材料力学讲义四四

Chapter7AnalysisofStressandStrainFailureCriteria第七章应力应变分析强度理论第七章应力和应变分析强度理论Chapter7AnalysisofStressandStrainStrengthTheories

§7-1应力状态概述(Conceptsofstress-state)

§7-2平面应力状态分析-解析法(Analysisofplanestress-state)§7-3平面应力状态分析-图解法(Analysisofplanestress-state)§7-4三向应力状态分析

(Analysisofthree-dimensionalstress-state)§7-6

广义胡克定律(GeneralizedHook’slaw)§7-7复杂应力状态的变形比能

(Strain-energydensityingeneral

stress-state)§7-8强度理论(Failurecriteria)§7-5平面应变状态分析

(Analysisofplanestrain-state)§7-9莫尔强度理论(Mohr’sfailurecriterion)

§7-1应力状态概述(Introductionofstress-state)一、应力状态的概念

(Conceptsofstresses-state)请看下面几段动画1.低碳钢和铸铁的拉伸实验（Atensiletestoflow-carbonsteelandcastiron）2.低碳钢和铸铁的扭转实验（Atorsionaltestoflow-carbonsteelandcastiron）低碳钢（low-carbonsteel）?塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁

（cast-iron）低碳钢和铸铁的拉伸?为什么脆性材料扭转时沿45°螺旋面断开？低碳钢和铸铁的扭转低碳钢（low-carbonsteel）铸铁（cast-iron）（1）拉中有剪,剪中有拉;（2）不仅横截面上存在应力,斜截面上也存在应力;

（3）同一面上不同点的应力各不相同;（4）同一点不同方向面上的应力也是各不相同3.重要结论（Importantconclusions）哪一点？

哪个方向面？应力哪一个面上？

哪一点？4.一点的应力状态（stateofstressesofagivenpoint）过一点不同方向面上应力的情况,称之为这一点的应力状态（stateofstressesofagivenpoint）,亦指该点的应力全貌.二、应力状态的研究方法（Themethodforinvestigatingthestateofstress）

1.单元体（Elementbody）（2）任意一对平行平面上的应力相等2.单元体特征（Elementcharacteristic）

3.主单元体（Principalbody）各侧面上切应力均为零的单元体（1）单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布3122314.主平面（Principalplane）切应力为零的截面

5.主应力（Principalstress）主面上的正应力

说明:一点处必定存在这样的一个单元体,三个相互垂直的面均为主平面,三个互相垂直的主应力分别记为1,2,3且规定按代数值大小的顺序来排列,即123

三、应力状态的分类（Theclassificationofstresses-state）1.空间应力状态（Triaxialstress-stateorthree-dimensionalstress-state）

三个主应力1,2,3

均不等于零2.平面应力状态（Biaxialstress-stateorplanestress-state）

三个主应力1,2,3中有两个不等于零3.单向应力状态（Uniaxialstress-stateor

simplestress-state）

三个主应力1,2,3中只有一个不等于零312231221111例题1画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.

54321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面S平面254321543211x1x1x2x222333alSF例题2画出如图所示梁危险截面危险点的应力状态单元体

xzy4321zy4321FSMzT12yxzzy4321FSMzTxzy43213例题3分析薄壁圆筒受内压时的应力状态pDyz薄壁圆筒的横截面面积pD′nn（1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为Fmmnn直径平面（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象p"yＯFNFNd平面应力状态的普遍形式如图所示.单元体上有x,xy

和y,yx§7-2平面应力状态分析-解析法（Analysisofplanestress-state）xxyzyxyyxxyxyyx一、斜截面上的应力（Stressesonanobliquesection）1.截面法（Sectionmethod）假想地沿斜截面e-f将单元体截开,留下左边部分的单体元eaf作为研究对象xyaxxyxxyefnefaxxyyxyαααnαxyaxxyxxyefn（1）由x轴转到外法线n,逆时针转向时为正（2）正应力仍规定拉应力为正（3）切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转为正2.符号的确定（Signconvention）efaxxyyxyαααnαt设斜截面的面积为dA,a-e的面积为dAcos,a-f

的面积为dAsinefaxxyyxyαααnαefaαdAdAsindAcos3.任意斜截面上的应力(Thestressactingonanyinclinedplane)

对研究对象列n和t方向的平衡方程得t化简贝以上焰两个离平衡迎方程井最后完得不难么看出即两相泥互垂直故面上的朱正应力装之和保锡持一个风常数二、岔最大案正应冬力及边方位（Ma种xi肆mu继m犁no狗rm笋al匆s淡tr汇es互s冒an野d司it伐’s兽d搜ir炕ec狐ti蚂on）1.最大香正应既力的婚方位（Th案edir退ect赖ion谊of吉ma插xim弄um侨nor绕mal斜st鸽res寒s）令0和0+9删0°确定止两个话互相旦垂直扭的平区面,一个仪是最罪大正肯应力盗所在括的平姑面,另一个躁是最小狼正应力例所在的虚平面.2.最大劈燕正应桥力（Max栋imu参mn哗orm夫al反str妖ess）将0和0+90腥°代入佩公式得到ma盟x和min(主应诞力）下面还魄必须进数一步判终断0是x与哪一成个主应敢力间的流夹角（1）当x>厌y时,0是x与max之间的虾夹角（2）当x<y时,0是x与min之间的活夹角（3）当x=y时,0=4愚5°演,主应断力的插方向高可由表单元箭体上霉切应哀力情顾况直薄观判钥断出惯来则确定聋主应力侦方向的脾具体规掌则如下若约只定|0|<4阳5°即0取值齿在±45姓°范围借内二、净最大默切应白力及绵方位(Max当imu娱ms先hea浊rin帅gs岩tre指ss遗and采it促’s林dir妥ect惧ion惹)1.最大切急应力的睬方位（Thedi殃re驶ct机io课n核of服m汗ax蹄im秘um况s唱he语ar中in慨gst慌re枣ss）令1和1+90°确定两遵个互相樱垂直的棍平面,一个炎是最顾大切狠应力她所在昼的平港面,另一案个是僵最小表切应痛力所亚在的富平面.2.最大距切应己力（Ma级xi果mu股m希sh俗ea次ri阿ng桥s准tr酸es淘s）将1和1+9诉0°代入公辩式得到max和mi窄n比较和可见例题4简支梁贡如图所唐示.已知m-m截面压上A点的弯衰曲正应冲力和切袋应力分延别为=-锐70MP杀a,=50MPa晕.确定A点的轨主应敲力及担主平梢面的穴方位.AmmalA解：把从A点处旬截取炭的单摊元体时放大苗如图因为x<布y，所以0=27楚.5色°与min对应xAA01313xyxy例题5图示单根元体,已知x=-4档0MPa,y=6起0MP薄a,xy=-50M带Pa.试求e-f截面恋上的交应力巩情况串及主垮应力位和主穿单元岁体的岔方位.n30°ef解:（1）求e-f截面轧上的钳应力（2）求主应症力和主萝单元体灯的方位因为x<y,所以0=芒-22仅.5盈°与mi迟n对应xyxy22.5°13解:（1）求切主平抱面方叮位因为x=y,且x>0例题6求平开面纯并剪切腥应力武状态怠的主逝应力防及主苍平面片方位.xy所以0=-45°与max对应45°（2）求昌主应领力1=,2=规0枯,3=-13§7-址3平面应咐力状态致分析-图解置法(An烂aly我sis豪of直pl移ane棒st窄res圆s-s田tat胃ew丹ithgra允phi委cal脱me德ans些)一、捐莫尔父圆（Mo隔hr工’s轿c通ir猪cl腰e）将斜截软面应力莫计算公馅式改写咽为把上面型两式等趋号两边纳平方,然后浪相加各便可辈消去,得因为x,y,xy皆为棋已知瘦量,所以勉上式啦是一去个以,为变量蝴的圆周东方程.当斜截忘面随方治位角变化韵时,其上的磨应力,在-直角谋坐标望系内昆的轨贩迹是纹一个保圆.1.圆心镰的坐换标（Co肺or芹di涌na须te德o杠f辫c勿ir坛cl蔽e子ce振nt选er）2.圆的半羡径（Ra深di谣us笑o射f栽ci逗rc棚le）此圆习手惯上称损为应力圆（pl份an先e颤st通re证ss怒c希ir饼cl印e）,或称努为莫尔圆（Moh狗r’s涝ci且rcl维e）（1）建-坐标系,选定比货例尺Ｏ二、应隙力圆作斩法（The痕me遵tho糊df砌or同dra合win姜ga绢st规res瓣sc粒irc末le）1.步骤（St浆ep氏s）xyxxyxxyyyDxyO（2）量炼取OA桂=枣xAD=疲xy得D点xyxxyxxyxAOB=体y（3）量取BD竖′=伶yx得D′点yByxD′（4）连苏接DD′两点的鼻直线与轴相交拣于C点（5）以C为圆梅心,CD为半桶径作伞圆,该圆捷就是践相应兄于该哀单元路体的眼应力坏圆C（1）该圆岗的圆心C点到胡坐标原现点的插距离为（2）该哄圆半熔径为DxyOxAyByxD′C2.证明(Pr立ove纸)三、应苹力圆的妨应用（App窜lic哈ati耻on搂of触str就ess腾-ci垒rcl躺e）1.求单元亦体上任充一截面上铲的应力（De封te月rm肃in史e绩th选e减st血re龟ss饿es埋o后n晨an痰y漫in寻cl棉in巩ed絮p杂la滤ne境b花y批us就in聋g驴st辛re粗ss垄-c脆ir闯cl挂e）从应力遥圆的半挖径CD按方罢位角的转向浮转动2得到半哭径CE.圆周上E点的坐砌标就依边次为斜枯截面上赢的正应荒力和切霜应力.DxyOxAyByxD′C20FE2xyaxxyxxyefn证明：（1）点面火之间的喊对应关窝系:单元体桌某一面再上的应令力,必对应质于应力塑圆上某携一点的涂坐标.说明AB（2）夹角酷关系:圆周从上任宽意两敏点所骨引半喘径的挤夹角赵等于司单元趴体上就对应奏两截校面夹胀角的端两倍.两者的拳转向一沃致.2OCBA2.求主骆应力疑数值善和主宪平面坑位置（De蔬te续rm标in盏e扁pr栋in贡ci虹pl相e冬st飞re盲ss龟a挽nd扫t饶he滚d督ir劲ec匠ti碗on麻o差f辰pr星in咐ci辅pl让e败pl弟an叨e万by趣u舌si工ng程s晌tr性es剪s积ci乱rc细le）（1）主应墨力数值A1和B1两点为窄与主平姓面对应阳的点,其横虏坐标咽为挡主应拢力1,212DxyOxAyByxD′C20FE2B1A120DxyOxAyByxD′C12A1B1（2）主椒平面舌方位由CD顺时针踏转20到CA1所以含单元片体上忍从x轴顺时富针转0（负值回）即到1对应的主平缸面的肠外法幼线0确定后,1对应荒的主平面蜜方位即舰确定3.求最赢大切芹应力（De趁te浩rm钥in皆ema找xi湾mu嚷m睬sh意ea吸ri浴ngstr绢ess诞b念yu虏sin示gs台tre茂ss盼cir弹cle）G1和G两点凭的纵旁坐标卵分别桂代表扮最大幻玉和最况小切肾应力20DxyOxAyByxD′C12A1B1G1G2因为最大、澡最小切厚应力等彩于应力驻圆的半希径O例题7从水坝蕉体内某执点处取素出的单让元体如灶图所示,x=-石1MP岁a,y=-碍0.雅4MP册a,xy=-墨0.栗2MP饱a,yx=0拉.2M枕Pa铅,（1）绘滋出相目应的篮应力速圆（2）确定字此单元旱体在=30亭°和=-4环0°两斜面勇上的应爽力.xyxy解:（1）画胡应力圆量取OA=x=吼-精1夜,AD=xy=-冤0.隔2,定出D点;ACBOB=y=勇-唱0犯.4和，BD′=yx=0奶.2摔,定出D′点.(-1,-0.2)DD′(-0.4,0.2)以DD′为直瘦径绘研出的促圆即练为应唉力圆.将半径CD逆时针牺转动2=6炎0°到半承径CE摧,惧E点的坐洞标就代性表=3谣0°斜截枣面上吊的应馅力。（2）确朝定=3编0°斜截系面上李的应派力E60°（3）确早定=允-肥40柔°斜截申面上责的应疯力将半径CD顺时握针转2=8烟0°到半径CF,蜓F点的坐掠标就代傅表=挥-刚40尽°斜截面胆上的应乖力.F80°AD′CBOD

30°40°

40°30°30°=-0.36MPa30°=-0.68MPa40°=-0.26MPa-40°=-0.95MPa例题8两端工简支求的焊舅接工东字钢芹梁及盼其荷壤载如艺图所野示,梁的灾横截蜂面尺颜寸示今于图讯中.试绘个出截刚面C上a,炉b两点骂处的暴应力炸圆,并用应而力圆求定出这两匪点处的顾主应力.12015152709zab250kN1.6m2mABC+200kN50kN+80kN·m解:（1）首恒先计捡算支射反力,并作出梁的用剪力基图和跳弯矩借图Mmax=MC=凯80kN·mFSma逃x=FC左=岛20遵0kN250KN1.6m2mABC12015152709zab（2）横截翼面C上a点的应街力为a点的品单元滥体如笨图所防示axxxyyx由x,xy定出D点由y,yx定出D′点以DD′为直径命作应力停圆OC（3）做应楼力圆x=122气.5M密Pa,xy=64影.6把MP况ay=0,xy=-64.火6MP围aAB(122.5,64.6)D(0,-64.6)D′A113A2A1,A2两点油的横考坐标匪分别劣代表a点的两灰个主应掘力1和3A1点对磨应于舌单元各体上1所在的穿主平面axxxyyx01312015152709zab（4）横琴截面C上b点的宿应力b点的迟单元鸡体如复图所坡示bxxb点的系三个燥主应搅力为1所在的旧主平面秒就是x平面,即梁的吉横截面Cbxx(136.5,0)D(0,0)D′1已知受力物况体内某集一点处谊三个主某应力1,2,3利用应力后圆确定该慰点的最秆大正应裙力和最隶大切应敌力.一、税空览间应牙力状阀态下蚁的最渐大正堤应力懂和最检大切吩应力(th龟em叫axi妈mum育no吸rma旬ls高tre狭ss具and耐sh悬ear胳st此res岛si置nthr窃ee-垄dim克ens介ion悉al减str于ess齐-st命ate哈)§7望-4三向收应力兔状态就分析（an舍al寸ys袋is防o趋f掌th暑re晶e-兼di麦me溜ns膀io戚na价l领st沟re休ss稼-s虹ta屈te）31223113首先副研究循与其喝中一户个主宰平面低（俗例如板主应祥力3所在颤的平与面）邪垂直栏的斜圾截面量上的坡应力122用截齿面法,沿求应兄力的截面将杀单元体耳截为两积部分,取左下露部分为辟研究对央象21主应警力3所在傍的两饿平面导上是咏一对麦自相相平衡执的力,因而该须斜面上佛的应力,与3无关,只由主腹应力1,2决定与3垂直认的斜潜截面誓上的喂应力咬可由1,2作出善的应沙力圆统上的编点来那表示123321该应力腔圆上的这点对应怪于与3垂直的购所有斜将截面上旦的应力A1O2B与主伐应力2所在主堵平面垂守直的斜弦截面上熄的应力,可用驱由1,3作出的浑应力圆摸上的点率来表示C3与主应秘力１所在主粘平面垂全直的斜夏截面上自的应力,可用弦由2,3作出的范应力圆切上的点蓄来表示该截面勉上应力和对应绳的D点必位么于上述聪三个应危力圆所纤围成的暑阴影内ab株c截面滚表示供与三秤个主报平面斜交上的任意隙斜截面abc12123A1O2BC3结论三个应涨力圆圆食周上的描点及由种它们围单成的阴腰影部分罚上的点绍的坐标妈代表了介空间应月力状态样下所有油截面上害的应力该点处换的最大细正应力酬（指代推数值）怕应等于扭最大应茧力圆上A点的垃横坐塘标1A1O2BC3最大椅切应挨力则椒等于馆最大匙的应滋力圆斩的半繁径最大英切应拥力所秩在的鸣截面责与2所在吧的主语平面领垂直,并与1和3所在堆的主进平面嘴成45给°角.例题9单元背体的劫应力桥如图微所示,作应力菠圆,并求帅出主疾应力同和最皇大切愿应力坊值及帅其作搜用面孔方位.解:该单元订体有一籍个已知向主应力因此豪与该瘦主平谱面正搁交的渣各截息面上士的应吸力与倾主应忌力z无关,依据x截面和y截面定上的挑应力敏画出筐应力奔圆.求另外秀两个主应拣力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa由x,xy定出D点由y,yx定出D′点以DD′为直径旱作应力厚圆A1,A2两点的狐横坐标爷分别代劲表另外区两个主群应力1和3A1A2D′ODC131=46M剩Pa3=-26侵MPa该单元扣体的三痕个主应磁力1=46门MP植a2=20M呈Pa3=-2肌6M电Pa根据上此述主应狮力，作来出三个殊应力圆§7-5平面胶应变红状态割分析(An挨aly挥sis缸of烛pl专ane升st扇rai森n-s厌tat猴e)平面应恰力状态迷下，已犬知一点否的应变柏分量x,y,xy，欲求方向悼上的信线应马变和切应贤变,可根酬据弹湿性小戴变形古的几爽何条咳件,分别找智出微单粗元体（选长方形土）由于论已知应摇变分量x,y,xy在此坏方向岭上引闸起的蛇线应递变及知切应获变,再利用那叠加原刚理.一、任酿意方向老的应变(The妖st诸rai沉no谜f钉any淡di逗rec碌tio漠n）在所研雷究的O点处,Oxy坐标爹系内惭的线酿应变x,y,xy为已知.求该点睛沿任意倾方向的淹线应变.yxO将Oxy坐标勿绕O点旋转痒一个角，殿得到落一个吩新Ox仰'y'坐标系.xyOy'x'并规进定角以逆挡时针转俱动时为纸正值，紧反之为奇负值.为O点沿x'方向的趴线变为直角x'Oy'的改胳变量,即切站应变.假设:（1）O点处难沿任箱意方斩向的悔微段内,应变闻是均沙匀的;（2）变班形在沸线弹唇性范炉围内谜都是微微小稍的,叠加很原理啄成立;分别计禽算x,y,xy单独弊存在题时的良线应撒变和切应肠变,然后款叠加鹿得这你些应杠变分员量同劣时存汉在时贿的和.1.推导聋线应渴变（De过ri堡ve顽t蜓helin鉴ear归st足rai件n）从O点沿x′方向取荷出一微市段OP=dx′,并以幻玉它作羡为矩误形OAP旦B的对圆角线.该矩形扫的两边摧长分别斥为dx和dyxyOy'x'PABdxdydx'（1）只四有正贪值x存在ABdxdyxyOy'x'P假设OB边不动,矩形OAP替B变形弄后成真为OA'P'BxdxD的伸长量为O点沿x'方向的馅线应变1为A'P'（2）只层有正拳值y存在ABdxdyxyOy'x'P假设OA边不动矩形OA医PB变形后臣为OA仗P"B'的伸长量为D'O点沿x'方向的盏线应变2为ydyP''B'（3）只有谢正值切泄应变xy存在ABdxdyxyOy'x'P使直巧角减笼小的为正假设OA边不趁动矩形OA羡PB变形串后为OA劝P"'B"P'''B''γxydyγxy的伸长为D''O点沿x′方向的垫线应变倾为根据木叠加泽原理,x,y和xy同时存抛在时,O点沿x´方向顿的线旷应变掀为2.切应变（She应ari吃ng拜str谦ess）以上义两式正利用姻三角可函数培化简寻得到二、主闯应变数威值及其蜓方位(T棍he钟p添ri苦nc完ip门al趴s吴tr忙ai垫ns茂a革nd击i念t’蒸s韵di禾re祸ct录io框n)一、各滤向同性庆材料的纸广义胡役克定律（Ge泥ne包ra粉li域ze座d税Ho晒ok浴e’贱s绪la性w咏fo胜r居is舟ot揪ro钓pi器c改ma露te墨ri针al彻s）（1）正池应力:拉应力泛为正,压应力泛为负1.符号规毙定(S局ig痰n留co喂nv悼en霜ti浇on扮)（2）切虾应力:对单元饱体内任预一点取别矩,若产生暑的矩为宫顺时针,则τ为正;反之为笨负（3）线吸应变:以伸长图为正,缩短为么负;（4）响切应盾变:使直逗角减千者为仪正,增大功者为纺负.xx§7-联6广义胡克定律(G杏en待er严al受iz咐ed立H播oo泛ke钟’s扶l让aw盛)yzyxyyxzyyx方向您的线背应变用叠双加原觉理,分别定计算哪出x,y,脂z分别础单独馋存在联时,x,y,z方向的康线应变x,y,z,然后代晒数相加.2.各向眼同性廉材料覆的广爷义胡拐克定孩律（Gen巩era骑liz氧ed曾Hoo播ke’打sl嫌aw手for泪is烫otr延opi其cm谣ate闲ria爷ls）单独存在时单独存在时

单独存在时xyyzzzxx在x,y,z同时该存在糊时,x方向窄的线近应变x为同理,在x,y,z同时惹存在队时,y签,寒z方向泪的线饱应变茧为在xy,yz,zx三个面约内的切疾应变为上式称往为广义胡树克定律（Gen稍era先liz纸ed或Hoo剖ke’睁sl垃aw）——沿x,y,z轴的线应变——在xy,yz,zx面上的角应变对于平面应配力状态（in霞p并la爹ne够s素tr扑es拌s-协st设at芽e）（假设z=0群,xz=0咱,yz=0）xyzxyxyyxxyxyyx3.主应力-主应变铲的关系（Pr误in贿ci白pa旅l纵st恰re僵ss犬-p故ri榜nc兔ip都al难s芽tr笔ai蜜n呢re冈la汗ti花on）二向应汽力状态宽下(in怀pl旬ane降st卧res称s-s救tat态e)设3=0已知1,2,3;1,2,3为主串应变二、衬各向旱同性凤材料申的体在积应诉变（The嘴vo扯lum泻etr兆ic竿str敞ainfo狮r封is授ot备ro跪pi闯c灰ma兄te赏ri妄al忍s）123a1a2a3构件刃每单辞位体顺积的粉体积害变化,称为体鸣积应变呼用q表示.各向滥同性句材料稻在三耳向应旧力状董态下慨的体意应变如图所幻玉示的单射元体,三个缝边长蓝为dx,dy,dz变形后单的边长技分别为变形后井单元体蓄的体积诱为dx(1+,dy(1蚂+2,dz(1+3V1=dx(1辆+·dy(1+2·dz(1+3体积绞应变（vol稿ume恩tri奋cs衔tra似in）为1.纯剪蓄切应之力状葵态下蒜的体席积应咳变（Vol侄ume悬tri免cs美tra吨in荡for煎pu养re夕she称ari累ng乓str帮ess破-st喝ate）即在小撒变形下,切应力御不引起精各向同漠性材料质的体积法改变.2.三向乓等值妨应力走单元屠体的幼体积姻应变（The喝vo颠lum茶etr涂ic将str衔ainoftri杜axi榴al-e筝qu根al侨s格tr浆es肠s太el唤em基en苏t框bo豪dy）三个主烦应力为单元菌体的盾体积惹应变mmm这两拐个单槐元体彼的体桐积应顺变相阅同mmm123dxdydz单元体欲的三个肆主应变额为如果诸变形猛前单示元体包的三涝个棱沃边成袜某种拴比例,由于三颜个棱边逗应变相咳同,则变浙形后齿的三史个棱贴边的焰长度干仍保隆持这替种比饿例.所以在叠三向等市值应力m的作用映下,单元体阶变形后译的形状种和变形沃前的相似,称这样枝的单元聚体是形苍状不路变的.在最一漫般的空膛间应力怪状态下篮，材料特的体积锤应变只断与三个聚线应变x,y,z有关,仿照上售述推导吗有在任意枯形式的塌应力状金态下,各向葛同性可材料炒内一溉点处初的体挖积应沾变与恒通过貌该点寇的任洁意三陪个相万互垂珍直的搬平面明上的摘正应睡力之佩和成拼正比,而与切岔应力无规关.例题10边长a=0反.1m的铜肺立方午块,无间介隙地店放入筛体积付较大,变形可斜略去不惑计的钢祥凹槽中,如图善所示.已知铜滥的弹性犹模量E=10命0GPa,泊松完比μ=0睁.3驰4,当受到F=3舟00kN的均稍布压勾力作胁用时,求该铅铜块骂的主浆应力,体积应膏变以及煮最大切悲应力.解:铜块脆横截册面上叠的压座应力aaaFzyxzxy铜块受握力如图构所示变形条说件为解得铜块的主应力笋为最大缝切应轻力体积班应变党为例题11一直五径d=20页mm的实辜心圆短轴,在轴的索的两端逃加扭矩Me=1按26进N·m.在轴的贞表面上早某一点A处用变酱形仪测贯出与轴库线成-45兼°方向把的应梢变=5.婶01越0-4,试求蔑此圆念轴材盏料的驾剪切醉弹性眉模量G.MeMeA45怠°x解:围绕A点取帮一单袄元体A13

-45°ADdyMeKx例题12壁厚d=1喂0m希m,外径D=60mm的薄壁颂圆筒,在表陆面上K点与其研轴线成45°和13额5°角,即x,抄y两方向蜂分别贴槽上应变充片,然后在耐圆筒两沿端作用舱矩为Me的扭找转力业偶,如图够所示,已知股圆筒睡材料垄的弹弟性常绳数为E=2巧00略GPa和m=丽0.煎3,若该饺圆筒殿的变蒸形在辩弹性功范围晴内,且max=1努00M举Pa,试求K点处琴的线漫应变x,y以及变并形后的戚筒壁厚玻度.解:从圆筒迷表面K点处取锁出单元吼体,其各面勇上的应唤力分量通如图所渗示可求如得DdyMeKx

-45°xyk13maxmaxKK点处躁的线礼应变x,y为（压肾应变鼠）（拉应型变）圆筒穴表面放上K点处沿腊径向照（z轴）的丧应变和探圆筒中牙任一点耍（该点朴到圆筒西横截面谎中心的松距离为）处辞的径灭向应遮变为因此,该圆筒埋变形后诉的厚度额并无变料化,仍然哈为d=1贤0m舒m掉.bhzb=5谜0m榨mh=1炊00砍mm例题13已知伐矩形蝇外伸侵梁受怪力F1,F2作用.弹性伯模量E=20森0GP肤a,泊松停比=0闹.3,F1=1早00低KN秃,F2=10大0KN吓.求:（1）A点处榨的主还应变1,2,3（2）A点处姥的线壁应变x,y,zaAF1F2F2l解:梁为完拉伸狐与弯生曲的棍组合芹变形.A点有枯拉伸亮引起押的正热应力攻和弯途曲引贩起的壮切应绣力.（拉伸）（负）Ax=20x=30（1）A点处的颤主应变1，2，3（2）A点处的春线应变x,y,z例题14简支梁宵由18号工字佩钢制成.其上歉作用纯有力F=绕15蹈kN忠,已知E=20伍0GP杏a,=0优.3.0.50.50.般25FA0°45°90°求：A点沿0°

,45°,90°方向的线应变h/4解:yA,Iz,d查表得侦出为图示面积对中性轴z的静矩zAh/4AA

=50.8A

=68.80.5F13500.50.25A0°45°90°h/4AA

=50.8A

=68.8§7-也7复杂应绍力状态朽的应变戚能密度(Str恋ain钻-en闸erg区yd湿ens阁ityin拣gen牙era兰ls泽tre钳ss-节sta僚te)一、应坝变能密宝度的定叉义(De渠fi惊ni战ti乱on卧o城fStr脏ain屈-en聚erg乘yd轻ens无ity)二、应调变能密尽度的计默算公式(Ca嫂lc鄙ul甚at什io迎n肚fo遇rm隙ul待a抄fo展rSt田ra葬in皂-e享ne婆rg股y六de鞭ns嚼it晓y)1.单向应酷力状态吨下,物体雄内所糕积蓄老的应费变能缎密度促为(St棵rai来n-e茄ner逝gy坏den缸sit女yf文or应sim亿ple徒st优res机s-s阀tat辫e)物体旅在单设位体耀积内咬所积系蓄的身应变陈能.将广义企胡克定宜律代入妇上式,经整理煎得用vd表示与警单元体够形状改笨变相应肾的那部片分应变撑能密度,称为畸变能朋密度（the田st嗓rai泻n-e文ner砍gy娘den独sit推yc仙orr延esp扑ond兰ing可to穿th咐ed博ist恐ort根ion馆.）用vV表示单涨元体体杜积改变碑相应的闹那部分絮应变能咐密度,称为体积改厨变能密受度（the印st亩rai奸n-e包ner这gy讨den辜sit包yco拘rr略es佩po贯nd狗in走g卫to滔t既hevo抬lu寺me舍tr错ic）2.三个主挡应力同赴时存在革时,单元筛体的棍应变猎能密筹度为(S席tr恳ai离n-宴en坛er若gy崇d肢en露si忠ty得f淋or记s鞠im竖pl古e盖st磨re锹ss呈-s姻ta迹te)应变能既密度vε等于趁两部桂分之视和(a)123(b)mmm=(1+2+3)/3代之以m图（a）所碰示单巧元体洞的三湿个主粘应力葡不相劳等,因而,变形后管既发生属体积改壮变也发牌生形状灭改变.图（b）所示昨单元体椒的三个到主应力具相等,因而,变形返后的得形状原与原批来的蓄形状帽相似,即只发秩生体积芦改变而俩无形状面改变.图b所示单好元体的移体积改扰变比能埋密度a单元骗体的数比能票为a所示熔单元宅体的舱体积难改变甘比能空间应影力状态品下单元杂体的畸变能能密总度(a)123一、强度理职论的概反念（Co优nc南ep搬ts嘱o滥f犁fa块il擦ur灯e运cr辨it薯er摧ia老)1.引言(i疮nt悔ro培du姓ct涨io至n)§7-8强度理厉论(Th惰ef靠ail框ure腾cr猫ite师ria味)轴向拉压弯曲剪切扭转弯曲

切应力强度条件（strengthconditionforshearstress）

正应力强度条件（strengthconditionfornormalstress）（2）材挥料的扮许用棋应力,是通过轮拉（压坟）试验纸或纯剪试验测册定试件在破花坏时其耽横截面拒上的极隐限应力,以此极掠限应力佳作为强条度指标,除以适普当的安卖全因数白而得,即根趋据相廊应的试验结益果建立班的强度芹条件.上述劝强度掩条件董具有赖如下看特点（1）危险锦点处于插单向应棵力状态砖或纯剪秆切应力哗状态;2.强度泼理论饿的概伶念(Co英nce坚pts秃fo候rf抬ail嘴ure泛cr玩ite战ria械)是关于童“构件院发生强纽奉度失效糊起因”缝的假说.基本幸观点构件受拴外力作柜用而发忘生破坏紫时,不论灿破坏骄的表府面现置象如棚何复鹿杂,其破坏季形式总勺不外乎慰几种类竞型,而同睛一类哈型的涉破坏胞则可旦能是袖某一岛个共啄同因志素所凉引起煌的.根据移材料象在复课杂应考力状递态下便破坏磁时的斥一些网现象祸与形符式,进行吹分析,提出破道坏原因抱的假说.在这屈些假怜说的燃基础穴上,可利她用材蒸料在锈单向古应力酸状态额时的试验遇结果,来建草立材搭料在复杂吊应力仿状态痛下的傲强度础条件.（1）脆公性断难裂:无明浓显的晴变形网下突铃然断钳裂.二、里材料蔽破坏两的两旧种类堤型（潜常温熊、静株载荷啄）(Tw蔽of夸ail际ure抖ty逐pes坏fo指rm黎ate段ria区ls劫in辰nor得mal状te溪mpe犁rat罩ureand田st骡ati造cl亡oad撞s)屈服失水效（Yi仙el湖di园ng赶f企ai友lu鸽re）材料出做现显著窗的塑性停变形而辣丧失其裂正常的你工作能跟力.2.断裂失雅效（Fra哨ctu镰re画fai宾lur姿e）（2）韧性脸断裂:产生大杏量塑性改变形后半断裂.引起括破坏的某纺一共乡丰同因素形状督改变比能最大妻切应柄力最大荡线应访变最大正隐应力2.马里次奥特沿关于伐变形陕过大纪引起蚁破坏饱的论琴述,是第缴二强慰度理创论的期萌芽;3.杜奎特（C.D览ugu吴et）提出了葡最大切蛛应力理娇论;4.麦克斯符威尔最有早提出公了最大浩畸变能澡理论,这是障后来瓦人们寸在他店的书螺信出摧版后料才知寄道的.三、四云个强度逐理论（Fou抱rf梦ail卖ure输cr筛ite粗ria）1.伽利略焦播下了重第一强鲜度理论提的种子;（1）第生一类强掌度理论—以脆断在作为破乳坏的标镰志包括:最大伤拉应英力理扬论和售最大械伸长果线应春变理闭论（2）第及二类滑强度居理论—以出现驻屈服现降象作为更破坏的滤标志包括:最大切商应力理呆论和形选状改变收比能理硬论根据:当作用准在构件贯上的外惰力过大撤时，其冈危险点你处的材竹料就会猾沿最大情拉应力焦所在截咬面发生织脆断破衫坏.1.最大庆拉应右力理司论（厦第一唤强度皂理论叙）（Ma湖xi宏mu语m-砌no妖rm图al豪-s深tr膊es劣s洞cr披it丑er收io兴n）基本假姻说:最大雷拉应晃力1是引掩起材煤料脆抱断破建坏的踏因素.脆断破惭坏的条哪件:1=b四、朽第一迅类强影度理讽论（Th匹e唤fi源rs胳t叛t宿yp羽es撤o攻f末fa拥il认ur立e础cr促it宣er吐ia）强度栗条件:1咐[2.最大伸向长线应纵变理论跳（第二飘强度理哪论）（Max写imu恼m-n此orm粪al-做str旧ain劈燕cr国ite允rio更n）根据:当作用杜在构件铸上的外臣力过大擦时,其危险扰点处的妻材料就揉会沿垂疾直于最良大伸长携线应变荐方向的根平面发愤生破坏.基本鉴假说:最大哗伸长殿线应晓变1是引起光材料脆龙断破坏芹的因素.脆断离破坏棚的条赠件:最大栋伸长舰线应个变:强度条告件:1.最大切颂应力理建论蛇（第三塞强度理臣论）（Ma厉xi庭mu紧m-逝sh尝ea约r-盒st咱re盛ss次c脸ri据te毙ri弃on）基本很假说:最大切乳应力max是引起烟材料屈巡寿服的因网素.根据:当作用早在构件捎上的外骑力过大探时，其血危险点度处的材鸦料就会玻沿最大腔切应力熊所在截拍面滑移斯而发生剧屈服失脊效.屈服恶条件五、第历二类强缘瑞度理论（The季se权con任dt堤ype认so颂ff扎ail荐ure吵cr话ite充rio雕n）在复杂畜应力状辛态下一悉点处的凤最大切见应力为强度神条件2.畸变吓能密浪度理顺论（谢第四栽强度麦理论欣）（Max后imu假m-d严ist豪ort的ion棕-en呈erg石yc稀rit抬eri据on）基本绒假说:畸变能彻密度vd是引遥起材槽料屈残服的伸因素.单向拉歼伸下,1=s,2=3=0,材料的括极限值强度条符件:屈服准俊则:六、东相当凑应力（Eq匪ui秆va县le里nt惊st顺re匪ss）把各种塞强度理佩论的强幕度条件爱写成统苹一形式r称为复跨杂应力乖状态的相当应樱力.莫尔惧认为:最大切概应力是竟使物体摩破坏的菌主要因受素,但滑摔移面河上的御摩擦困力也些不可陶忽略套（莫藏尔摩漂擦定芳律）.综合收最大椅切应鼻力及漏最大堪正应央力的农因素,莫尔得遍出了他第自己的臭强度理腾论.§7-钳9莫尔强功度理论（Mo圆hr危’s趁f庆ai刚lu陪re贸c亿ri灿te歇ri碍on）一、引言（In岁tr贿od球uc口ti镰on）二、莫川尔强度阻理论（Mo奖hr混’s芽f锻ai富lu弦re女c呢ri耻te刘ri嘉on）公式推番导MO2OO1O3FNTL[c][t]1M´L´T´代入强度条件任意抚一点枕的应插力圆职若与电极限注曲线相接触,则材映料即浩将屈框服或菜剪断.1.适用楼范围（The涛ap州pli翼anc蔑er中ang丧e）（2）塑性歪材料选欧用第三苦或第四贞强度理粥论;（3）在二抚向和三藏向等拉知应力时,无论是视塑性还烟是脆性笑都发生脆性破谨坏,故选用岔第一或喝第二强就度理论;三、势各必种强度理腿论的适用范吃围及其应诱用（The哲ap古pli缎anc雁er血ang玻ea陵nd告app艳lic丑ati浸on骂for仪al洞lf吐ail毕ure宽cr昌ite持ria）（1）一般证脆性材把料选用胃第一或拾第二强面度理论;（4）在秆二向数和三临向等朗压应付力状道态时,无论是驱塑性还折是脆性堂材料都发证生塑性嚷破坏,故选用震第三或稼第四强哨度理论.2.强度计苹算的步垄骤（St赏ep弯s脸ofstr答eng讲th芳ca