高数卷子2007级07二期中试卷答案

B 主考教师：高数B （525广义积分

exe2

。ex

1

d e e

1arctg

1() exe2

e2x

e

exex exe e

e 函数zx2y2在点1,2处，沿点1,2到点2,23方向的方向导数 答案：1232y1交换积分次序2y1

f(x,y)dx 答案0dx0f(xy)dy

f(xy)dy曲面z3x22y2在点(2,1,14)出的切平面方程 .答案：12x4yz14设zzx,y是由方程x22y23z2e2z所确定的隐函数，则z

e2z1（8分）x2y3z4与平面2xyz6 x2 直线参数方程y3z4

2(2t3t42t60，解得t（1，2，2另外，直线的方向向量l1,12)，平面的法向量n2,1,1 sin|ln| 21111

，arcsin5|l||n

121222

2212 2（8 x1的切线，求该切线与抛物线及x轴所围成的平面图形绕x轴ykxyxx

x1即y

k2x2x10，当14k20时，它与抛物线yyO xyO x2x0k1，切点为2,1x2

x121 Vπ02xdxπ1x1dx6 x y3（8分）zfxy,ygxfuvgw 2 zyf1fyg y 2z yxf

f1f1xf

f

g

y

y212 y2 y y222

x2x1 x11f11

gy

g

4.（8）x,yuu(xyvv(xy为由方程组xyu2v20 解对方程组同时对x2xvuuv0，y2uu2vv 解得u

4xv2(u2v2

，v

4xu2(u2v25（9x2, f(x,y), x2x2计算二重积分f(xy)dD(xD f(x,y)d4f(x,y)d 其中D1D在第I象限的部分，

|x||y|1|x||y||x||y|2}f(x,y)df(x,y)df(x,y)d 其中D11{(xy|0y1x0xD12{(x,y)|1xy2,x0,y

（如图因为f(xy)dx2d1dx1xx2dy1x21x)dx

0sin

f(x,y)d

22

d1

2

sincos = x2x22 2 0sin2cos

d2

0sin( 42 2csc()d2csc()d)ctg(

4 2ln[csc3ctg3]ln[csc 2

ctg4 222 1] 1]2ln[2122]

2

2 222

1

令u ，2

sin

1

,cos

1u2

d

1u2当0u0u12所以

d

2 10sin1

012u

102(u1222

2(u 02(u0

12ln1222

2121

1

2222

212所 f(x,y)d41

222

1)142ln(2DD

y26（9分）I(x2y2z)dxdydz，其中是由曲线

zz4x2y22zz40r

xI(x2y2dxdydzzdxdydz

:020z 2 1

(x2y2)dxdydz r3dr[(x2y2)dxdydz r3dr[r4]2zdzz2dz

2z3

128

I(x2y2dxdydzzdxdydz256 (x2y2)7（900

1x2x2x2，x2y2

，试问该函数在点(00（2）（3）1x2 （1）因|f(x,y)0|(x21x2

(x2y2)

limf(xy0f(00，因此有原函数在点(00

f(0,0)xx

f(0x,0)f(0,

(x)21(x)21

0fy(00)0点(00fx(000fy(00)0(x)2(x)2

z[fx(0,0)xfy(0,

[(x)2[(x)2(y)2]cos (x)2

=

2cos故原函数在点(00处可微，且df0

z

zzxyFx

,y 0所确定，证明：

zxy。（8 x z

证明：由Fx ,y 0两边分别对x和y求导，可 F11zF

1z01F1Fz

zFF1 yx

2

xx

x

y1 x2 FF

1zF11z01F1Fz

zFF1

yy 2

y x

y1 y2 由上两式，得1F1FxzyzzFxFzFyFzxy1F1Fx

y1

y

x

1 xxyyzxyyf(x)P与原点OOPOP为在点P处yf(x的法线。(8证明yf(x所确定的曲线为。如果P(x,y，求距离函数|OP|2x2f(x)y

F(xyxyyf(x由

2y xyf