课后题答案第三章khdaw lxywyl

第三章线性方程组习题3．1引例与线性方程组 2xyzw3xx2x7x

（2）3x2yz3w4xx3x6x

x2x24x37x4 x4y3z5w xx x(21)x3x 5x 0 1x 1 7x1 y 解 20 3z4 6x3 0 5

7x 0 w 4 2x1 2 3 3x 2 3 习题3．2齐次线性方程组 xx5 xx2x3x （1）x3x9x7x 3x1x28x3x4 2 3 r 4 42

3x32x4

0 3x 23，分别 等价方程组

2x7x4x 4 4

7 2

0

通解：xC1ξ1C2ξ2（C1，C2为任意常数（C1，C2为任意常数x3x3x4x x（2） 2x3xx x1x22x3 1

解

1xCξ（C为任意常数 2x

yzw（3）4x2y2zw2xyzw 1

1

解

31 31

x1 等价方程组为 2x1x2x30，分别取x22,0，x4 x 03 1 1 0基础解系：ξ1 ,ξ2，通解：xC1ξ1C2ξ2（C1，C2为任意常数0 2 （4）

x1x2x34x43x5xx3x2xx 2xx3x5x5x 3x1x25x36x47x5 2 r 2 02 1 2 0 0 0 x12x3x4 x3 10等价方程组：

x

0015 ξ11ξ20ξ30 取何值时，方程

xx xxx xx2

解 D 1 1(1) 2 2 r32r2(1) 4

(1)(4D0时，即1且4D0时，即1或4当当

3 13 13 x1 3 x32,xk3(k3x等价方程组：x3 x

2 2 2

3 当4

31r31

4

r

x

1

x1 等价方程组

1x

3x1,xk1(k 2 习题3.3非其次线性方程组2x1 x2 x3

x3x4x11x112x217x3 1

r

2

r2

2 2

31 31

r

2 5

x1 x3r33r2

r13r r r

7

7

7

x 3 3 x

57取x7k，得通解：x1k93 (k7 2 7x 7 3

02x1x2

x3x4

x2xxxx1x22x3x4

2

2

31 3 3 31

1 1 1

11 r2 2 2 x3x 2 x1

x3 x2kx2k

30(k

2

x3

4 x 2 04

xx xxx xxx A

c1c3,c1c3,c21 1

(0

c (

1

(1)2(（1）当1且2当2

A0

3131

4

6 r

3 RA2RA3111

当且1A

1111rr

031111 031RARA)1x1x2xx设x3设x3x4xx 5证明该方程组有解的充分必要条件是ai0,i a 1

a1 a2 2A

3 3

a

5123

4 4 4

a

a 5 i 5是ai0i 常 a1 a1a2a3a40 a 0

A

ar,r2

a 3

a4 0 x1x5a1a2a33x2x5a2a3

x得等价方程组 xa x x1 a1a2a3a4 aa 2 x3k1 a2 (kx 4 x 5 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，已知η1η2η3η4为其四个解向量，1 1 2

η

η

0 0

0 解：设四元非齐次线性方程组为Axb，对应的齐次线性方程组为Ax0。已知而ξ12η1(η2η3), ξ22η1(η3η4)满足Aξ1A[2η1(η2η3)]2b(bb)Aξ2A[2η1(η3η4)]2b(bb)1 1 ξ

Ax0ξ1

1 1 RAr2,n4,nr2Ax01 1 xηCξCξCC C,C 1 2 1 21 设ξ1,ξ2ξsAxbsk11k22kssAxb的解，其k1k2ks1。证明：由于ξ1,ξ2ξsAxbAξib(i1,2,k1k2ks1A(k1ξ1k2ξ2ksξs)Ak1ξ1Ak2ξ2k1bk2bksb(k1k2ks)b复习题 a1x1b1x2c1x3 b10

axbxcxd,若 2 2 2 解：（1）R(A)2（2）R(A)R(A)R(A)2R(A23xykz3x4y2z2x3yz

3131

2

20 2 k0 2 k 2 k

0

3

3

3k13k 13kk3RARA3当k3R(A)R(A)23 已知方阵A ,B为三阶非零矩阵，且满足AB0，试求的 解：设三阶B按列分块为Bβ1β2β3，不妨设β1是其非零列，则AB得 Aβ10 β11 12A2 05(1)3 05所以1 x1x23x3x4

3xx3x4x x15x29x38x4

1（1）

3131

1 1 1 1r r

1

0

3 3 5 r

1

4 0 x3x3x 2 4 x x x 1x32C1x x x 2 4 3C3C5 5x 3 7 1 x 3 7 123C17C2 CC (C,C 4 1 20 4 x

0 4 04

0 x3 10或 x 014 3 3 52 4 43

7

xx

， 4 ， 0 1 0 xk1ξ1k2ξ2ηx1 3

54 x2k3k71(k,kx3

12 20 4 4 00x 0 2x13x2x32x4

xx2xx

r

解（2）A 7 r2

5

50 3 RA2RA3

x1x2 x5xx2x 2x6x3x4x 2

2解（3）A 1 7

5 30000100001001 3 3

2 3xx

2 x 5x7x x1 7 31 5 3 1 5 3

，取x6k得：xk2 (kx x x 2 3 3 4

x x x

5 30 3 0 11 12 1naxax11 12 1naxaxax21 22 2nan1x1an2x2annxn的系数矩阵A的秩为n1。证明：必有(Ak1,Ak2,,Akn)为该齐次线性方程组的一个非零解，其中Akl为akl的代数 式(l1,2,n)。的代数式Akl0，取(Ak1,Ak2,,Akn)代入方程组，由行列式的性质 a11Ak1a12Ak2a1nAknaAaAaA 21 22k 2naAa aAA0k1

k2k

knan1Ak1an2Ak2annAkn即(Ak1Ak2,,Akn)为该齐次线性方程组的一个a11x1 a12x2 ax ax axb 21 22 2n an1x1 a n2

ann

0

an

证明：必要性：即证“方程组有解 0，所以

an

2x1x2x3x2xx xx2x x1x22x3A1111A11111114114

1

1

1 α ,α1,α ,β1 问取何值

1 1 1 2 β有α1α2α3的唯一线性表示式，并写出该表示式β可由α1α2α3线性表β不能表示成α1α2α3 0

1 2A 1 1 1 2 1 0 1 2 2r3(1

2 2(1) 1 1 (13

2

( (

21) β能由α1α2α3RARA3n故当0且3

1 1

r 1

r[( r1r2(1 2

2

2

12

得 k2 222

1 222

0

β

α1

α2

（2）当0时，A 0 RARA3nβ可由α1α2α3（3）当3A

2 9 6 RA2RA)3，即β不能表示成α1α2α3 x1x2x3 x2xx2xx

x1x2x3x42x53x2x3x2x5x x13x2x33x44x51 1 1 1 0 35

1 1 1 1 0 3 A

a r43r1,r5

b c 1 1 1 1 0 3 acc

b a1或b1或c5当a1b1及c5时，方程组有解当a1b1及c5110101000000000000110101000000000000 A

0 0

0 0x1x3x5

0 得等价方程组 xx2，令x3k1,x4k2,x5k3，得方程组的通解 x1 1 0 1 2 x3k11k20k30 (k1,k2,k3 4 x 0 15 解B按列Bb1b2,bn,Ab1,b2,bn00,R(ArRsnR(AR(BrRsrnr

R(BRsnr 101, 202, ，t0tk00k11k22k0k1k2kt所 ηη0k1ξ1k2ξ20k110k220ktt01k1k2kt0k1k22k01k1k2ktηk0η0k1η1k2η2ktηtk0k1k2k