边形ABOD是矩形．由于BO⊥CD，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，ED⊥AD，可得ED⊥平面ADCB，平面CDE⊥平面ADCB．BO⊥平面CDE．于是BP⊥DM．即可得出∠OPB是平面BDM与平面ABF（即平面ABF）所成锐二面角．由于cos∠OPB=，可得BP=．可得sin∠MDC==．而sin∠ECD==．而DM=MC，同理DM=EM．M为EC的中点，利用三棱锥的体积计算公式可得VM﹣BDE=VB﹣DEM=．解答： （I）证明：取ED的中点N，连接MN．又∵点M是EC中点．∴MN∥DC，MN=．而AB∥DC，AB=DC．∴，∴四边形ABMN是平行四边形．∴BM∥AN．而BM?平面ADEF，AN?平面ADEF，∴BM∥平面ADEF．（Ⅱ）取CD的中点O，过点O作OP⊥DM，连接BP．∵AB∥CD，AB=CD=2，∴四边形ABOD是平行四边形，∵AD⊥DC，∴四边形ABOD是矩形．∴BO⊥CD．∵正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，ED⊥AD，∴ED⊥平面ADCB．∴平面CDE⊥平面ADCB．∴BO⊥平面CDE．∴BP⊥DM．∴∠OPB是平面BDM与平面ABF（即平面ABF）所成锐二面角．∵cos∠OPB=，∴sin∠OPB=．∴=，解得BP=．∴OP=BPcos∠OPB=．∴sin∠MDC==．而sin∠ECD==．∴DM=MC，同理DM=EM．∴M为EC的中点，∴，∵AD⊥CD，AD⊥DE，且DE与CD相交于D∴AD⊥平面CDE．∵AB∥CD，∴三棱锥B﹣DME的高=AD=2，∴VM﹣BDE=VB﹣DEM==．点评：本题考查了三角形的中位线定理、梯形的定义、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理、线面面面垂直的判定与性质定理、二面角的作法与应用、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.已知算法：（1）指出其功能（用算式表示），（2）将该算法用流程图描述之。参考答案：解：(1)算法的功能为：(2)程序框图为：略21.（本小题满分12分）

已知，直线（1）函数在处的切线与直线平行，求实数的值；（2）若至少存在一个使成立，求实数的取值范围。（3）设，当时的图象恒在直线的上方，求的最大值。参考答案：22.设函数f（x）=ex﹣x2﹣x﹣1，函数f′（x）为f（x）的导函数．（I）求函数f′（x）的单调区间和极值；（II）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于原点对称，证明：当x＞0时，f（x）＞g（x）；（Ⅲ）如果x1≠x2，且f（x1）+f（x2）=0，证明：x1+x2＜0．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出F（x）＞F（0），证