2022年福建省三明市南辛镇中学高三数学理模拟试卷含解析

2022年福建省三明市南辛镇中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI指数值0～5051～100101～150151～200201～300＞300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染

如图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势：下列叙述错误的是（

）A.这20天中AQI指数值的中位数略高于100B.这20天中的中度污染及以上的天数占C.该市10月的前半个月的空气质量越来越好D.总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好参考答案：C【分析】根据所给图象，结合中位数的定义、指数与污染程度的关系以及古典概型概率公式，对四个选项逐一判断即可.【详解】对，因为第10天与第11天指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确；对，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占，正确；对，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误；对，由图知，10月上旬大部分指数在100以下，10月中旬大部分指数在100以上，所以正确，故选C.【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.已知数列的通项公式，若或为数列的最小项，则实数的取值范围A．(3,

4)

B．[2,5]

C．[3,4]

D．[]参考答案：D3.已知R上的不间断函数

满足：①当时，恒成立；②对任意的都有。又函数

满足：对任意的，都有

成立，当时，。若关于的不等式

对恒成立，则的取值范围

A．

B．

C．

D．参考答案：A4.如图，从点发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点，再经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，则等于(

) A．

B．

C． D．参考答案：B5.已知，是互相垂直的两个单位向量，=+2，=4﹣2，则（）A．∥ B．⊥ C．||=2||| D．＜，＞=60°参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】经计算可知=0，从而两向量垂直．【解答】解：∵，是互相垂直的两个单位向量，∴=0，==1，∴==（+2）?（4﹣2）=4+6﹣42=0，．故选：B．6.已知平面和共面的两条不同的直线，下列命题是真命题的是（

）A．若与所成的角相等，则

B．若，，则

C.若，，则

D．若，，则参考答案：D7.设集合，，则A∪B=A.

(－1,0)

B.

(0,1)

C.

(－1,3)

D.(1,3)参考答案：C.故选C.8.用表示三个数中的最小值，设，则的最大值是（

）

A.

4

B.

5

C.

6

D.

7参考答案：C9.如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是(

)A．（） B．（1，2） C．（，1） D．（2，3）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间．【解答】解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，即有a=﹣1﹣b，从而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a＜0，由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，结合抛物线的对称轴得到：0＜﹣＜1，解得﹣2＜a＜0，∴g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；故选C．【点评】本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题．10.函数的值域为

(

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列的前项和，且满足，则正整数___.参考答案：812.正项等比数列{an}中，，则{an}的前9项和

．参考答案：26

13.双曲线的离心率为

.参考答案：【知识点】双曲线的几何性质解析：因为双曲线，所以，所以离心率，故答案为。【思路点拨】根据双曲线的标准方程，可得a，b，c，从而可求双曲线的离心率．

14.若函数恰有2个零点，则a的取值范围为

．参考答案：原问题等价于函数与函数恰有2个零点，当时，，则函数在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增，且：；当时，分类讨论：若，则，若，则，据此绘制函数图像如图所示，结合函数图像观察可得a的取值范围为.

15.若无穷数列(R)是等差数列，则其前10项的和为

．参考答案：10若等差数列公差为d，则，若d＞0，则当时，，若d＜0，则当时，，∴d＝0，可得，解得或（舍去），∴其前10项的和为10．16.在中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若，则的最小值等于.参考答案：因为，所以，即当且仅当时去等号。所以，所以的最小值等于.17.已知向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知函数，其导函数为。若函数在其定义域内为单调函数，求的取值范围；若且，已知，求证：；（3）在（2）的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由.参考答案：（1）（2）见解析【知识点】数列与不等式的综合；数列与函数的综合．D5

（1）。要使函数在定义域内为单调函数，则在内恒大于0或恒小于0，当时，在恒成立；当时，要使恒成立，则；当时，恒成立；所以的取值范围为。（2）根据题意得：f'（1）=0，即a+a﹣2=0，得a=1，∴，于是，用数学归纳法证明如下：当n=1时，a1=4≥2×1+2，不等式成立；假设当n=k时，不等式ak≥2k+2成立，即ak﹣2k≥2也成立，当n=k+1时，ak+1=ak（ak﹣2k）+1≥（2k+2）×2+1=4k+5＞2（k+1）+2，所以当n=k+1，不等式也成立，综上得对所有n∈N*时5，都有an≥2n+2．（3）由（2）得an=an﹣1（an﹣1﹣2n+2）+1≥an﹣1[2（n﹣1）+2﹣2n+2]+1=2an﹣1+1，于是an+1≥2（an﹣1+1）（n≥2），所以a2+1≥2（a1+1），a3+1≥2（a2+1）…an+1≥2（an﹣1+1），累乘得：，所以．【思路点拨】（1）根据函数单调性与导数的关系，f（x）在其定义域内为单调函数，在（0，+∞）内f′（x）恒大于0或恒小于0，转化为恒成立问题去解决．（2）根据导数的几何意义，f'（1）=0，求出a，确定f（x），f′（x）继而得出an+1的表达式，最后用数学归纳法证明．（3）在（2）的条件下，将各项适当放缩，能得出，再结合等比数列求和公式化简不等式左边，去与比较．19.崇庆中学高三年级某班班班主任近期对班上每位同学的成绩作相关分析时，得到周同学的某些成绩数据如下：

第一次考试第二次考试第三次考试第四次考试数学总分118119121122总分年级排名133127121119（1）求总分年级名次关于数学总分的线性回归方程=x+（必要时用分数表示）（2）若周同学想在下次的测试时考入年级前100名，预测该同学下次测试的数学成绩至少应考多少分（取整数，可四舍五入）．（参考公式）参考答案：【考点】线性回归方程．【分析】（1）由表中数据计算、，再求出回归系数，即可写出线性回归方程；（2）由线性回归方程，令≤100，求出x的值即可．【解答】解：（1）由表中数据，得=×（118+119+121+122）=120，=×（133+127+121+119）=125，∴==﹣3.4x∴=﹣=125﹣（﹣3.4）×120=543；∴y关于x的线性回归方程为=﹣3.4x+543；（2）由线性回归方程，令≤100，得﹣3.4x+543≤100，解得x≥130；故预测若想考入年级前100名，数学成绩至少应考130分．【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是综合题目．20.已知正数a、b、c满足，求证：参考答案：证明：要证只需证

…………3分即只要证

…………5分两边都是非负数，这就是已知条件，且以上各步都可逆，

…………10分

21.已知函数f（x）=ax﹣lnx．（1）过原点O作曲线y=f（x）的切线，求切点的横坐标；（2）对?x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2），求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）过原点O作曲线y=f（x）的切线，求出切线方程，即可求切点的横坐标；（2）对?x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2），化为ax2﹣ax﹣lnx≥0对?x∈[1，+∞）恒成立，分类讨论，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）设切点为（x0，ax0﹣lnx0），∴，直线的切线方程为y﹣（ax0﹣lnx0）=（a﹣）（x﹣x0），又切线过原点﹣ax0+lnx0=﹣ax0+1，所以lnx0=1，解得x0=e，所以切点的横坐标为e．（2）因为不等式ax﹣lnx≥a（2x﹣x2）对?x∈[1，+∞）恒成立，所以ax2﹣ax﹣lnx≥0对?x∈[1，+∞）恒成立．设g（x）=ax2﹣ax﹣lnx，g′（x）=2ax﹣a﹣．①当a≤0时，∵，∴g（x）在[1，+∞）上单调递减，即g（x）≤g（1）=0，∴a≤0不符合题意．②当a＞0时，．设，在[1，+∞）上单调递增，即a≥1．（i）当a≥1时，由h（x）≥0，得g'（x）≥0，∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，即g（x）≥g（1）=0，∴a≥1符合题意；（ii）当0＜a＜1时，∵a﹣1＜0，∴?x0∈[1，+∞）使得h（x0）=0，则g（x）在[1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴g（x0）＜g（1）=0，则0＜a＜1不合题意．综上所述，a≥1．22.设公比大于零的等比数列的前项和为，且，，数列的前项和为，满足，，．

（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围．参考答案：【知识点】等差数列与等比数列的综合．D2

D