【高中数学】直线与直线垂直课件 2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

知识回顾、引入新课问题1：空间两条直线有哪些位置关系？共面直线异面直线：平行直线：相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；在同一平面内，没有公共点；不同在任何一个平面内，没有公共点.创设情境、引入新课

与平行关系类似，垂直也是空间直线、平面之间的一种特殊位置关系，它在研究空间图形问题中具有重要的作用.类似平行关系的研究过程，本节将研究空间直线、平面之间的垂直关系，重点研究这些垂直关系的判定和性质．

第八章

立体几何初步8.6.1直线与直线垂直学习目标XUEXIMUBIAO1.理解两条异面直线所成角、两条异面直线互相垂直以及00角的概念，会求两条异面直线所成的角.2.通过对解题思路的剖析与解决，学会寻找求异面直线所成角的方法，体会转化思想,培养推理论证能力和空间想象能力.3．通过本节课的学习、提升学生直观想象和逻辑推理的核心素养.重点难点ZHONGDIANNANDIAN1、求两条异面直线所成的角的大小，证明两条异面直线互相垂直；(重点).2、两条异面直线所成角的构造.(难点).1研学引导PARTONE知识点一

异面直线所成的角问题2：如图8.6-1,在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C'与A'D'相对于直线AB的位置相同吗?如果不同，如何表示这种差异呢?abO

我们知道，平面内两条直线相交形成4个角,其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)，它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度.

类似地，我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系.知识点一

异面直线所成的角追问2.1：如图，已知两条异面直线a，b，哪一个角是异面直线a，b所成的角呢？

经过空间中任一点O分别作直线a'//a，b'//b，我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).知识点一

异面直线所成的角空间平面

利用定义，将两条异面直线所成的角，转化为同一平面内两条相交直线所成的角，这是研究异面直线所成的角时经常使用的方法，这种把立体图形的问题转化为平面图形问题来解决的思想方法很重要，同学们在学习过程中一定要认真体会！知识点一

异面直线所成的角

如图，正方体ABCD-A'B'C'D'中，求异面直线A'C'与AB所成的角的大小．

知识点一

异面直线所成的角

如图，正方体ABCD-A'B'C'D'中，求异面直线A'D'与AB所成的角的大小．

小结：通过上述探究可知，异面直线A'C'与AB所成的角为45°，异面直线A'D'与AB所成的角为90°，这说明直线A'C'与A'D'相对于直线AB的倾斜程度不同，直线A'D'相对于直线AB的倾斜程度更大一些，所以异面直线所成的角可以刻画两条异面直线中一条直线相对于另一条直线的倾斜程度．知识点一

异面直线所成的角

如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a⊥b.

当两条直线a，b相互平行时，我们规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.空间两条异面直线a，b所成角α的取值范围是知识点一

异面直线所成的角追问2.2：直线a、b所成角的大小与点O的位置有关吗?无关2例题精讲PARTTWO例1(教材P147例1)如图8.6-3，已知正方体ABCD-A'B'C'D'.(1)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？

(2)求直线BA'与CC'所成角的大小.

(3)求直线BA'与AC所成角的大小.例1

(教材P147例1)如图8.6-3，已知正方体ABCD-A'B'C'D'.(1)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？解析：正方体共有12条棱，显然下底面的4条棱所在的直线都与直线AA'垂直，同样，上底面的4条棱所在的直线也都与直线AA'垂直，而正方体的侧棱BB'，CC'，DD'所在的直线都与直线AA'平行．因此棱AB，BC，CD，DA，A'B'，B'C'，C'D'，D'A'所在的直线与直线AA'垂直．例1(教材P147例1)如图8.6-3，已知正方体ABCD-A'B'C'D'.(2)求直线BA'与CC'所成角的大小.分析：要求直线BA'与CC'所成的角的大小，首先要把两条直线平移到相交的位置，可以平移直线BA'或CC'，因为ABCD-A'B'C'D'是正方体，所以BB'//CC'，因此平移直线CC'较好．解：∵ABCD-A'B'C'D'是正方体，∴BB'//CC'．∴∠A'BB'为直线BA'与CC'所成的角．∵∠A'BB'=45°，∴直线BA'与CC'所成的角等于45°．例1(教材P147例1)如图8.6-3，已知正方体ABCD-A'B'C'D'.

(3)求直线BA'与AC所成角的大小.分析：要构造直线BA'与AC所成的角，可以将直线BA'平移到直线CD'位置或将直线AC平移到直线A'C'位置，不妨将直线AC平移到直线A'C'的位置．那么∠BA'C'即为所求角，要求∠BA'C'的大小，需把它放进三角形中，所以连接BC'即可．例1(教材P147例1)如图8.6-3，已知正方体ABCD-A'B'C'D'.(3)求直线BA'与AC所成角的大小.解：如图，连接A'C'．∵ABCD-A'B'C'D'是正方体，∴AA'//CC'，且AA'=CC'．∴四边形AA'C'C是平行四边形．∴AC//A'C'．∴∠BA'C'为异面直线BA'与AC所成的角．连接BC'，易知△A'BC'是等边三角形．∴∠BA'C'=60°．∴异面直线BA'与AC所成的角等于60°．本题是异面直线所成角的概念的巩固和应用．其中第（1）问是利用异面直线所成角的定义，直观判断直线的垂直关系．通过第（1）问我们可以认识到，在空间中垂直于同一条直线的两条直线未必平行，比如，直线AB与AD都垂直于直线AA'，但它们却不平行．这说明在同一平面内成立的结论，不一定能推广到空间中来．小结与反思第（2）问和第（3）问是对异面直线所成角的定义的巩固应用，解答这样问题的关键是构造出异面直线所成的角，在构造时，可以平移两条直线，也可以平移其中一条直线．构造出角后，在求角时，一般情况要把角放在三角形中进行求解，总之，同学们要通过观察，先思考，后落笔．小结与反思小结与反思

用几何法求异面直线所成角的步骤:（1）一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角.（2）二证：证明作出的角是异面直线所成的角.（3）三求：解三角形，求出所作的角.若求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.例2

(教材P147例2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD．分析：AO1⊥BD要证AO1与BD所成角是直角如何构造AO1与BD所成的角？例2

(教材P147例2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD．证法一：如图，连接B1D1．∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴BB1//DD1，且BB1=DD1．∴四边形BB1D1D是平行四边形．∴B1D1//BD．∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角．

连接AB1，AD1，易证AB1=AD1．∵O1为底面A1B1C1D1的中心，∴O1为B1D1的中点．∴AO1⊥B1D1．∴AO1⊥BD．例2

(教材P147例2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD．连接AB1，AD1，易证AB1=AD1．∵O1为底面A1B1C1D1的中心，∴O1为B1D1的中点．∴AO1⊥B1D1．∴AO1⊥BD．CC1D1BAB1A1OO1D证法二：取BD的中点O，连接AO，C1O，C1O1．∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，易证四边形AA1C1C是平行四边形．∴

AC//A1C1，且AC=A1C1．又O，O1分别是AC和A1C1的中点．∴AO//O1C1，且AO=O1C1．∴四边形AOC1O1是平行四边形．∴AO1//C1O．∴直线C1O与BD所成的角即为直线AO1与BD所成的角．例2

(教材P147例2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD．连接AB1，AD1，易证AB1=AD1．∵O1为底面A1B1C1D1的中心，∴O1为B1D1的中点．∴AO1⊥B1D1．∴AO1⊥BD．CC1D1BAB1A1OO1D证法二：取BD的中点O，连接AO，C1O，C1O1．∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，易证四边形AA1C1C是平行四边形．∴

AC//A1C1，且AC=A1C1．又O，O1分别是AC和A1C1的中点．∴AO//O1C1，且AO=O1C1．∴四边形AOC1O1是平行四边形．∴AO1//C1O．∴直线C1O与BD所成的角即为直线AO1与BD所成的角．例2

(教材P147例2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD．连接AB1，AD1，易证AB1=AD1．∵O1为底面A1B1C1D1的中心，∴O1为B1D1的中点．∴AO1⊥B1D1．∴AO1⊥BD．CC1D1BAB1A1OO1D连接C1B，C1D，易证C1B=C1D．∵O为BD的中点，∴C1O⊥BD．∴AO1⊥BD．追问：刚才我们用两种方法证明了这道例题，选择的策略不同，证明过程的差异较大，但这两种方法在证明垂直时都是运用了几何特征来证明的，运用的是等腰三角形的三线合一的特征．那么现在我想问同学们一个问题，你能否从代数运算的角度来证明这个问题呢？分析：要证明异面直线AO1⊥BD，由证法一可知，只需证明直线AO1⊥B1D1，也就是证明∠AO1B1=90°．如果我们能求出AO1，O1B1，AB1这三条边的长度，并且它们的长度是一组勾股数，即满足

，就能说明∠AO1B1=90°．证法三：如图，连接B1D1．∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴BB1//DD1，且BB1=DD1．∴四边形BB1D1D是平行四边形．∴B1D1//BD．∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角．连接AB1，不妨设正方体的棱长为2．∵在Rt△ABB1中，AB=BB1=2，∴．同理可证．∴．取BD的中点O，连接O1O和AO．∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴易知OO1=2，．