2020-2021学年北京四中高一（下）期中数学试卷

第1页（共1页）2020-2021学年北京四中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．（4分）已知α∈（，π），，则tanα＝（）A． B． C． D．2．（4分）α是一个任意角，则α的终边与3π﹣α的终边（）A．关于坐标原点对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称3．（4分）若角300°的终边上有一点（4，a），则a的值是（）A． B． C． D．4．（4分）若，则cosα﹣sinα的值为（）A． B． C． D．5．（4分）已知向量＝（1，），向量＝（，），则向量与向量的夹角为（）A．60° B．30° C．120° D．150°6．（4分）将y＝sin2x的图象向左平移个单位，则平移后的图象所对应的函数的解析式为（）A． B． C． D．7．（4分）函数y＝2cos2（x﹣）﹣1是（）A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数8．（4分）已知π＜α＜，sin（）＝，则cosα的值为（）A． B． C． D．9．（4分）若f（x）＝2cos（ωx+φ）+m（ω＞0）对任意实数t都有f（t+）＝f（﹣t），且f（）＝﹣1，则实数m的值等于（）A．﹣3或1 B．﹣1或3 C．±3 D．±110．（4分）关于函数f（x）＝sin|x|﹣|sinx|有下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）在区间上单调递增；③f（x）的最大值为1；④f（x）在区间[﹣π，π]上有3个零点．其中所有正确结论的编号是（）A．①② B．②④ C．①④ D．①③二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）11．（4分）已知＝（﹣3，2），＝（1，x），若⊥，则实数x的值为．12．（4分）函数y＝2cosx在区间上的最大值为，最小值为．13．（4分）已知α是第四象限角，且，则＝．14．（4分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图所示，则函数f（x）的解析式为．15．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为．16．（4分）已知函数f（x）＝sin（2x﹣）+，若不等式f（x）≥在区间上有解，则m的最小值为．三、解答题（本大题共3小题，共26分.）17．（7分）已知α∈（，π），且．（Ⅰ）求cosα的值；（Ⅱ）求的值．18．（9分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．19．（10分）已知向量＝（cos，sin），＝（cos，sin），其中x∈[π，2π]．（Ⅰ）求及||的值；（Ⅱ）若函数f（x）＝2﹣||，求f（x）的最大值．一、选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）20．（4分）＝（）A． B． C． D．221．（4分）函数y＝sin2x的图象经过适当变换可以得到y＝cos2x的图象，则这种变换可以是（）A．沿x轴向左平移个单位 B．沿x轴向左平移个单位 C．沿x轴向左平移个单位 D．沿x轴向右平移个单位22．（4分）平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知点A（﹣2，0），点P（cosθ，sinθ）（θ∈R），则向量与的夹角的取值范围是（）A．[﹣，] B．[0，] C．[﹣，] D．[0，]二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）23．（5分）定义运算a*b为：，例如，1*2＝1，则函数f（x）＝sinx*cosx的值域为．24．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），某同学描点绘制函数f（x）在区间[0，2]上的草图，部分列表如表：x0……ωx+φπf（x）+131﹣1则＝；函数f（x）的单调递增区间是．25．（5分）已知函数f（x）＝asin3x+bcos3x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f（）|对任意x∈R恒成立，则①f（）＝0；②|f（）|＞|f（π）|；③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；④f（x）的单调递增区间是[，]．k∈Z．以上结论正确的是（写出所有正确结论的编号）．三、解答题（本大题共2小题，共23分.）26．（13分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1＝2S2，求角α的值．27．（10分）设f（x）是定义在区间[s，t]上的函数，在（s，t）内任取n﹣1个数x1，x2，⋯，xn﹣2，xn﹣1，设x1＜x2＜⋯＜xn﹣2＜xn﹣1，令s＝x0，t＝xn，如果存在一个常数M＞0，使得∀n∈N*，恒成立，则称函数f（x）在区间[s，t]上具有性质P．已知函数f（x）＝x，g（x）＝sinx．（Ⅰ）若对任意x∈[0，1]，不等式f（x）+g（x）≤a恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）试判断函数f（x）+g（x）在区间[﹣，]上是否具有性质P，并说明理由．（Ⅲ）试判断函数f（x）•g（x）在区间[﹣]上是否具有性质P，并说明理由．

2020-2021学年北京四中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．（4分）已知α∈（，π），，则tanα＝（）A． B． C． D．【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：∵α∈（，π），，∴sinα＝＝，∴tanα＝＝﹣．故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．2．（4分）α是一个任意角，则α的终边与3π﹣α的终边（）A．关于坐标原点对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称【分析】直接利用角的终边所在位置关系，判断α的终边与3π﹣α的终边的对称关系即可．【解答】解：因为α是一个任意角，所以α的终边与3π﹣α的终边关于y轴对称．故选：C．【点评】本题考查基本知识的应用，两个角的终边的位置关系，是基础题．3．（4分）若角300°的终边上有一点（4，a），则a的值是（）A． B． C． D．【分析】利用任意角的三角函数的定义求解．【解答】解：∵角300°的终边上有一点（4，a），∴tan300°＝，又∵，∴﹣＝，∴a＝﹣4，故选：B．【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，是基础题．4．（4分）若，则cosα﹣sinα的值为（）A． B． C． D．【分析】直接利用倍角公式的应用求出结果．【解答】解：，整理得，故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5．（4分）已知向量＝（1，），向量＝（，），则向量与向量的夹角为（）A．60° B．30° C．120° D．150°【分析】利用向量夹角数量积公式直接求解．【解答】解：∵向量＝（1，），向量＝（，），∴cos＜＞＝＝，∵＜＞∈[0°，180°]，∴向量与向量的夹角为60°．故选：A．【点评】本题考查向量夹角的求法，考查向量夹角数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（4分）将y＝sin2x的图象向左平移个单位，则平移后的图象所对应的函数的解析式为（）A． B． C． D．【分析】将个单位，则平移后的图象所对应的函数的解析式为y＝sin2（x+），由此得出结论．【解答】解：将个单位，则平移后的图象所对应的函数的解析式为y＝sin2（x+）＝，故选：C．【点评】本题主要考查y＝Asin（ωx+∅）的图象变换，属于基础题．7．（4分）函数y＝2cos2（x﹣）﹣1是（）A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数【分析】利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式，求出周期，判定奇偶性．【解答】解：由y＝2cos2（x﹣）﹣1＝cos（2x﹣）＝sin2x，∴T＝π，且y＝sin2x奇函数，即函数y＝2cos2（x﹣）﹣1是奇函数．故选：A．【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，函数奇偶性的判断，是基础题．8．（4分）已知π＜α＜，sin（）＝，则cosα的值为（）A． B． C． D．【分析】直接利用三角函数的关系式的恒等变换，角的变换的应用求出结果．【解答】解：已知π＜α＜，所以，sin（）＝，所以，故＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，角的变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9．（4分）若f（x）＝2cos（ωx+φ）+m（ω＞0）对任意实数t都有f（t+）＝f（﹣t），且f（）＝﹣1，则实数m的值等于（）A．﹣3或1 B．﹣1或3 C．±3 D．±1【分析】根据f（t+）＝f（﹣t）得出函数f（x）的对称轴即函数取得最值的x值，结合f（）＝﹣1求出m的值．【解答】解：f（x）＝2cos（ωx+φ）+m（ω＞0）对任意实数t都有f（t+）＝f（﹣t），所以函数f（x）的对称轴是x＝＝，此时函数f（x）取得最值，又f（）＝﹣1，所以﹣1＝±2+m，解得m＝1或﹣3．故选：A．【点评】本题考查了三角函数的对称轴应用问题，不求解析式直接求函数最值的应用问题，是基础题．10．（4分）关于函数f（x）＝sin|x|﹣|sinx|有下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）在区间上单调递增；③f（x）的最大值为1；④f（x）在区间[﹣π，π]上有3个零点．其中所有正确结论的编号是（）A．①② B．②④ C．①④ D．①③【分析】本题可通过对函数解析式的化简来进行求解．【解答】解：由函数解析式易得f（x）＝sin|x|﹣|sinx|的定义域R，且对任意x∈R，有f（﹣x）＝sin|﹣x|﹣|sin（﹣x）|＝sin|x|﹣|sinx|＝f（x），∴f（x）为偶函数，故①正确；当x≥0，易得f（x）＝，k∈N，当时，f（x）＝2sinx，易知此时f（x）单调递增，故②正确；由函数解析式易得函数f（x）＝sin|x|﹣|sinx|在[0，+∞）上的最大值为2，故③错误；当x∈[﹣π，π]函数f（x）＝sin|x|﹣|sinx|＝0，有无数的解，故④错误．故选：A．【点评】本题考查了函数的图像，函数的奇偶性、单调性以及零点的判断方法．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）11．（4分）已知＝（﹣3，2），＝（1，x），若⊥，则实数x的值为．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，计算求得x的值．【解答】解：∵＝（﹣3，2），＝（1，x），若⊥，则＝﹣3+2x＝0，求得实数x＝，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，属于基础题．12．（4分）函数y＝2cosx在区间上的最大值为2，最小值为﹣1．【分析】利用余弦函数的性质，即可求得函数的最值．【解答】解：∵x∈∴cosx∈[﹣，1]∴x＝0时，函数y＝2cosx取得最大值2；x＝时，函数y＝2cosx取得最小值﹣1故答案为：2，﹣1；【点评】本题考查余弦函数的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．13．（4分）已知α是第四象限角，且，则＝﹣3．【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可求解．【解答】解：因为α是第四象限角，且，所以cosα＝＝，则＝＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14．（4分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图所示，则函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（x+）．【分析】直接根据函数的图象，求出函数的解析式中的各个变量，进一步得到函数f（x）的解析式．【解答】解：根据函数的图象，得到A＝2，由于，所以T＝4π，所以ω＝．当x＝时，f（）＝2sin（φ）＝2，根据0＜φ＜π，解得φ＝．故f（x）＝2sin（x+）．故答案为：f（x）＝2sin（x+）．【点评】本题考查的知识要点：函数的图象和性质，考查运算能力，属于基础题．15．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为1．【分析】直接利用向量转化，求出数量积即可．【解答】解：因为＝＝＝＝1．故答案为：1【点评】本题考查平面向量数量积的应用，考查计算能力．16．（4分）已知函数f（x）＝sin（2x﹣）+，若不等式f（x）≥在区间上有解，则m的最小值为．【分析】由题意，当x∈[﹣，m]时，sin（2x﹣）≥1能成立，故有2m﹣≥，由此求得m的范围．【解答】解：∵函数f（x）＝sin（2x﹣）+，若不等式f（x）≥在区间上有解，∴sin（2x﹣）≥1在区间上有解，即当x∈[﹣，m]时，sin（2x﹣）≥1能成立．∵2x﹣∈[﹣，2m﹣]，∴2m﹣≥，m≥，则m的最小值为，故答案为：．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数的能成立问题，属于中档题．三、解答题（本大题共3小题，共26分.）17．（7分）已知α∈（，π），且．（Ⅰ）求cosα的值；（Ⅱ）求的值．【分析】（Ⅰ）直接利用同角三角函数关系式的变换求出结果；（Ⅱ）利用三角函数的关系式的变换和倍角公式的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）已知α∈（，π），且．所以．（Ⅱ）由于，所以：＝．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．18．（9分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．【分析】（Ⅰ）首先利用倍角公式式的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期；（Ⅱ）利用整体思想的应用求出函数的单调递减区间．【解答】解：（Ⅰ）函数＝＝sin（2x﹣）．所以函数的最小正周期为．（Ⅱ）令（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z）．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．19．（10分）已知向量＝（cos，sin），＝（cos，sin），其中x∈[π，2π]．（Ⅰ）求及||的值；（Ⅱ）若函数f（x）＝2﹣||，求f（x）的最大值．【分析】（Ⅰ）利用数量积的坐标运算及两角差的余弦求；由向量的坐标加法运算得的坐标，再由向量模的运算公式求||的值；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的结论代入f（x）＝2﹣||，整理后利用换元法及配方法求f（x）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵＝（cos，sin），＝（cos，sin），∴＝coscos+sinsin＝cos（﹣）＝cosx；又＝（cos+cos，sin+sin），∴||＝＝＝＝，∵x∈[π，2π]，∴＝；（Ⅱ）f（x）＝2﹣||＝2cosx+2cos＝，令cos，则t∈[﹣1，0]，则f（x）＝g（t）＝4t2+2t﹣2＝，则当t＝﹣1时，f（x）max＝g（t）max＝0．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查两角和与差的三角函数，训练了利用换元法与配方法求最值，是中档题．一、选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）20．（4分）＝（）A． B． C． D．2【分析】利用诱导公式，二倍角的余弦公式化简已知等式即可求解．【解答】解：＝＝＝＝2．故选：D．【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．21．（4分）函数y＝sin2x的图象经过适当变换可以得到y＝cos2x的图象，则这种变换可以是（）A．沿x轴向左平移个单位 B．沿x轴向左平移个单位 C．沿x轴向左平移个单位 D．沿x轴向右平移个单位【分析】由条件利用诱导公式、函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由于y＝cos2x＝sin（2x+）＝sin2（x+），故把函数y＝sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，可得y＝cos2x的图象，故选：A．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．22．（4分）平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知点A（﹣2，0），点P（cosθ，sinθ）（θ∈R），则向量与的夹角的取值范围是（）A．[﹣，] B．[0，] C．[﹣，] D．[0，]【分析】根据题意，设向量与的夹角为α，求出、的坐标，由数量积的计算公式可得cosα＝＝＝＝（+），由基本不等式求出cosα的取值范围，由此分析可得答案．【解答】解：根据题意，设向量与的夹角为α，点A（﹣2，0），点P（cosθ，sinθ），则＝（2，0），＝（cosθ+2，sinθ），则||＝2，||＝，•＝2（cosθ+2）＝2cosθ+4，则cosα＝＝＝＝（+），又由≥1，则+≥2，当且仅当cosθ＝﹣时等号成立，则有cosα≥，又由0≤α≤π，故0≤α≤，即向量与的夹角的取值范围是[0，]故选：B．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及三角函数的恒等变形，属于中档题．二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）23．（5分）定义运算a*b为：，例如，1*2＝1，则函数f（x）＝sinx*cosx的值域为[﹣1，]．【分析】依据题意可知首先看sinx＞cosx时，x的范围，进而求得函数的表达式，根据余弦函数的性质求得最大和最小值；再看sinx≤cosx时，x的范围，进而求得函数的表达式，根据正弦函数的性质求得最大和最小值，最后综合可得答案．【解答】解：当x∈（2kπ+，2kπ+）时，sinx＞cosx，f（x）＝cosx，当x∈[2kπ+，2kπ+]时，此时函数的最大值为f（+2kπ）＝，最小值为f（）＝﹣1，当x∈[2kπ，2kπ+]和x∈[2k+，2kπ+2π]时sinx≤cosx，则f（x）＝sinx，函数的最大值为f（+2kπ）＝，最小值为f（+2kπ）＝﹣1，最后综合可知函数的值域为[﹣1，]．故答案为：[﹣1，]．【点评】本题主要考查了正弦函数和余弦函数的定义域和值域．考查了学生分类讨论思想的应用．考查了学生的分析推理能力以及做题的细心程度．24．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），某同学描点绘制函数f（x）在区间[0，2]上的草图，部分列表如表：x0……ωx+φπf（x）+131﹣1则＝1；函数f（x）的单调递增区间是[k﹣，k+]，k∈Z．．【分析】根据表格可求得f（x）的解析式，从而可求得f（﹣），再由正弦函数的单调性即可求解函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：因为f（）＝Asin+k＝＝A+k＝3，f（）＝Asinπ+k＝k＝1，所以k＝1，A＝2，又因为x＝0时，ωx+φ＝，x＝时，ωx+φ＝，所以φ＝，ω＝2π，所以f（x）＝2sin（2πx+）+1，所以f（﹣）＝2sin（﹣+）+1＝1，令2kπ﹣≤2πx+≤2kπ+，k∈Z，解得k﹣≤x≤k+，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间为[k﹣，k+]，k∈Z．故答案为：1；[k﹣，k+]，k∈Z．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）解析式的确定，函数值的求法，正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．25．（5分）已知函数f（x）＝asin3x+bcos3x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f（）|对任意x∈R恒成立，则①f（）＝0；②|f（）|＞|f（π）|；③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；④f（x）的单调递增区间是[，]．k∈Z．以上结论正确的是①③（写出所有正确结论的编号）．【分析】可先将函数解析式进行化简，然后利用已知条件中的不等式恒成立，得到|f（）|是三角函数的最大值，再通过整体思想研究函数的性质即可．【解答】解：由题得，f（x）＝asin3x+bcos3x＝，其中，又∵f（x）≤|f（）|对任意x∈R恒成立，则f（x）max＝f（）|，可得，解得，∴，故①正确；sinα，＝，∵，故②错误；∵且，∴f（0）≠0，∴f（x）不是奇函数，又∵f（﹣x）＝且，∴f（x）不是偶函数，故③正确；令，且，∴函数f（x）的单调增区间为，故④错误．故答案为：①③．【点评】本题主要考查了三角函数的图像及性质，以及整体思想．三、解答题（本大题共2小题，共23分.）26．（13分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1＝2S2，求角α的值．【分析】（Ⅰ）由三角函数定义，得x1＝cosα＝，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果．（Ⅱ）依题意得y1＝sinα，，分别求得S1和S2的解析式，再由S1＝2S2求得cos2α＝0，根据α的范围，求得α的值．【解答】（Ⅰ）解：由三角函数定义，得x1＝cosα，．因为，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得y1＝sinα，．所以，．依题意S1＝2S2得，即sin2α＝﹣2[sin2αcos+cos2αsin]＝sin2α﹣cos2α，整理得cos2α＝0．因为，所以，所以，即．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．27．（10分）设f（x）是定义在区间[s，t]上的函数，在（s，t）内任取n﹣1个数x1，x2，⋯，xn﹣2，xn﹣1，设x1＜x2＜⋯＜xn﹣2＜xn﹣1，令s＝x0，t＝xn，如果存在一个常数M＞0，使得∀n∈N*，恒成立，则称函数f（x）在区间[s，t]上具有性质P．已知函数f（x）＝x，g（x）＝sinx．（Ⅰ）若对任意x∈[0，1]，不等式f（x）+g（x）≤a恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）试判断函数f（x）+g（x）在区间[﹣，]上是否具有性质P，并说明理由．（Ⅲ）试判断函数f（x）•g（