第二讲可靠性模型

（优选）第二讲可靠性模型目前一页\总数七十九页\编于十七点1.背景知识

随机性和概率磨刀不误砍材工本部分材料来源于目前二页\总数七十九页\编于十七点样本空间1、样本空间：实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为S={e}；2、样本点:试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为e.

3、由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,也记为e.

目前三页\总数七十九页\编于十七点随机事件试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”,简称“事件”.记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素两个特殊事件:必然事件S

、不可能事件例如对于试验硬币抛3次

，以下A、

B、C即为三个随机事件:A＝“至少出一个正面”＝{HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH}；B=“两次出现同一面”={HHH,TTT}C=“恰好出现一次正面”={HTT，THT，TTH}

再如，试验E6中D＝“灯泡寿命超过1000小时”＝{x:1000<x<T(小时）}。目前四页\总数七十九页\编于十七点概率的定义及其运算从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性?P（A）应具有何种性质？?抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？向目标射击，命中目标的概率有多大？目前五页\总数七十九页\编于十七点若某实验E满足1.有限性：样本空间S＝{e1,e2,…,en};2.等可能性：（公认）P(e1)=P(e2)=…=P(en).则称E为古典概型也叫等可能概型。古典概型与概率目前六页\总数七十九页\编于十七点设事件A中所含样本点个数为N(A)，以N(S)记样本空间S中样本点总数，则有P(A)具有如下性质(1)0

P(A)1；(2)P()＝1；P()=0(3)AB＝，则P(AB

)＝P(A)＋P(B)古典概型中的概率:目前七页\总数七十九页\编于十七点例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}目前八页\总数七十九页\编于十七点某人向目标射击，以A表示事件“命中目标”，P（A）=？?定义:事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A).

即

fn(A)＝nA/n.频率与概率目前九页\总数七十九页\编于十七点历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。实验者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005目前十页\总数七十九页\编于十七点频率的性质(1)0

fn(A)1；(2)fn(S)＝1；fn()=0(3)可加性：若AB＝

，则

fn(AB)＝fn(A)＋fn(B).实践证明：当试验次数n增大时，fn(A)逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率目前十一页\总数七十九页\编于十七点1.定义若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)P(A)≥0；(2)P(S)＝1； (3)可列可加性：设A1，A2，…,是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1A2…)＝P(A1)＋P(A2)+….(1.1)则称P(A)为事件A的概率。目前十二页\总数七十九页\编于十七点2.概率的性质(1)有限可加性：设A1，A2，…An,是n个两两互不相容的事件，即AiAj＝

，(ij),i,j＝1,2,…,n,则有

P(A1

A2

…

An)＝P(A1)＋P(A2)+…P(An);(3)事件差

A、B是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB)

(2)单调不减性：若事件AB，则P(A)≥P(B)目前十三页\总数七十九页\编于十七点(4)加法公式：对任意两事件A、B，有

P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形；(3)互补性：P(A)＝1－P(A);(5)可分性：对任意两事件A、B，有

P(A)＝P(AB)＋P(AB).

目前十四页\总数七十九页\编于十七点随机变量的概念定义.

设S={e}是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一个单值实值函数即对于每一个eS，有一实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量。随机变量常用X、Y、Z或、、等表示随机变量的特点:

1X的全部可能取值是互斥且完备的2X的部分可能取值描述随机事件目前十五页\总数七十九页\编于十七点顾名思义，随机变量就是“其值随机会而定”的变量，正如随机事件是“其发生与否随机会而定”的事件．机会表现为的试验结果，一个随机试验有许多可能的结果，到底出现哪一个要看机会，即有一定的概率．最简单的例子如掷骰子，掷出的点数X是一个随机变量，它可以取1，…，6等6个值．到底是哪一个，要等掷了骰子以后才知道．因此又可以说，随机变量就是试验结果函数．从这一点看，它与通常的函数概念又没有什么不同．把握这个概念的关键之点在于试验前后之分：在试验前我们不能预知它将取何值，这要凭机会，“随机”的意思就在这里，一旦试验后，取值就确定了．比如你在星期一买了—张奖券，到星期五开奖．在开奖之前，你这张奖券中奖的金额X是一个随机变量，其值耍到星期五的“抽奖试验”做过以后才能知道．目前十六页\总数七十九页\编于十七点明白了这一点就不难举出一大堆随机变量的例子．比如，你在某厂大批产品中随机地抽出100个，其中所含废品数X；一月内某交通路口的事故数X；用天平秤量某物体的重量的误差X；随意在市场上买来一架电视机，其使用寿命X等等，都是随机变量．若把随机变量X取所有可能值的概率计算出来，列成一个表格，则很容易算出任何一个由X取值落在某一区域表示的事件，如掷骰子，至少掷出1点的概率。目前十七页\总数七十九页\编于十七点关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容．这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量．当然，有时我们所关心的是某个或某些特定的随机事件．例如，在特定一群人中，年收入十万元以上的高收入者，及年收入在8000元以下的低收入者，各自的比率如何，这看上去像是两个孤立的事件．可是，若我们引进一个随机变量的X：X＝随机抽出一个人其年收入，则X是我们关心的随机变量．上述两个事件可分别表为X＞10万和X＜0.8万．这就看出：随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念之内．也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样．变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念．同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量．目前十八页\总数七十九页\编于十七点离散型随机变量定义:若随机变量X取值x1,x2,…,xn,…且取这些值的概率依次为p1,p2,…,pn,…,则称X为离散型随机变量，而称P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)

为X的分布律或概率分布。可表为

X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，或…X

x1 x2

…

xK …

Pk p1 p2 … pk …目前十九页\总数七十九页\编于十七点(1)pk0,k＝1,2,…;(2)

例1设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。解k可取值0，1，2分布律的性质目前二十页\总数七十九页\编于十七点几个常用的离散型分布

（一）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布1.(0-1)分布若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(0－1)分布(两点分布)

X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1或目前二十一页\总数七十九页\编于十七点若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布。

记作X~B（n,p)

,其分布律为：2.

定义设将试验独立重复进行n次，每次试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重贝努里试验.目前二十二页\总数七十九页\编于十七点例.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律.(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.(1)X~B(6,1/3),于是,X的分布律为:目前二十三页\总数七十九页\编于十七点泊松定理设随机变量Xn~B(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，记=np，则

目前二十四页\总数七十九页\编于十七点（二.）泊松(Poisson)分布P()X～P{X＝k}＝,k＝0,1,2,…(0)目前二十五页\总数七十九页\编于十七点泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布目前二十六页\总数七十九页\编于十七点随机变量的分布函数

一、分布函数的概念

定义设X是随机变量，对任意实数x，事件{Xx}的概率P{Xx}称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即

F(x)＝P{Xx}.

易知，对任意实数a,b(a<b),P{a<Xb}＝P{Xb}－P{Xa}＝F(b)－F(a).目前二十七页\总数七十九页\编于十七点分布函数的性质

1、单调不减性：若x1<x2,则F(x1)F(x2);2、归一性：对任意实数x，0F(x)1，且

3、右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。目前二十八页\总数七十九页\编于十七点一般地，对离散型随机变量

X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函数为

例

设随机变量X具分布律如右表解

X012P0.10.60.3试求出X的分布函数。目前二十九页\总数七十九页\编于十七点连续型随机变量:一、概率密度

1.定义:

对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-<x<+)，使对任意实数x，都有则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为X～f(x),(-<x<+)目前三十页\总数七十九页\编于十七点密度函数的几何意义为目前三十一页\总数七十九页\编于十七点二、几个常用的连续型分布1.均匀分布若X～f(x)＝则称X在(a,b)内服从均匀分布。记作X~U(a,b)对任意实数c,d(a<c<d<b)，都有目前三十二页\总数七十九页\编于十七点2.指数分布若X～则称X服从参数为>0的指数分布。其分布函数为目前三十三页\总数七十九页\编于十七点正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。3.正态分布目前三十四页\总数七十九页\编于十七点其中为实数，

>0，则称X服从参数为,2的正态分布,记为N(,2)，可表为X～N(,2).若随机变量目前三十五页\总数七十九页\编于十七点

(1)单峰对称

密度曲线关于直线x=对称；

f()＝maxf(x)＝.正态分布有两个特性：目前三十六页\总数七十九页\编于十七点(2)的大小直接影响概率的分布越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峻，。正态分布也称为高斯(Gauss)分布目前三十七页\总数七十九页\编于十七点4.标准正态分布

参数＝0，2＝1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0,1)。目前三十八页\总数七十九页\编于十七点一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。如，若Z~N（0，1）,（0.5)=0.6915,P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32)注：(1)(x)＝1－(－x)；

(2)若X～N(,2)，则正态分布表目前三十九页\总数七十九页\编于十七点2.可靠性模型概述目前四十页\总数七十九页\编于十七点目标在开发过程中，如果我们能够对组件或者系统预测失效的概率估计下一次失效的平均时间预测（遗留）失效的个数

将大大有助于我们提高软件的质量.这样的任务是可靠性模型的目标.目前四十一页\总数七十九页\编于十七点可靠性模型可靠性模型引入缺陷:产品的特点(e.g.,程序大小)开发过程(e.g.,软件工具和技术，人员的经验等.)去除缺陷:失效的发现

(e.g.,extentofexecution,operationalprofile)修复活动的质量环境目前四十二页\总数七十九页\编于十七点两类可靠性问题单一失效描述:系统（组件）中失效的概率是多少?多重失效描述:如果系统（组件）在时刻t1,t2,…,ti-1,失效，那么它在时刻ti

失效的概率是多少?目前四十三页\总数七十九页\编于十七点失效描述（1）失效的时间失效之间间隔的时间到给定的时间累计的失效在一个时间间隔内经历的失效Failureno.Failuretimes(hours)Failureinterval(hours)1101021993321344311558156701278818810315912522101502511169191219930132313214256251529640Timebasedfailurespecification目前四十四页\总数七十九页\编于十七点失效描述（2）失效的时间失效之间间隔的时间到给定的时间累计的失效在一个时间间隔内经历的失效Time(s)CumulativeFailuresFailuresininterval30226053907212081150102180111210121240131270141Failurebasedfailurespecification目前四十五页\总数七十九页\编于十七点模型分类Timedomain

:

日历时间还是执行时间Category

:

失效的数目是有限的还是无限的.Type

:

依据时间，经历的失效数目的分布情况.Class(onlyfinitecategory):

失效强度依据时间的函数形式.Family(onlyinfinitecategory):

依据经历的失效的期待数目，失效强度的函数形式.目前四十六页\总数七十九页\编于十七点各种可靠性模型（1）指数失效类模型(ExponentialFailureClassModels)Jelinski-Morandamodel(JM)NonhomogeneousPoissonProcessmodel(NHPP)SchneidewindmodelMusa’sBasicExecutionTimemodel(BET,基本指数模型)Hyperexponentialmodel(HE)Others目前四十七页\总数七十九页\编于十七点各种可靠性模型（2）WeibullandGammaFailureClassModelsWeibullmodel(WM)S-shapedReliabilityGrowthmodel(SRG)BayesianModelsLittlewood-VerrallModelInfiniteFailureCategoryModelsDuane’smodelGeometricmodelMusa-OkumotoLogarithmicPoissonmodel（对数泊松模型）目前四十八页\总数七十九页\编于十七点另一种分类（1）失效间隔时间模型Jelinski-Moranda(ExponentialFailureModel)Musa-Basic(ExponentialFailure

Model)NHPP(ExponentialFailure

Model)Geometric(InfiniteFailure

Model)Musa-Okumoto(InfiniteFailure

Model)Littlewood-Verrall(BayesianModel)目前四十九页\总数七十九页\编于十七点另一种分类（2）失效统计模型GeneralizedPoissonShick-WolvertonYamadaS-shapedNHPP(ExponentialFailure

Model)Schneidewind(ExponentialFailure

Model)目前五十页\总数七十九页\编于十七点模型的选择投影有效性（ProjectiveValidity）：从过去和当前的失效行为预测将来失效行为的能力假设的质量（QualityofAssumption）：能否有效的检测假设的正确性可应用性（Applicability）：针对不同的软件，不同的开发阶段，不同的操作环境的有效性简单性（Simplicity）：易于理解，易于估计参数，易于收集所需的数据目前五十一页\总数七十九页\编于十七点3.单一失效模型SingleFailureModel目前五十二页\总数七十九页\编于十七点硬件可靠性模型均匀模型:失效的概率是固定的.指数模型:失效的概率随时间按照指数规律发生变化ftTftT目前五十三页\总数七十九页\编于十七点单一失效模型（1）概率密度函数ProbabilityDensityFunction(PDF):

显示到给定时刻t为止，失效的概率PDF的一个一般形式为指数分布我们经常需要知道在失效前，组件正常工作的时间，也就是说，从时间0到t，失效的概率.目前五十四页\总数七十九页\编于十七点单一失效模型（2）累积密度函数(CDF):

显示直到给定的时刻t，累计的失效概率.对于指数分布,CDF为:目前五十五页\总数七十九页\编于十七点单一失效模型（3）可靠性函数(R):

显示一个组件的功能直到时刻t依旧不失效的的概率.对于指数分布,R为:目前五十六页\总数七十九页\编于十七点单一失效模型（4）什么是失效时间T的期待值?它是概率密度函数(PDF)的平均值,被称为失效平均时间meantimetofailure(MTTF)对于指数分布,MTTF为:目前五十七页\总数七十九页\编于十七点单一失效模型（5）失效时间中值Mediantimetofailure(tm):

一个特定的时间点tm

，在该点前的失效概率和在其后的失效概率是一样的.失效率FailureRatez(t):

概率密度函数除以可靠性函数.

对于指数分布,z(t)

为:λ目前五十八页\总数七十九页\编于十七点失效率的含义系统在时间间隔[t1,t2]中失效的概率为失效率为如果t1前没有发生失效，在[t1,t2]中每单位时间发生失效的概率从极限的角度目前五十九页\总数七十九页\编于十七点它表示了在元件的生命周期中失效概率的变化尽管在某时刻两个设计的可靠性可能一样，但是在该点的失效率可能不一样目前六十页\总数七十九页\编于十七点单一失效模型（6）系统可靠性:

为各个组件的可靠性的乘积.对于指数分布:目前六十一页\总数七十九页\编于十七点单一失效模型（7）系统累计失效率（SystemCumulativeFailureRate）:

所有的组件的失效率之和.对于指数分布:目前六十二页\总数七十九页\编于十七点4.可靠性增长模型ReliabilityGrowthModel目前六十三页\总数七十九页\编于十七点可靠性增长模型（1）我们可以假定所有的失效（例如用类似的硬件组件替换原来的，失效密度函数(probabilitydensityfunction,PDF)都是相同的.软件中，我们需要“修复”问题，通过修复，系统应该有更低的失效概率(orlongerΔti=ti-ti-1).因此，我们需要一个可靠性增长模型

(i.e.,可靠性随时间的变化).目前六十四页\总数七十九页\编于十七点可靠性增长模型（2）一般的可靠性增长模型为:基本的指数模型（BasicModel,Musa)对数泊松模型(LogarithmicPoisson,Musa-Okumoto)基本的指数模型假定在无限的时间内存在有限个失效(ν0).对数泊松模型假定无限个失效.目前六十五页\总数七十九页\编于十七点模型的有效性在软件生命周期中，软件系统一般经过多次变化（升级）.这些模型符合一次修改的情形而不是整个生命周期RevisionPeriod1RevisionPeriod4目前六十六页\总数七十九页\编于十七点可靠性增长模型（3）可靠性增长模型中的参数:失效强度Failureintensity(λ):

每自然或者时间单位的失效个数.执行时间Executiontime(τ):

程序运行的时间.执行时间可能与日历时间不一样.经历的平均失效的个数(μ):

在一个时间区间中，经历的平均失效个数.目前六十七页\总数七十九页\编于十七点可靠性增长模型（5）失效强度(λ)versus

执行时间(τ)目前六十八页\总数七十九页\编于十七点例子（基本模型）假定初始的失效强度为10失效/执行小时，总的失效为100，10个小时的失效强度为（对数泊松模型），初始失效强度同上，失效强度衰减系数为0.02/失效目前六十九页\总数七十九页\编于十七点可靠性增长模型（6）失效强度(λ)versus经历的平均失效个数(μ)

目前七十页\总数七十九页\编于十七点例子假定一个程序在无限的时间