晶体定向与空间群

关于晶体定向与空间群第1页，课件共70页，创作于2023年2月我们已经知道:

任一晶棱必为空间格子中的一个行列方向,任意两个结点的连线即可决定一个行列;

同时,任一晶面必为空间格子中的一个面网,

任意两个面网的交线必为一公共行列方向。第2页，课件共70页，创作于2023年2月

我们规定晶体中晶胞的单位长度

a0,b0,c0(晶胞参数)分别为三个结晶学坐标轴〈结晶学轴〉的单位长度,三个结晶学轴的方向分别平行于单胞中相交于一点的三条棱的方向,这与晶体的微观结构一致。

由于一个晶面总可以与一个、两个或全部三个结晶学轴相截,所以其轴截距可以用各轴的单位周期a0,b0,c0来度量。第3页，课件共70页，创作于2023年2月

设一个晶面与三个结晶学轴a,b,c相截,其在三个轴上的截距分别为pa0,qb0,rc0〔p,q,r为整数〈包括0和∞〉〕,则该晶面与单位面〈轴截距为a0,b0,c0〉轴截距之比:

(pa0/a0)

:(qb0/b0):(rc0/c0)

=p:q:r。第4页，课件共70页，创作于2023年2月由于实际晶面都是面网密度较大的面网,可以证明面网密度愈大的面网将具有愈为简单轴截距之比。

所以,整数定律也可叙述为:晶体上一个晶面在三个坐标轴上所截的轴截距之比是一个简单的整数比。

第5页，课件共70页，创作于2023年2月

3.3.2晶面符号

我们通常把一个晶面在三个结晶学轴上截距的倒数之比值(化为最简单整数比〉来

标记面网或晶面。用下列方式表示:

在a轴上表示为h;

在b轴上表示为k;

在c轴上表示为l;

第6页，课件共70页，创作于2023年2月h,k,l称为面指数或米勒〈Miller〉指数。通常将这三个指数依次写进圆括弧内,而不用比例号”:”,即写成(hkl)的形式标记晶面或面网,这种符号叫晶面符号.

第7页，课件共70页，创作于2023年2月图3.18表示一原始的单斜格子a轴和c轴所在的平面。b轴方向与图面垂直。

直线“面1”代表一个垂直于画面的面网,它和b轴相交于无限远〈即平行于b轴〉,因此在b轴上的截距∞,该面网在a轴上所截长度为2a0,在c轴上所截长度为3c0。同样,可以测出平行于面1的其它面网如1’,1’’,1’’’具有的轴截距:

第8页，课件共70页，创作于2023年2月图

3.18面网的晶面符号〈hkl〉

第9页，课件共70页，创作于2023年2月面1 面1’面1’’ 面1’’’

在a轴上截距2a0 1a0

2/3a0 1/3a0

在b轴上截距∞b0

∞b0

∞b0

∞b0

在c轴上截距 3c03/2c01c01/2c0

第10页，课件共70页，创作于2023年2月 所以面网1,1’,1’’,1’’’在三个结晶学轴上轴截距的比值为:

2:∞:3=1:∞:3/2=2/3:∞:1=1/3:∞:1/2,其轴截距的倒数比则为:

1/2:1/∞:1/3=1/1:1/∞:2/3

=3/2:1/∞:1/1=3/1:1/∞:2/1=3:0:2,

故其晶面符号为(302).

实际上,晶面符号可以代表结构中一组相互平行的面网。第11页，课件共70页，创作于2023年2月

在图3.18中,用同样方法可以求得面2,3,4的晶面符号分别为:(503),(101),(201)。

晶面符号中的数字,要化为互质的整数。

如果一个晶面只与a轴相截,与b轴和c轴平行,则该面的晶面符号为(100);

同理,只与b轴相截的晶面其符号为(010),只与c轴相截的晶面之晶面符号为(001)。

第12页，课件共70页，创作于2023年2月3.3.3晶体的定向

要描述晶体首先必须确定其结晶学坐标轴,即在晶体中建立一个坐标系,选择三个坐标轴,这个过程叫晶体的定向。

结晶学坐标轴的选择不是任意的,如果不按一定的规则任意选取,则晶体的结构、晶面符号及物理性质的表述必将产生混乱。第13页，课件共70页，创作于2023年2月所以说晶体的定向必须严格按一定规则进行,即晶轴的选取要与能体现各晶系对称特点的特征对称要素相联系,除此之外还要引入一些附加规则。只有这样,才有可能对属于同一晶系的所有点群,使用同一种坐标系,不同的人去测量同一种晶体才会得到相同的结果。

下面我们将分别叙述七个晶系结晶学坐标轴的选择规则。第14页，课件共70页，创作于2023年2月1.立方晶系:该晶系的对称特点是:在立方体体对角线方向有四个L3,同时,在平行于立方体晶棱方向〈即立方体面法线方向〉有三个相互垂直的L4

或Li4

〈在432,m3m和43m点群中〉或者有三个相互垂直的L2〈在23和m3

晶类中〉,而且这三个L4〈Li4〉或三个L2

都是等同的(由于三次轴的对称操作的结果)。第15页，课件共70页，创作于2023年2月

选择三个相互垂直的四次轴或三个相互垂直的二次轴作为结晶学a,b,c轴,c轴直立,a轴前后水平,b轴左右水平放置,

因此,其轴角:α=β=γ

=90。。

由于在立方晶系中a,b,c三个轴是等同的,其轴单位必定相等,即ao=bo=co。

图3.19(a)(b)是立方晶系晶体定向实例,图中还根据这一定向规则算出了晶体的晶面符号。

第16页，课件共70页，创作于2023年2月图

3.19各晶系晶体定向实例〈a〉闪锌矿,立方晶系;〈b〉方铅矿,立方晶系;〈c〉锆英石,四方晶系;第17页，课件共70页，创作于2023年2月

2.四方晶系:该晶系的对称特点是有且只有一个L4

或Li4。定向时以该唯一的L4

或Li4

为c轴,并使之直立。以与四次轴垂直且它们之间也相互垂直的两个L2

或对称面法线为a轴和b轴,若无L2

或包含L4

的对称面,则以两个相互垂直且与L4〈或Li4〉垂直的晶棱方向为a,b轴,a轴前后水平,b轴左右水平。这样,轴角之间关系必然是α=β=γ=90。。

第18页，课件共70页，创作于2023年2月

由于a轴和b轴可通过四次轴联系起来,因此,a轴与b轴是等同的,具有相同的轴单位,所以ao=bo≠co。

四方晶系定向实例及其晶面符号如图3.19(c)所示。

第19页，课件共70页，创作于2023年2月3.三方晶系和六方晶系:在这两个晶系中唯一的高次轴为三次轴〈L3

或Li3〉或六次轴〈L6

或Li6〉。由于在Li3

以及L6和Li6中总是包含着一个L3,因此,这两个晶系区别于其它晶系的共同对称特点是它们的主轴为〈或者是包含〉L3。第20页，课件共70页，创作于2023年2月为了适应这两个晶系的对称特点,往往不是选择三个坐标轴,而是选择四个坐标轴作为结晶学轴。这种四轴定向法称为布拉维定向法。第21页，课件共70页，创作于2023年2月四个轴的选择与安置如下:

以唯一的高次轴作为c轴,直立放置。在垂直于c轴的平面内选择三个相交均为120。的L2

或对称面法线或三个平行实际晶体晶棱的方向〈在3,3,6,6点群的情况下〉作为a,b和d轴,其中b轴为左右方向右端为正,a轴正端朝前偏左30o,而d轴则正端向后偏左30

o〈见图3.20〉。显然这三个水平轴可以通过直立的高次轴联系起来,即a、b、d轴在结晶学上是等同的。第22页，课件共70页，创作于2023年2月图3.20布拉维定向中三个水平结晶轴的安置及单位晶面与这三个结晶轴相截情况

第23页，课件共70页，创作于2023年2月在布拉维定向中,虽然采用了四个坐标轴,但由于存在a+b+d=0(矢量相加)这一关系,并且可以证明,一个晶面在这三个轴上的截距U,V和T存在下述关系U+V+T=0,所以说三个水平放置的坐标轴中只有两个是独立的。第24页，课件共70页，创作于2023年2月从数学的角度而言,只要不在同一平面内的三个坐标轴就够了。在确定晶胞参数时,不必考虑d轴的关系。采用这种坐标系后,轴角及轴单位的关系为:ao=bo≠co,

α=β=90。,γ=1200

三方和六方晶体定向实例及其晶面符号如图3.19〈d〉和〈e〉所示。

第25页，课件共70页，创作于2023年2月〈d〉方解石,三方晶系;<e〉绿柱石,六方晶系;〈f〉十字石,正交晶系;第26页，课件共70页，创作于2023年2月4.正交晶系:该晶系的对称特点是有三个互相垂直的二次轴(L2

或Li2)。定向时即以此三个互相垂直的二次轴或对称面法线作为结晶学a,b,c轴。选轴时让c轴直立,a轴前后水平,b轴左右水平。显然其轴角和轴单位关系应是:。α=β=γ=90。,ao≠bo≠co.

目前习惯上倾向于按bo>ao>co

的关系定向。正交晶系晶体的定向实例及其晶面符号如图3.19(f)所示。

第27页，课件共70页，创作于2023年2月5.单斜晶系:该晶系的特征对称元素是有一个二次轴(L2或Li2〈P〉或L2

垂直于一个对称面)。定向时,以此二次轴〈L2

或对称面之法线〉作为b轴,在垂直于

b轴的平面内选取两个相交晶棱的方向作为c轴和a轴。b轴左右水平放置,c轴直立,a轴前后向前下倾斜。因此轴角与轴单位的关系为:α=γ=90。,β>900。,ao≠bo≠co。

目前,习惯上倾向于令ao

>co

来安排a轴和c轴。单斜晶系的定向实例及其晶面符号如图3.19〈g〉所示。

第28页，课件共70页，创作于2023年2月〈g〉榍石,单斜晶系;〈h〉钠长石,三斜晶系

第29页，课件共70页，创作于2023年2月6.三斜晶系:该晶系除了一次轴〔L1

和Li1

〈对称中心〉〕之外,无任何其它对称元素。因此只能选取三个相交且不在同一平面内的晶棱方向作为a,b,c轴.选轴时应注意尽量使α,β,γ接近于900;安置晶轴时,习惯上按bo>ao>co

确定,让c轴直立,a轴大体位于前后并向前下倾斜,b轴则大体位于左右并向左下倾斜,其轴角及轴单位关系为:

α≠β≠γ,ao≠bo≠co。

三斜晶系的定向实例及其晶面符号如图3.19〈h〉所示。

第30页，课件共70页，创作于2023年2月3.3.4晶棱符号

晶棱符号又称方向符号。它代表空间中的一个方向。

与晶面符号相似

,我们也用三个互质的整数uvw并加中括号以〔uvw〕表示晶棱的方向。第31页，课件共70页，创作于2023年2月由于同一晶棱方向都是同时指向两端的,因此,同一晶棱既可用〔uvw〕表示,亦可用〔uvw〕表示。

例如〔111〕和〔111〕表示同一晶棱方向;

而对晶面符号(hkl)和(hkl)而言,则它们分别代表坐标原点相对两侧互相平行的两个晶面。

第32页，课件共70页，创作于2023年2月3.4晶体的微观对称性

晶体宏观对称性是结晶多面体外形的对称性,而晶体的微观对称性是指其内部构造的对称性。

由于结晶体外形是其内部质点有规律格子构造的结果,所以说晶体的宏观对称性也是其微观对称性的反映。但这并不是说晶体的宏观对称性可与其微观对称等同。两者之间又有明显的区别。第33页，课件共70页，创作于2023年2月首先结晶多面体是空间中的有限图形;而晶体的微观构造中涉及到的质点数量十分庞大,可近似看作格子构造是在三维空间无限延伸。所以说晶体的宏观对称性与其微观对称性之间又有明显的差别。

本节将对晶体的微观对称元素及其组合—空间群作一扼要介绍。第34页，课件共70页，创作于2023年2月3.4.114种布拉维格子

前节已经讲过,晶体是具有格子构造的固体。空间格子可以看作是一种基本的单位—平行六面体〈称为晶胞〉堆积而成。

这种基本的平行六面体单位的选取不是任意的,而是必须遵守布拉维法则:第35页，课件共70页，创作于2023年2月1.所选取的平行六面体应能反映出整个空间点阵的对称性;

2.在不违反其固有对称性的前提下,在平行六面体上各棱之间直角的数目应尽量多;

3.在遵守以上二条后,平行六面体之体积应该最小。

根据上述原则布拉维推出总共14种空间格子,所以又称为14种布拉维格子(如图3.21所示)。这14种布拉维格子可分为四类:第36页，课件共70页，创作于2023年2月第37页，课件共70页，创作于2023年2月第38页，课件共70页，创作于2023年2月(1)原始格子(P):原始格子又称为“简单格子”,用英文大写字母P表示,所以人们也把这类格子称为P格子。

原始格子的特点是除了分布在平行六面体八个角顶上的结点之外,再无任何附加结点。第39页，课件共70页，创作于2023年2月由于在空间格子中,平行六面体的每个角顶均为八个同样的平行六面体所共用,所以每个平行六面体对于角顶上的结点只占有1/8。因此每个原始格子中只占有一个结点。此类格子又称为素格子。下面讲到的其它非原始格子又称为复格子。

根据对称特点的不同,七个晶系中每个晶系均有一个原始格子。第40页，课件共70页，创作于2023年2月(2)底心格子:除了8个角顶上的结点之外,在平行六面体相对一对面的中心各附加一个结点,每一个附加结点为两个相同的平行六面体共有,所以每个平行六面体实际上占有两个结点。

根据附加结点的两个面在平行六面体中所处位置,底心格子又可分成以下三种情况:第41页，课件共70页，创作于2023年2月a).A格子:附加的结点位于与结晶学a轴垂直的一对平面的中心;

b).B格子:附加结点位于与结晶学b轴垂直的一对平面的中心;

c).C格子:附加结点位于与结晶学c轴垂直的一对平面的中心。第42页，课件共70页，创作于2023年2月可以证明只有在单斜和正交晶系中能够独立存在底心格子(C格子)。

由于在单斜晶系中在a,c方向上无对称元素,所以a和c的定向有一定任意性,所以其A格子和C格子只能算作一种。

同样,在正交晶系中,由于a、b、c的定向也有一定任意性,所以其A格子,B格子和C格子从对称特点看也是一样的,一般称为底心C格子。第43页，课件共70页，创作于2023年2月3.4.2微观对称元素

1.平移

由于晶体构造可近似地看作是向三维空间无限延伸的格子构造。沿某一方向将整个构造中的结点平移一定结点间距,在平移时每个格子结点都在动,在动作进行完毕之后,格子复原,仿佛每一点都没有动。所以说平移必然是无限格子构造的一种基本对称操作,平移也是晶体内部构造的最本质的对称操作。第44页，课件共70页，创作于2023年2月

平移对称操作还可以与对称轴和对称面等宏观对称元素组合,产生新的复合对称元素,即螺旋轴和滑移面。第45页，课件共70页，创作于2023年2月另外,学习微观对称时还需注意两点:

(1)在一个点群中,所有宏观对称元素必须相交于一点;而微观晶体结构中的对称元素可以平行排列,亦可彼此相交于无数个点;(2)点群中宏观对称元素的个数是有限的,而在晶体结构中微观对称元素的数目是无限的。

这两点都可用晶体格子构造加以解释。第46页，课件共70页，创作于2023年2月图3.22表示与点群mmm相对应的空间群Pbcn单位格子中各对称元素分布情况。第47页，课件共70页，创作于2023年2月2.螺旋轴

与螺旋轴相应的对称操作是旋转和平移的复合对称操作。它是一条假想的直线,操作时先绕轴旋转一定的角度α(α=360o/n,n=2,3,4,6),然后再沿该轴方向平移一定距离(其距离是该方向单位周期τ的分数值),这样就可使格子的相同部分重合。第48页，课件共70页，创作于2023年2月螺旋轴首先可按其基转角的不同分为2次、3次、4次和6次螺旋轴,然后按平移距离不同,3次螺旋轴又分为31和32,4次螺旋轴分为41,42和43,6次螺旋轴分为61、62、63、64和65,2次螺旋轴只有21一种。各种螺旋轴图示于图3.23。第49页，课件共70页，创作于2023年2月第50页，课件共70页，创作于2023年2月第51页，课件共70页，创作于2023年2月在晶体构造中,可能存在的对称轴、旋转反伸轴、螺旋轴计有21种:

661626364656

441

4243

4

331323

2212

11第52页，课件共70页，创作于2023年2月第53页，课件共70页，创作于2023年2月3.滑移面

与滑移面相应的对称操作是反映和平移组成的复合对称操作。滑移面示意于图3.24。滑移面为一假想的平面,操作开始时先通过该假想平面进行反映,然后再沿与此平面平行的方向平移一定距离,可以使空间格子复原。

第54页，课件共70页，创作于2023年2月第55页，课件共70页，创作于2023年2月根据反映操作之后平移的方向及距离的不同,又可将滑移面分为轴滑移面a、b、c

滑移面,对角线滑移面n和金刚石滑移面d。

滑移面a、b、c在反映操作后分别沿结晶学a、b、c轴方向滑移ao/2,bo/2及co/2的距离;

滑移面n在反映操作后沿对角线方向平移(ao+bo)/2,(bo+co)/2或(co+ao)/2的距离;

第56页，课件共70页，创作于2023年2月

金刚石滑移面通常只出现在面心和体心立方晶胞中,

对于面心立方晶胞,反映后沿面对角线方向平移(ao+bo)/4或(bo+co)/4或(co+ao)/4的距离;

对于体心立方晶胞,反映后沿体对角线方向平移(ao+bo+co)/4的距离.

晶体构造中所有可能的对称面、滑移面及其符号列于表3.5。第57页，课件共70页，创作于2023年2月第58页，课件共70页，创作于2023年2月第59页，课件共70页，创作于2023年2月3.4.3空间群的概念

在具有格子构造的晶体结构中,不但包含了宏观对称元素,而且还包含了作为宏观图形不可能存在的微观对称元素。

在晶体构造中所有对称元素的组合所构成的对称群称为空间对称群,简称为空间群。

空间群亦即微观空间对称元素和平移群的可能存在的组合类型。第60页，课件共70