测量不确定度评定

关于测量不确定度评定第1页，课件共101页，创作于2023年2月第一章测量误差与测量不确定度

的基本概念一、测量误差误差表示的则是一个值，它有正、负号（可能正，可能负），它是通过测量获得的测量结果减去被测量真值的差。不确定度没有符号，是一个区间，一般认为是对称的。测量不确定度由多个分量组成。

其中一些分量由测量得到的一组数据，用统计分布方法评定，称A类评定，以实验标准偏差表示，另一些分量基于经验或其他信息按假定的概率分布评定，称B类评定，也以标准差表示。都是用估计的标准偏差。第2页，课件共101页，创作于2023年2月二、测量不确定度

表述合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。

—是合理地赋予，是通过人为评定赋予的。它是对测量结果经所有认为是系统的影响修正之后，人们对该量认识不足或目前所能达到的认识水平的估计。误差是可以通过各种已知的修正消除或减少，如果准确修正之后，误差即为零，这时剩下的就只有测量不确定度。第3页，课件共101页，创作于2023年2月三、测量结果

测量结果应理解为被测量的最佳估计值以及其测量不确定度。小结：误差与不确定度是两个完全不同而又有相互联系的概念，不能误用。对同一被测量用不同方法，不同仪器测量得到相同的测量结果误差相同，但完全可以有不同的不确定度。同一被测量，重复测量多次，每一次的结果可以不同，但不确定度是一样的。第4页，课件共101页，创作于2023年2月第一节测量误差的基本概念绝对误差测量误差，有时又称绝对误差。是指由测量赋予的被测量的量值与被测量的真值的差。

相对误差相对误差是绝对误差（测量误差）除以被测量的真值。通常用百分数表示。第5页，课件共101页，创作于2023年2月第一节测量误差的基本概念分贝误差分贝误差是相对误差的另一种表示形式。根据分贝的定义D=20lgx可得：引用误差引用误差是测量仪器示值的绝对误差与仪器的特定值的比值。特定值也称引用值，通常指测量仪器的满刻度值或标称范围的上限。第6页，课件共101页，创作于2023年2月第二节系统误差系统误差在对同一量进行多次测量的过程中，对每个测量值的误差保持恒定或可预知方式变化的测量误差称为系统误差。系统误差与测量次数无关，可分为常值系统误差和变值系统误差系统误差的产生系统误差来源于影响量，主要有：（1）装置误差（2）环境误差（3）方法误差（或理论误差）（4）人员误差第7页，课件共101页，创作于2023年2月随机误差的概念在同一量的多次测量过程中，每个测得值的误差以不可预知的方式变化，其整体服从于一定统计规律的测量误差称随机误差。随机误差是由尚未被认识和控制的规律或因素所导致的影响量的变化，引起被测量重复观测值的变化，不能修正，也不能消除。只能根据其本身存在的某种统计规律用增加测量次数的方法加以限制和减小。第三节随机误差第8页，课件共101页，创作于2023年2月第三节随机误差随机误差的性质服从正态分布的随机误差具有下列统计规律：1.正态分布的一系列观测结果，给定概率P的随机误差的绝对值不超出一定的范围，即有界性。2.当测量次数足够多时，绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相等，即对称性。3.当观测次数无限增加时，所有误差的代数和，误差的算术平均值的极限趋于零，即抵偿性。4.在一系列观测值以他们的算术平均值为中心相对集中地分布，绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大，即单峰性。第9页，课件共101页，创作于2023年2月第二章统计学基本知识

事件：必然事件、不可能事件、随机事件必然事件：在一定条件下必然会发生的事件。不可能事件：在一定条件下不可能出现的事件。随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。第一节事件和随机事件第10页，课件共101页，创作于2023年2月第二节随机事件出现的频率和概率

随机事件的发生，具有一定的偶然性，也有一定的规律性，遵从一定的统计规律。一、随机事件出现的频率随机事件出现的频率定义为在有限次试验中，随机事件出现的百分比。例如：在一个N次重复试验中，随机事件A出现了nA次，则根据定义知：随机事件A出现的频率为第11页，课件共101页，创作于2023年2月二、随机事件出现的概率在一定条件下，随机事件可能发生，也可能不发生，则称随机事件发生可能性的大小为随机事件出现的概率。必然事件：PA=1不可能事件：PA=0随机事件：0<PA<1第二节随机事件出现的频率和概率第12页，课件共101页，创作于2023年2月第三节随机变量及其概率密度分布函数

在一定条件下对某个量进行测量，一般来说，每次得到的测量结果是不相同的，即该被测量的量值在某一个区间内取值，因此，我们将该被测量的量值当作一个随机变量来处理，在测量结果不确定度评定中，所研究的被测量都是随机变量。一、随机变量的概率密度分布函数要完整地了解一个随机变量，必须知道它出现在某一个区间内的概率，即了解该随机变量的概率密度分布。随机变量在个可能值附近出现的概率与可能值之间的函数关系称为随机变量的概率密度分布函数。第13页，课件共101页，创作于2023年2月xf(x)

下图是概率密度函数曲线示意图，纵坐标为概率密度，横坐标为该随机变量的取值。曲线下方与X轴所包含的面积为被测量出现在区间（，）内的概率：概率密度函数的性质：(1)概率密度分布函数是非负函数，即：f(x)0(2)概率密度函数从-到+的积分等于1，即第三节随机变量及其概率密度分布函数第14页，课件共101页，创作于2023年2月

随机变量按其取值特征可分为连续型随机变量和离散型随机变量两种类型。1.离散型随机变量若随机变量的取值可以离散地排列，只能取有限个值，并以各种确定的概率取这些不同的取值，称这种随机变量为离散型随机变量。如：100个NIM电源中次品的数量。2.连续型随机变量若随机变量可以在某一区间内任意取值，而且其取值在任意一个小区间内的概率也是确定的，这样的随机变量就是连续型随机变量。如：每个NIM电源的耐用时间。第四节连续型随机变量和离散型

随机变量第15页，课件共101页，创作于2023年2月第五节随机变量的特征值随机变量的概率密度分布随机变量X的分布函数为F(x)=P(Xx)，如果存在一个非负可积函数f(x)，对任意的实数x，均有则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数。概率密度函数有：第16页，课件共101页，创作于2023年2月第五节随机变量的特征值

一般地说，只要知道随机变量的概率密度分布函数就可以完全确定一个随机变量。概率密度分布函数往往需要大量的重复性试验才有可能得到。在许多情况下，例如，在测量结果不确定度评定中，经常要用到随机变量的特征值：数学期望、方差、标准偏差、协方差和相关系数等。一、随机变量的数学期望1.随机变量的数学期望随机变量X的数学期望E(X)表示对该随机变量进行无限次测量所得到的测量结果的平均值，简称为期望，也称总体均值。第17页，课件共101页，创作于2023年2月二、随机变量的方差如果只用随机变量的数学期望则不能充分地描述一个随机变量的特性。如图：abxf(x)第五节随机变量的特征值a和b具有相同的数学期望，但每次测量结果相对于数学期望的分散程度却不一样。因此，我们用随机变量的方差来表示测量结果相对于数学期望的平均离散程度。第18页，课件共101页，创作于2023年2月

对于离散型随机变量，第i个测量结果xi相对于数学期望的偏离为xi-

。由于是无限多次测量结果的平均值，在对称分布的情况下：为此，将方差定义为偏离值的平方的均值。对于离散型随机变量，方差为：对于连续型随机变量，方差为：第五节随机变量的特征值第19页，课件共101页，创作于2023年2月三、随机变量的数学期望的性质1.常数的数学期望等于该常数。E(c)=c2.随机变量与常数之和的数学期望等于随机变量的数学期望与该常数之和。E(x+c)=E(x)+c3.常数与随机变量的乘积的数学期望等于该常数与随机变量的数学期望的乘积。E(cx)=cE(x)4.两个随机变量之和的数学期望等于它们的数学期望之和，而与这两个随机变量之间独立与否无关。E(x+y)=E(x)+E(y)5.两个独立的随机变量的乘积的数学期望，等于它们的数学期望的乘积。E(xy)=E(x)E(y)第五节随机变量的特征值第20页，课件共101页，创作于2023年2月四、随机变量的方差的性质1.D(x)=E(x2)-E2(x)；随机变量的方差等于该随机变量平方的数学期望于该随机变量数学期望的平方之差。2.D(c)=0；即：常数的方差为0。3.D(x+c)=D(x)；常数与随机变量之和的方差等于随机变量的方差。4.D(cx)=c2D(x)；随机变量与常数的乘积的方差等于该随机变量的方差与常数的平方的乘积。5.D(x+y)=D(x)+D(y)；两个独立的随机变量之和的方差等于它们各自的方差之和。6.D(x+y)=D(x)+D(y)+2(x,y)；任意两个独立的随机变量之和的方差等于它们各自的方差与两者协方差的2倍之和。7.D(xy)=D(x)D(y)+D(x)E2(y)+E2(x)D(y)第21页，课件共101页，创作于2023年2月五、随机变量的标准偏差由于方差的量纲与被测量具有不同的量纲，因此，常用方差的正平方根(x)来表示其平均离散程度，称为标准偏差。也称分布的标准偏差或单次测量结果的标准偏差。对于离散型随机变量，其标准偏差为：而对于连续型随机变量，其标准偏差为：第22页，课件共101页，创作于2023年2月六、用于估计随机变量特征值的估计量上述特征值是对应于无限多次测量结果的，而在实际工作中只可能进行有限次测量，因此，只能根据有限次测量结果来估计样本总体的特征值，如总体均值，总体方差

2等。通常的样本均值，样本方差s2，则称为其估计量。估计量本身也是一个随机变量，它有许多可能值，从一个样本只能得到该估计量的一个可能取值，当样本改变时，所得到的估计量的值也会改变，因而不能期望估计量的取值正好等于它所估计的总体参数。但一个好的估计量，其平均地看来应该等于它所估计的总体参数。第23页，课件共101页，创作于2023年2月

当所选择的估计量的数学期望等于被估计的总体参数时，则称该估计量为无偏估计量。（1）样本均值是总体均值的无偏估计量。（2）方差却不是总体方差的无偏估计量。只有方差才是总体方差的无偏估计量。（3）将样本方差s2(x)的正平方根s(x)称为实验标准偏差，它是标准偏差的估计量，但不是无偏估计量。通常称为贝塞尔公式。六、用于估计随机变量特征值的估计量第24页，课件共101页，创作于2023年2月1.协方差表示两个随机变量x和y之间关联的程度的量，称为协方差，用(x,y)表示。其定义为：

(1)当随机变量x和y的变化方向趋于同向时，(x,y)>0；

(2)当随机变量x和y的变化方向趋于反向时，(x,y)<0；

(3)当随机变量x和y相互独立无关时，(x,y)=0。七、协方差和相关系数第25页，课件共101页，创作于2023年2月2.相关系数

虽然协方差可以表示随机变量之间的相关性，但由于其量纲为两个随机变量的乘积，为了方便起见，定义相关系数：

协方差的样本估计量为：相关系数的样本估计量为：第26页，课件共101页，创作于2023年2月第六节几种重要的分布(1)正态分布服从正态分布的连续随机变量X，其概率密度函数为:将这种服从以x=为对称轴的正态分布记为X~N(,2)，其中，为位置参数，为形状参数。第27页，课件共101页，创作于2023年2月第六节几种重要的分布(2)2分布设随机变量X1、X2、…、Xn相互独立，则称随机变量=X12+X22+…+Xn2服从自由度为n的2分布，记为2(n)。(3)t分布设随机变量X~N(0,1)，Y~2(n)，且它们相互独立，则称随机变量服从自由度为n的t分布，记为Tn~t(n)。第28页，课件共101页，创作于2023年2月第六节几种重要的分布(4)F分布设随机变量X~2(m)，Y~2(n)，且它们相互独立，则称随机变量服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分布，记为Fm,n~F(m,n)。第29页，课件共101页，创作于2023年2月第七节样本和统计量基本概念在数理统计中，把研究对象的全体称为总体，把组成总体的每个元素称为个体。抽样就是从总体x中随机抽取一定数量的个体x1，x2，…，xn。称这组个体为容量为n

的一个样本。若x1，x2，…，xn相互独立且每个分量xi与总体X具有相同的分布，则称x1，x2，…，xn称为简单随机样本。统计量从总体中抽出样本后，需要构造出关于样本的不含任何未知数的连续函数(x1，x2，…，xn)，即统计量，去分析、估计和推断总体的分布与数字特征。第30页，课件共101页，创作于2023年2月第七节样本和统计量样本均值和样本方差及其分布对于样本x1，x2，…，xn

，样本均值样本方差样本均值的标准差样本均值用作同一测量条件下的测量结果，样本方差用作评价测量仪器的重复性或测量方法的精密度，样本均值的标准差用作评价测量结果的重复性。第31页，课件共101页，创作于2023年2月第八节测量统计实例一、常见分布及其数字特征量（1）正态分布正态分布的概率密度函数为：

测量值落在以为中心的区间[-k,+k]内的概率P：式中，第32页，课件共101页，创作于2023年2月第八节测量统计实例表1正态分布对应的一些k值置信水平k3.303.02.582.01.961.6451.00.6745p0.9990.99730.990.9540.950.900.6830.50.0010.00270.010.04560.050.100.3170.5第33页，课件共101页，创作于2023年2月第八节测量统计实例服从正态分布的数学期望值和标准偏差分别为：（2）均匀分布若测量值落在某一范围内的机会相等，则可认为测量值服从均匀分布。测量值x服从[a-,a+]上的均匀分布的概率密度函数为第34页，课件共101页，创作于2023年2月第八节测量统计实例(3)三角分布若测量值x分布的概率密度函数为=则称测量值x服从三角分布。其数学期望和标准偏差分别为：第35页，课件共101页，创作于2023年2月第八节测量统计实例(4)反正弦分布若测量值x分布的概率密度函数为则称x

在（-a，a)上服从反正弦分布。其数学期望和标准偏差分别为第36页，课件共101页，创作于2023年2月第八节测量统计实例二、数字特征量的估计在概率论中，称E(X)为随机变量X的一阶原点矩，在数理统计中，称样本均值为X的一阶样本原点矩，即数学期望。用估计E(X)的方法称为数学期望的矩估计法。是E(X)的一种最佳估计。通常用贝塞尔公式得到样本方差。第37页，课件共101页，创作于2023年2月第八节测量统计实例极差法设x1*，x2*，…，xn*是测量总体的样本顺序统计量，则可以用该样本的中位数来估计测量总体X的数学期望。

可以用R=xn*-

x1*，称为样本极差，作为对总体X的标准差的估计。当总体X~N(,2)时，标准差的估计可取：

=xk*第38页，课件共101页，创作于2023年2月第三章数据处理方法

在数据处理工作中，常见的数据处理问题主要包括：异常值的判定和剔出、数据位数与数据修约、最小二乘法和回归统计与数据拟何等。第一节异常值的判定和剔出统计方法的基本思想

给定一个显著水平，按照一定分布确定一个临界值，凡超过这个界限的误差，就认为它不属于随机误差的范畴，而是粗大误差，应予以剔出。第39页，课件共101页，创作于2023年2月第一节异常值的判定和剔出3准则

3准则称为拉依达准则，当测量次数充分大时，用贝塞尔公式计算标准偏差s代替，用均值代替真值，如果某个数据的残差满足：则应剔出该数据xd。当n10时，不能用3准则。第40页，课件共101页，创作于2023年2月第一节异常值的判定和剔出Grubbs准则设有正态独立测量的一个样本x1，x2，…，xn

，对其中一个可疑数据xd构造统计量，选定显著性水平—即犯弃真错误的概率，通常取0.05或0.01，按如下公式求得临界值G(，n)：（可查表得到）

如果，则数据xd含有粗差，应予以剔出，否则，应予保留。第41页，课件共101页，创作于2023年2月第一节异常值的判定和剔出Dixon准则设正态测量总体的一个样本x1，x2，…，xn，按从小到大的顺序排列为x1’，x2’，…，xn’

，构造高端异常值xn’和低端异常值x1’的统计量：n=3~7n=8~10与与与与n=11~13n=14~30第42页，课件共101页，创作于2023年2月第一节异常值的判定和剔出

将以上统计量简记为rij和r’ij，如果满足则判断为xn’异常值；则判断x1’

为异常值；否则，认为没有异常值。D(,n)为Dixon临界值。可查表得到。第43页，课件共101页，创作于2023年2月第二节数字位数与数据修约

测量结果是指经测量合理赋予被测量的量值。在表示测量结果时，一般包含最佳估计值和测不准两部分，前者为结果部分，后者为不确定度部分。如果数字位数太多，可能使人误认为测量准确度很高，位数太少又会损失测量准确度。因此数据修约在测量结果表达中十分重要。一、结果部分的数字位数与数据修约（1）数据保留位数规则—由测量误差决定，最多可多取1位有效数字。（2）数字舍入规则—四舍六入五取双。（3）数据运算规则。第44页，课件共101页，创作于2023年2月第二节数字位数与数据修约二、不确定度部分的数字位数与数据修约（一）数字位数由于不确定度部分的数字本身是测不准的数字，保留过多的位数是没有价值的，故一般取1到2位有效数字。（二）数据修约不确定度部分的数字修约可采取比较简便的方法，即按1/3法则进行，当取自整数位时，小于1/3的小数可舍弃，大于1/3的小数进1。第45页，课件共101页，创作于2023年2月第三节权与加权数据处理

在实际测量中，经常会遇到不同实验室、不同仪器、不同测量方法或不同时期对同一测量对象所进行的测量，或者在相同测量条件下几组不同测量次数所得到的测量结果的综合评定等。对这些测量数据如何综合求得最信赖的测量结果，并估计该结果的标准差？一、权与加权算术平均值权是用于表示一个数据在一组数据中占有的相对可信赖程度的数字指标。加在某个数据上的权越大，则说明该数据所占的比重越重，可信赖程度越高。第46页，课件共101页，创作于2023年2月第三节权与加权数据处理二、权的确定设一组数据x1,x2,…,xn的标准偏差分别为：s1,s2,…,sn

取，则由此得到各数据的单位化权：三、加权算术平均值的标准偏差第47页，课件共101页，创作于2023年2月第三节权与加权数据处理例：有两组数据第一组数据：第二组数据：试计算其平均值及平均值的标准偏差。由已知条件可得：，取，则，第48页，课件共101页，创作于2023年2月第四章方差合成定理

和不确定度评定步骤(1)若一个随机变量是多个独立的随机变量之和，则该随机变量的方差等于各分量的方差之和。即随机变量Y和各输入量Xi(i=1,2,…,n)之间满足：y=x1+x2+…+xn

则：D(y)=D(x1)+D(x2)+…+D(xn)

根据标准不确定度的定义，方差即标准不确定度的平方，故有：

u2(y)=u2(x1)+u2(x2)+…+u2(xn)第一节方差合成定理第49页，课件共101页，创作于2023年2月(2)若被测量满足更一般的关系：y=c1x1+c2x2+…+cnxn

则：D(y)=c12D(x1)+c22D(x2)+…+cn2D(xn)

即uc2(y)=u2(c1x1)+u2(c2x2)+…+u2(cnxn)=c12u2(x1)+c22u2(x2)+…+cn2u2(xn)=u12(y)+u22(y)+…+un2(y)

称ui(y)=ciu(xi)为不确定度分量。上述关系式，即方差合成定理，它是测量不确定度评定的基础。根据方差合成定理，要得到合成方差，首先必须求得各分量的方差，同时还要考虑各分量之间的相关性，否则还要加入协方差项和高阶项。第50页，课件共101页，创作于2023年2月第二节测量不确定度评定步骤一、不确定度评定的主要步骤当被测量确定以后，测量结果不确定度与测量方法有关，这里的测量方法包括测量原理、测量仪器、测量条件、测量程序及数据处理程序等。测量方法确定后，测量结果不确定度评定步骤主要有：

1.找出所有影响测量结果不确定度的影响量，即不确定度来源。

2.建立满足测量结果不确定度评定所需的数学模型，即被测量与所有各影响量之间的函数关系。

3.确定各输入量的估计值以及对应于各输入量估计值的标准不确定度。第51页，课件共101页，创作于2023年2月4.确定对应于各输入量的标准不确定度分量。

5.列出不确定度分量的汇总表。

6.将各标准不确定度分量合成得到合成标准不确定度。

7.确定被测量可能值分布的包含因子

8.确定扩展不确定度

9.给出测量结果不确定度报告。二、不确定度评定应注意的问题在分析测量结果不确定度来源时，既不能遗漏、也不要重复，尤其是对测量结果不确定度影响比较大的主要分量。在进行测量结果不确定度评定时，从方法上可以采用A、B两种评定方法，但不要误认为测量结果不确定度有A、B两种分量。第52页，课件共101页，创作于2023年2月第五章测量不确定度来源和数学模型被测量的定义不完整复现被测量的测量方法不理想取样的代表性不够，即被测样本不能完全代表所定义的被测量对测量过程受环境影响的认识不充分，或对环境参数的测量与控制不完善有些模拟式仪表读数存在人为的偏移测量仪器的计量性能存在局限性测量标准或标准物质本身的不确定度引用的数据或其它参数具有不确定度测量方法和测量程序的近似和假设在相同条件下被测量在重复观测中变化第一节测量不确定度来源第53页，课件共101页，创作于2023年2月一、测量模型化建立数学模型也称测量模型化，目的是要建立满足测量不确定度评定要求的数学模型，即被测量Y与所有各输入量Xi（i=1，2，…，n）之间的函数关系。一般形式可写为：若被测量Y的估计值为y，输入量Xi的估计值为xi，则例如，被测量长方体的体积V与输入量长方体的长a、宽b、高h之间的函数关系为：第二节建立数学模型第54页，课件共101页，创作于2023年2月二、对数学模型的要求数学模型应包含全部的对测量结果不确定度有显著影响的影响量，包括修正值和修正因子，它既能用来计算测量结果，又能用来全面地评定测量结果的不确定度。（1）数学模型应包含对测量结果不确定度有显著影响的全部输入量，即不遗漏任何对测量结果有显著影响的不确定度分量。（2）不重复计算任何一项对测量结果有显著影响的不确定度分量。（3）当选取的输入量不同时，有时数学模型可以写成不同的表达形式，各输入量之间的相关性也可能不同。第55页，课件共101页，创作于2023年2月第三节各输入量标准不确定度评定一、评定方法分类：（1）A类评定

A类评定是通过对一组测量数列进行统计分析，以实验标准差si表示。（2）B类评定

B类评定不属于A类评定之外的其它评定是均为B类评定，它也与相应的标准差ui表示。在测量不确定度评定中不必过分强调某一分量属于A类，或者B类评定方法，因最后合成是一样的，也不必分别合成。第56页，课件共101页，创作于2023年2月二、标准不确定度的A类评定（1）贝塞尔法在重复性条件下对被测量X做几次独立重复测量，得到的结果为xi，则X

的最佳估计值为算术平均值:单次测量结果xi的标准不确定度为：其平均值的实验标准不确定度为：在采用贝塞尔公式计算时要求n10(JJF1033-2001)。第57页，课件共101页，创作于2023年2月（2）极差法在重复性条件下，对被测量进行n次独立观测，其观测值的最大值与最小值之差R称为极差，在可以估计被测量接近正态分布的前提下，单次测量结果xi的实验标准差s(xi)可按下式近似评定：其中系数dn及自由度ν如下表：n23456789dn1.131.642.062.332.532.702.852.97ν0.91.82.73.64.59.36.06.8一般在测量次数较少时采用极差法。第58页，课件共101页，创作于2023年2月（3）最大残差法n2345678910cn1.771.020.830.740.680.640.610.590.57最大残差法估计系数：（4）较差法当被测量随时间变化时采用。第59页，课件共101页，创作于2023年2月（5）合并样本标准偏差，sp

合并样本标准差，也称为组合实验标准差。对同一被测量x进行m组测量，每组有n次独立重复测量，则合并样本差为：例如：同时有m个类似的量需要测量，而且其测量不确定度相近，即使每一个量测量次数不多，但总体m较大，同样可以得到较可靠的标准不确定度。第60页，课件共101页，创作于2023年2月（6）最小二乘法当被测量X的估计值是由实验数据通过最小二乘法拟合的直线或曲线得到时，则任意预期的估计值，或拟合曲线参数的标准不确定度均可利用已知的统计程序计算得到。若寻求两个物理量X和Y之间的关系，且估计值x和y之间有线性关系y=a+bx，对x和y独立测得n组数据，其结果为(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)；若u(x)可忽略不计，则可采用最小二乘法求得参数a，b，u(a)，u(b)。由于测得的yi存在误差，于是y=a+bx的误差方程可写作：第61页，课件共101页，创作于2023年2月将各等式两边平方后相加，可得残差的平方和为：为使达到最小值，必须使上式对a和b的偏导数同时为0。即：第62页，课件共101页，创作于2023年2月可解得：第63页，课件共101页，创作于2023年2月三、测量结果不确定度B类评定方法1、主要信息来源（1）以前的观测数据；（2）对有关技术资料和测量仪器性能的了解和经验；（3）生产部门提供的技术文件，产品说明书；（4）校准证书、检定证书或其他文件提供的数据，准确度等级或误差限等；（5）手册或某些资料或参考文献给出的参考数据及其不确定度；（各种核数据）（6）规定实验方法的国家标准或类似文件中给出的重复性限或复现性限。第64页，课件共101页，创作于2023年2月2、信息来源于检定证书或校准证书检定证书或校准证书通常均给出测量结果的扩展不确定度，其表示方法通常有：（1）给出被测量的扩展不确定度U和包含因子k

可以根据扩展不确定度与标准不确定度之间的关系，直接得到被测量x的标准不确定度。（2）给出被测量的扩展不确定度及相应的置信概率此时，包含因子则与被测量的分布有关，若证书已指明被测量的分布，则按相应的分布计算包含因子，若证书未给出其分布，则根据国家计量技术规范JJF1059-1999，一般可按正态分布来考虑。第65页，课件共101页，创作于2023年2月3、信息来源于其他各种资料或手册在这种情况下得到的信息是被测量分布的极限范围，也就可以得到输入量可能值分布区间的半宽度a，即允许误差限的绝对值。输入量的标准不确定度可以表示为：根据输入量的分布情况确定包含因子。分布类型

反正弦分布矩形分布（均匀分布）梯形分布,β=0.71梯形分布三角分布正态分布23第66页，课件共101页，创作于2023年2月4、不同分布的包含因子计算举例（1）矩形分布（均匀分布）数学期望为，分布区间半宽度为a的矩形分布，其概率密度函数为：方差为：则：第67页，课件共101页，创作于2023年2月4、不同分布的包含因子计算举例（2）梯形分布

对于梯形分布，若其上底与下底之比为，a和b分别为下底和上底的半宽度。设梯形的高为h，则由梯形的面积S=(2a+2b)*h/2=1可得：故其概率密度函数为：第68页，课件共101页，创作于2023年2月4、不同分布的包含因子计算举例方差为：因此，三角分布实际上是梯形分布的一种特殊情况，即b=0，因此，三角分布的包含因子。第69页，课件共101页，创作于2023年2月

如果不确定度的分布情况没有任何信息时，较合理的估计是将其近似看作矩形分布。（1）如果能确定分布，选对应的包含因子；（2）无信息，近似看作矩形分布，；（3）已知平均值附近概率大于两端，；（4）已知平均值附近概率小于两端，；（5）正态分布包含因子最大，；第70页，课件共101页，创作于2023年2月第四节关于测量不确定度的

A类评定和B类评定一、两种评定方法的主要差别（1）A类评定首先由实验测量得到被测量的观测值序列，并根据需要由观测值序列计算单次测量结果或其平均值的标准偏差；而B类评定则是通过其他信息进行评估，不存在重复观测序列。（2）A类评定一般先计算观测值序列的方差，然后得到实验标准偏差；而B类评定一般根据极限值和被测量的分布信息直接估计标准偏差，或由检定证书、校准证书提供的扩展不确定度导出标准不确定度。第71页，课件共101页，创作于2023年2月（3）A类评定的自由度可以由测量次数、被测量的个数及其他约束条件的个数计算得到，而B类评定的自由度无法直接计算得到，只能根据对B类评定的标准不确定度的准确程度进行估计得到。（4）无论采用哪种方法进行评定，都是用标准偏差来表示标准不确定度，在得到合成标准不确定度时，其合成方法相同，两种方法得到的不确定度并无本质的差别。这两种评定方法仅仅是在对测量结果不确定度进行评定是在方法上的分类，而不是说测量结果不确定度可以分为A类和B类不确定度。第72页，课件共101页，创作于2023年2月第五节两类评定的可靠性

无论是用A类评定还是用B类评定得到的标准不确定度，本质上都是用标准差这个分散性参数来度量的。因此，评定标准不确定度的可靠程度都可以通过用估计标准差的相对分散性，即标准差的相对标准差来衡量。一、自由度和有效自由度1.样本中所含独立变量的个数，称为该样本的自由度，用表示。2.按标准偏差估计相对误差来定义的自由度称为有效自由度，用eff表示。第73页，课件共101页，创作于2023年2月第五节两类评定的可靠性二、合成标准不确定度的自由度若统计量，各Yi独立且正态分布，Ci为常数，则：式中，uc(Z)，u(Yi)分别为合成标准不确定度和各分量的标准不确定度，(Yi)为分量Yi的自由度。第74页，课件共101页，创作于2023年2月第五节两类评定的可靠性三、确定自由度的几种常见情形（1）A类评定一个输入量测量次数1234567891015贝塞尔法12345678914极差法0.91.82.73.64.55.36.06.87.510.5

（2）线性组合测量

n个线性测量方程，待求t个未知量，按最小二乘法求得最佳估计值的标准不确定度的自由度为=n-t。

（3）B类评定第75页，课件共101页，创作于2023年2月第六节灵敏系数和不确定度分量根据各输入量的标准不确定度u(xi)，及由数学模型或实际测量得到的灵敏系数ci可以得到对应于各输入量的标准不确定度分量ui(y)：灵敏系数ci可以由数学模型对输入量xi求偏导可得：当灵敏系数ci不能由数学模型对输入量xi求偏导得到，也可以用实验测量得到，在数值上它等于输入量xi变化1个单位时，被测量y的变化量。第76页，课件共101页，创作于2023年2月第六章合成标准不确定度一、标准形式的线性模型

此时，数学模型中仅包含各输入量的一阶项，根据方差合成定理，在各输入量相互独立或它们之间的相关性可以忽略是，被测量y的合成方差为：第一节线性模型的合成标准不确定度第77页，课件共101页，创作于2023年2月二、另一形式的线性数学模型即独立变量的乘积，则：对上式作数学变换，令z=ln(y)，wi=ln(xi)，则

若pi的不确定度可以忽略，且各输入量相对独立，则y的相对合成偏差为：第一节线性模型的合成标准不确定度第78页，课件共101页，创作于2023年2月例如：长方体和圆柱体的体积（1）通过测量长方体的长宽高计算立方体的体积：数学模型：根据前面推导的数学公式可得：（2）通过测量圆柱体的直径和高计算圆柱体的体积：数学模型：根据前面推导的数学公式可得：第79页，课件共101页，创作于2023年2月其中，第二节输入量相关时的合成标准不确定度协方差相关系数一、一般形式第80页，课件共101页，创作于2023年2月第二节输入量相关时的合成标准不确定度假定有数学模型若输入量之间无相关性时：若考虑输入量之间的相关性时：二、测量不确定度评定中相关性的处理第81页，课件共101页，创作于2023年2月第八章自由度和扩展不确定度

在不确定度评定中规定，标准不确定度用标准偏差来表示。但实际上只能进行有限次测量，只能用样本参数作为总体参数的估计值，即只能用有限次测量的实验标准差s作为无限次测量的标准偏差的估计值。这必然会引入误差，因此在不确定度评定中仅给出标准不确定度还不够，还应给出能表示其准确程度的参数，即自由度。第一节自由度的定义及其含义一、自由度的定义在方差计算中，和的项数减去对和的限制数。（JJF1001-1998《通用计量术语及定义》第82页，课件共101页，创作于2023年2月第一节自由度的定义及其含义

如在重复性条件下对被测量X进行了n次测量，得到测量结果x1，x2，…，xn。我们可以根据得到n次测量结果的平均值和样本方差。而由于残差，而由于全部n个残差之和为零。即因此，根据定义，自由度应为：假如我们只测量一次，这个测量结果就是被测量的最佳估计值，其自由度为1-1=0，即无法选取别的值作为最佳估计值。第83页，课件共101页，创作于2023年2月第一节自由度的定义及其含义二、自由度的含义当采用不确定度的A类评定时，自由度与标准不确定度的标准不确定度之间的关系为：可见，自由度与标准不确定度的相对标准不确定度有关，自由度越大，则得到的标准不确定度越可靠。第84页，课件共101页，创作于2023年2月第二节A类评定不确定度的自由度（1）用贝塞尔公式计算实验标准偏差时，若测量次数为n，则自由度为=n-1；（2）当同时测量t个被测量时，自由度=n-t；（3）当t个被测量之间另有m个约束条件时，自由度=n-t+m；（4）对于n次测量结果，采用极差法估计实验标准偏差时，其自由度比贝塞尔法的自由度小。如下表：n234567891015200.91.82.73.64.55.36.06.87.510.513.1第85页，课件共101页，创作于2023年2月第三节B类评定不确定度的自由度B类评定的标准不确定度并不是由实验测量得到的，只能根据公式：估计出B类评定的标准不确定度的自由度。例如，若用B类评定得到某被测量X的标准不确定度为u(x)，并且估计u(x)的相对标准不确定度为10%，则根据公式可以得到其自由度为：第86页，课件共101页，创作于2023年2月第四节合成标准不确定度的有效自由度合成标准不确定度的自由度称为有效自由度，eff。当uc2(y)是由两个或以上的方差分量合成的，即满足：

时，且被测量Y接近于正态分布时，其合成标准不确定度的自由度可由下式计算：当被测量Y接近于正态分布时，其包含因子k可由指定的置信概率p和有效自由度通过查t分布临界值表得到，取kp=tp(eff)。第87页，课件共101页，创作于2023年2月t分布在不同置信概率p和自由度时的tp()值自由度置信概率p(%)68.27959999.7351.112.574.035.5161.092.453.714.9071.082.363.504.53101.052.233.173.96121.042.183.053.76501.012.012.683.16第88页，课件共101页，创作于2023年2月例：有效自由度的应用isiuii11.051.00.221.0101.00.131.441.960.9642.0164.01.052.014.016.011.9618.26某测量结果有彼此无关的A类和B类不确定度分量，如下表，试求p=0.95时的扩展不确定度。第89页，课件共101页，创作于2023年2月有效自由度的应用（1）首先计算合成标准不确定度：（2）计算有效自由度：（3）按p=0.95查t分布表可得：（4）计算扩展不确定度：第90页，课件共101页，创作于2023年2月第五节扩展不确定度

前面所阐述的是各输入量的标准不确定度的分析方法以及合成标准不确定度，通常用扩展不确定度来表示测量结果的分散性的大小，关键是确定其包含因子。当k是通过置信概率p估计得到时，扩展不确定度用UP表示。

1、被测量接近正态分布，用U=kuc表示，并给出k值和有效自由度。

2、

被测量为非正态分布，并且无法判断其分布，用U=kuc表示，同时给出k值，大多取k=2。

3、被测量接近某种其他非正态分布，用Up表示扩展不确定度，指明被测量的分布，并给出置信概率p和k值。第91页，课件共101页，创作于2023年2月一、被测量Y可能值的分布被测量Y的分布是由所有各输入量Xi的影响综合而成的，因此它与数学模型以及各分量的大小及其输入量的分布有关。对于不同的被测量，输入量以及数学模型各不相同，因此要给出一个确定被测量Y分布的通用模式几乎不可能，一般只能根据具体情况来判断被测量Y可能接近何种分布。二、被测量Y可能值的分布的判定中心极限定理：如果一个随机变量是大量相互独立的随机变量之和，则不论这些随机变量具有何种类型的分布，该随机变量的分布近似于正态分布。随着独立随机变量个数的增加，它们的和就越接近于正态分布。当这些随机变量的大小相互越接近，所需的独立随机变量的个数就越少。第92页，课件共101页，创作于2023年2月三、当无法确定被测量Y的分布时当无法确定被测量的分布时，一般不可能根据分布确定