导数题型总结

导数题型总结题型一:关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量； 2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令f'(x)=0得到两个根；第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值 用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数) (已知谁的范围就把谁作为主元)；例1：设函数y二f(x)在区间D上的导数为f'(x)，f'(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上,g(x)<0恒成立，则称函数y二f(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m3x2x4mx3x2是常数，/(x)=--126(1)若y二f(x)在区间【0,3］上为“凸函数”，求m的取值范围;(2)若对满足|m<2的任何一个实数m，函数f(x)在区间(a,b)上都为“凸函数”，求b-a的最大值.例2：设函数f(x)=一3x3+2ax2-3a2x+b(0<a<1,bgR)(I)求函数f(x)的单调区间和极值;(II)若对任意的XG[a+1,a+2],不等式|f'(x)|<a恒成立，求a的取值范围.第三种：构造函数求最值题型特征：f(x)>g(x)恒成立oh(x)二f(x)-g(x)>0恒成立；从而转化为第一、种题型例3；已知函数f(x)二x3+ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为-3，t-6g(x)=x3+ x2-(t+1)x+3 (t>0)2(I)求a,b的值； (II)当xg[-1,4]时，求f(x)的值域；(III)当xG[1,4]时，不等式f(x)<g(x)恒成立，求实数t的取值范围。二、参数问题题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为f'(x)>0或f'(x)<0在给定区间上恒成立，回归基础题型解法2：利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；例4：已知agR，函数f(x)=12x3+苓Lx2+(4a+l)x.如果函数g(x)二f'(x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值；如果函数f(x)是(-0+Q上的单调函数，求a的取值范围.11已知函数f(x)二-x3+2(2-a)x2+(1-a)x(a>0).⑴求f(x)的单调区间;(II)若f(x)在［0，1］上单调递增，求a的取值范围。三、题型二：根的个数问题题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点======即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组)；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式(组)即可；例6、已知函数f(X)二1x3一(k x2,g(X)二1一kx，且f(x)在区间(2,+^)上为增函数．(1)求实数k的取值范围；(2)若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.根的个数知道，部分根可求或已知。1例7、已知函数f(x)二ax3+-x2-2x+c若x=-1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点，求f(x)的极值；1若g(x)二2bx2-x+d，在(1)的条件下，是否存在实数b,使得函数g(x)的图像与函数f(x)的图像恒有含x=-1的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。题2：切线的条数问题====以切点x为未知数的方程的根的个数0例7、已知函数f(x)二ax3+bx2+ex在点x处取得极小值一4,使其导数f'(x)>0的x的0取值范围为(1,3),求：(1)f(x)的解析式；(2)若过点P(-1,m)可作曲线y二f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.题3：已知f(x)在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法已知函数f(已知函数f(x)=(m+3)x2+(m+6)x,xeR(m为常数)。(I)当m二4时，求函数f(x)的单调区间;(II)若函数y二f(x)的区间(1,+8)上有两个极值点，求实数m的取值范围。

(agR,a丰0)(agR,a丰0)例9、已知函数f(x)—3x3+2x2，3．求f(x)的单调区间；(2)(2)令g(x)二4x4+f(x)(xUR)有且仅有3个极值点，求a的取值范围.其它例题：1、(最值问题与主元变更法的例子).已知定义在R上的函数f(x)二ax3-2ax2+b(a>0)在区间［一2,1〕上的最大值是5,最小值是一11.(I)求函数f(x)的解析式;(II)若tg［-1,1］时，f'(x)+tx<0恒成立，求实数x的取值范围.22、(根分布与线性规划例子)已知函数f(x)二3x3+ax2+bx+c(I)若函数f(x)在x二1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线3x+y二0平行,求f(x)的解析式；(II)当f(x)在xG(0,1)取得极大值且在xG(1,2取得极小值时，设点M(b-2,分所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分，求直线L的方程.3、(根的个数问题)已知函数f(x)=ax3+bx2+(c一3a一2b)x+d(a>0)的图象如图14、(根的个数问题)已知函数f(x)二3x3-ax2-x+1(agR)若函数f(x)在x=x,x=x处取得极值，且|x一x|=2，求a的值及f(x)的单调1212区间；TOC\o"1-5"\h\z1 1 5若a<，讨论曲线f(x)与g(x)=x2-(2a+1)x+ (-2<x<1)的交点个数.2 2 6x3 2J105、(简单切线问题)已知函数f(x)= 图象上斜率为3的两条切线间的距离为:,a2 53bx函数g(x)=f(x)-「+3.a2若函数g(x)在x=1处有极值，求g(x)的解析式；若函数g(x)在区间［-1,1］上为增函数，且b2-mb+4>g(