2022-2023学年河北省石家庄市新华外国语中学高二数学理期末试卷含解析

2022-2023学年河北省石家庄市新华外国语中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点,若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|等于(

)A．10

B．8

C．6

D．4参考答案：B2.已知椭圆C：的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是（）A． B．C． D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设椭圆焦距为2c，由已知可得5+c=2b，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求．【解答】解：设焦距为2c，则有，解得b2=16，∴椭圆．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查等差数列性质的应用，是基础的计算题．3.若点P(2-1)为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程为(A)x-y-3=0

(B)x+2y-3=0

(C)x+y-l=0

(D)2x-y-5=0参考答案：A4.在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C所对的边，且2acosB+bcosA=2c，则△ABC是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．斜三角形参考答案：C【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理化简已知可得2sinAcosB+sinBcosA=2sinC，由三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得2sinC=2sinAcosB+2sinBcosA，解得sinBcosA=0，由sinB≠0，可求cosA=0，结合范围A∈（0，π），可得A的值．【解答】解：∵△ABC中，2acosB+bcosA=2c，∴由正弦定理，得：2sinAcosB+sinBcosA=2sinC又∵2sinC=2sin（A+B）=2sinAcosB+2sinBcosA，∴sinBcosA=2sinBcosA，可得：sinBcosA=0，∵sinB≠0，∴可得：cosA=0，∴由A∈（0，π），可得：A=．故选：C．5.设A，B在圆x2+y2=1上运动，且|AB|=，点P在直线3x+4y﹣12=0上运动，则|+|的最小值为（）A．3 B．4 C． D．参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设AB的中点为D，则由题意，+=+++=2+2=2，当且仅当O，D，P三点共线时，|+|取得最小值，此时OP⊥直线3x+4y﹣12=0，OP⊥AB．【解答】解：设AB的中点为D，则由题意，+=+++=2+2=2，∴当且仅当O，D，P三点共线时，|+|取得最小值，此时OP⊥直线3x+4y﹣12=0，OP⊥AB，∵圆心到直线的距离为=，OD==，∴|+|的最小值为2（﹣）=．故选D．6.求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）过点M（﹣6，6）；（2）焦点F在直线l：3x﹣2y﹣6=0上．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）根据题意，分析可得要求抛物线开口向左或开口向上，进而分情况求出抛物线的方程，综合可得答案；（2）根据题意，求出直线与坐标轴交点坐标，进而可得抛物线焦点的坐标，分别求出抛物线的方程，综合可得答案．【解答】解：（1）抛物线过点M（﹣6，6），则其开口向左或开口向上，若其开口向左，设其方程为y2=﹣2px，将M（﹣6，6）代入方程可得：62=﹣2p×（﹣6），解可得，p=3，此时其标准方程为：y2=﹣6x，若其开口向上，设其方程为x2=2py，将M（﹣6，6）代入方程可得：（﹣6）2=2p×6，解可得，p=3，此时其标准方程为：x2=6y，综合可得：抛物线的方程为：y2=﹣6x或x2=6y；（2）根据题意，直线l：3x﹣2y﹣6=0与坐标轴交点为（2，0）和（0，﹣3）；则要求抛物线的焦点为（2，0）或（0，﹣3），若其焦点为（2，0），则其方程为y2=4x，若其焦点为（0，﹣3），则其方程为x2=﹣6y，综合可得：抛物线的方程为：y2=4x或x2=﹣6y．7.将函数的图像向右移个单位后，所得图像关于y轴对称，则的最小值为（

）A．2

B．1

C.

D．参考答案：B将函数的图象向右移个单位后，得关于y轴对称，所以，选B

8.自2020年起,高考成绩由“3+3”组成，其中第一个“3”指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目，某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为（

）A.6 B.7 C.8 D.9参考答案：D分析：直接利用组合数进行计算即可.详解：某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为种.故选D.点睛：本题考查组合的应用，属基础题..9.观察下列各式：已知，，，，，…，则归纳猜测＝（

）A、26

B、27

C、28

D、29命题意图：中等题。考核归纳的思想，数列原型学生都见过，为斐波拉契数列。参考答案：D10.定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（

）A．(－∞,0)

B．(－∞,2)

C.(0,+∞)

D．(2,+∞)参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.“若或，则”的逆否命题是

.参考答案：若，则且12.直线上方平面区域的不等式表示为_______________________；参考答案：x-3y+2＞013.设分别为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上任一点，当的最小值为时，则该双曲线的离心率的取值范围是__________．参考答案：14.已知集合A＝，B＝，若A∩B＝，则实数a的取值范围是

.参考答案：[0，1]15.口袋中有形状和大小完全相同的四个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中随机抽取两个球,则取出的两个球的编号之和大于5的概率为

．参考答案：从4个球中任取两个球共有=6种取法，其中编号之和大于5的有2,4和3,4两种取法，因此所求概率为.16.在中，,则_____________.参考答案：17.设为等比数列的前项和，已知，则公比参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知函数，在任意一点处的切线的斜率为。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若在上的最小值为，求在R上的极大值。参考答案：解：（Ⅰ）…………（2分）而在处的切线斜率∴

∴，，…………（4分）（Ⅱ）∵由知在和上是增函数由知在上为减函数…………（9分）（Ⅲ）由及可列表x+0－极大值在上的最小值产生于和由，知…………（12分）于是则∴即所求函数在R上的极大值为…………（14分）19.（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC（1）求角C大小；（2）求sinA﹣cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．参考答案：【考点】正弦定理的应用；三角函数的最值．【分析】（1）利用正弦定理化简csinA=acosC．求出tanC=1，得到C=．（2）B=﹣A，化简sinA﹣cos（B+），通过0＜A＜，推出＜A+＜，求出2sin（A+）取得最大值2．得到A，B．【解答】解：（1）由正弦定理得

sinCsinA=sinAcosC，因为0＜A＜π，所以sinA＞0．从而sinC=cosC，又cosC≠0，所以tanC=1，C=．（2）有（1）知，B=﹣A，于是sinA﹣cos（B+）=sinA+cosA=2sin（A+）．因为0＜A＜，所以＜A+＜，从而当A+=，即A=时2sin（A+）取得最大值2．综上所述sinA﹣cos（B+）的最大值为2，此时A=，B=．【点评】本题是中档题，考查三角形的有关知识，正弦定理的应用，三角函数的最值，常考题型．20.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=8，AD=4，AB=2DC=4．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．参考答案：【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）利用勾股定理逆定理可得AD⊥BD，根据面面垂直的性质得出BD⊥平面PAD，故而平面BDM⊥平面PAD；（2）过P作PO⊥AD，则PO⊥平面ABCD，求出梯形ABCD的高和棱锥的高PO，代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】（1）证明：在△ABD中，∵AD=4，AB=4，BD=8，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．又∵面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，∴BD⊥面PAD，又BD?面BDM，∴面MBD⊥面PAD．（2）解：过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，PO?平面PAD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P﹣ABCD的高．又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO=2．过D作DN⊥AB，则DN==．∴S梯形ABCD=×（2+4）×=24，∴VP﹣ABCD==16．21.已知函数f（x）=a（x+lnx）（a≠0），g（x）=x2．（1）若f（x）的图象在x=1处的切线恰好也是g（x）图象的切线．①求实数a的值；②若方程f（x）=mx在区间内有唯一实数解，求实数m的取值范围．（2）当0＜a＜1时，求证：对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|成立．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）①求导数，利用f（x）的图象在x=1处的切线恰好也是g（x）图象的切线，求实数a的值；②由x+lnx=mx，得m=1+，设t（x）=1+，x∈，则问题等价于y=m与t（x）的图象在上有唯一交点，即可求实数m的取值范围．（2）设F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=a（x+lnx）﹣x2，F（x）在[1，2]上单调递减，F′（x）=≤0恒成立，即a≤在[1，2]上恒成立，即可证明结论．【解答】（1）解：①f′（x）=a（1+），∴x=1，f′（x）=2a，切点为（1，a），∴切线方程为y﹣a=2a（x﹣1），即y=2ax﹣a，联立，消去y，可得x2﹣2ax+a=0，△=4a2﹣4a=0，∴a=1；②由x+lnx=mx，得m=1+，设t（x）=1+，x∈，则问题等价于y=m与t（x）的图象在上有唯一交点，∵t′（x）=，∴（，e），t′（x）＞0，函数单调递增，（e，+∞），t′（x）＜0，函数单调递减，∵t（）=1﹣e，t（e）=1+，且x∈（e，+∞）时，t（x）＞1，∴m∈[1﹣e]∪{1+}；证明：（2）不妨设1≤x1＜x2≤2，则f（x1）＜f（x2），g（x1）＜g（x2），∴|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|可化为f（x2）﹣f（x1）＜g（x2）﹣g（x1）∴f（x2）﹣g（x2）＜f（x1）﹣g（x1）设F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=a（x+lnx）﹣x2，∴F（x）在[1，2]上单调递减，∴F′（x）=≤0恒成立，即a≤在[1，2]上恒成立，∵=≥1，∴a≤1，从而，当0＜a＜1时，命题成立．22.（本题14分）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，AB＝5，AA1＝BC＝4，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面CDB1；(3)求三棱锥A1－B1CD的体积．参考答案：(1)证明：在△ABC中，AC＝3，AB＝5，BC＝4，∴AB2＝A