中考数学必会几何模型角平分线四大模型

角分四模模1角分的向边垂如图，是MON平分线上一点，过点P作PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，则PB＝模型分析利用角平分线的性质平线的点到角两边的距离相等造模型边相等相、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口模型实例（1如图①，eq\o\ac(△,在)ABC中∠C＝90°，AD平∠，BC6,BD＝那么点到线距离是解答：如图，过点D作DE点，∵平分∠CAB,∴CDDE.∵＝6,BD4,DE＝＝，即点D到线AB距离是2.（2如图②，∠1∠，∠3＝∠4，求证平BAC证明：如图，过点作PD于，PE⊥于PF⊥于F，∵∠＝∠，∴＝PE,∵∠3＝∴PEPF∴PD＝又∵⊥AB，PF⊥AC，∴平BAC角平分线的判定）练1

1如，在四边形ABCD中＞ABAD＝分∠，求证：＋∠＝180°证明：作⊥BC于E，作⊥的延长线于，∴∠F＝∠＝∵分∠ABC,DF，又∵＝DC，∴△DFA≌∴∠FAD＝∠∵∠FAD∠＝，∠BAD∠＝180°如图eq\o\ac(△,)ABC的外角∠ACD∠的平分线CP内角ABC的平分线相于点P，若∠BPC，则∠＝解答：如图所示，作PN⊥BD于N作PF⊥，交BA延长线于，PM⊥于M∵、CP分是CBA和∠的平线，∴ABP＝∠∠＝ACPPF＝PNPM，∵∠BAC∠－，∠BPC＝∠－外角性)∴∠BAC∠－∠PBC∠－＝∠＝∴∠CAF＝180°－∠BAC＝，∵PF＝∴AP是∠的平分线，∴＝＝模2截构造称等如图，是∠MON的平分线上的一点，点A是线OM上意一点，在ON上取OBOA,接，eq\o\ac(△,)≌△OPA模型分析利用角平分线图形的对称性在的两边构造对称全等三角形可以得到对应边对应角相等，利用对称性把些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧2

模型实例（1如图①所示，eq\o\ac(△,)ABC中AD是BAC的角平分线是上于点A的意一点，试比较PB＋与AB＋的小，并说明理由解题：＞证明：在的长线上取点使AE＝连接PE∵平分∠CAE∴∠＝，eq\o\ac(△,)AEPeq\o\ac(△,)ACP中AE＝AB∠＝∠EAD,AP＝AP，∴△AEP△ACP（SAS，＝PC∵eq\o\ac(△,)PBE：＞＝＝AB+AC＞AB+AC（2如图②所示，eq\o\ac(△,)的内角平分线，其它条件不变，试比较－与AC大小，并说明理由解答：AC-AB>PC-PB证明:eq\o\ac(△,)ABC中,在上一点E,使，∴AC-AE=AB-AC=BE∵AD分∠BAC，∠∠，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)中∴△AEP≌ABP(SAS)，∴，∵eq\o\ac(△,)CPE中CE>CP-PE，练已，eq\o\ac(△,)ABC中，∠A∠B,CD是ACB的分线AC16,AD＝求线段BC的长解：如图在BC边截取＝，连结DEeq\o\ac(△,)ACDeq\o\ac(△,)ECD中ECCDCD3

∴△≌∴ADDE，∠A＝∠，∠A＝2B，∴∠1＝2B，∵∠＝∠B＋∠EDB，∴∠B∠EDB∴EBBED，∴EB＝DA＝8，＝ECBEACDA＝168＝24在ABC中AB＝AC,∠A108°,BD平∠ABC求证：BCAB＋证明：在BC上取＝BA，连结DE，∵分∠ABC,BE＝＝BD∴△ABD△EBD(SAS)，∠DEB＝A＝108°∴∠DEC＝－108°＝∵AB＝AC∴C＝∠＝－＝36°∴∠EDC＝，∴∠＝，CE，∴BE＋＝AB＋CD＝＋如图所，eq\o\ac(△,)ABC中，A＝∠ABC是∠ABC的平分线，延长BD至，使DE＝AD求证BCAB＋CE证明：在CB上点，使得BF＝AB,连结DF∵BD分，＝BD∴△ABD△FBD∴DFAD＝∠ADB＝∠FDB，∴BD平∠∴∠ABD20°,∠ADB－－100°＝＝∠∠＝180°－∠－∠＝60°，∴∠CDF∠，eq\o\ac(△,)CDEeq\o\ac(△,)中DF∴△≌，∴＝，∴BCBF＋＝ABCE模角分+垂构等三形如图P是MON的平分线上一点丄OP于点延长交ON点.eq\o\ac(△,)是等腰三角形.4

模分构造此模型可以利用等腰三角形"三线合一以到两个全等的直角三角进而得到对应边对应角相等.个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起.模实如图己知等腰直角三角形ABC中∠AB=AC,BD平∠ABC,丄BD.足为E.求证：BD=2C£.解答：如图，延长CE交于点∵丄BD于∠，∴∠∠CED.∠又∵AB=AC,∠BAD=CAF=90°,△ACF.BD=CF.∵BD平∠ABC,∴∠∠又∴≌△BFE.∴练如图eq\o\ac(△,)ABC中.BE是平分线.AD丄垂足为D.证：2=∠1+∠证明：延长AD于∵⊥BE,∴∠∠∵∠ABD=FBD,∴∠2=∠BFD.∵∠BFD=∠1+∠C,∴∠∠1+C.如图eq\o\ac(△,)ABC中.∠∠C,AD是BAC的分丄AD点求证

BE

ACAB

证明:长交AC于∵AD为∠的角平分线,∠BAD=∠∵AE=AE,∴∠BAE=∠FAE,eq\o\ac(△,)AEB≌△，∴AB=AF,2=∠3.AC-AB=AC-AF=FC.∵∠∠∴∠1=∠∠1=1+∠∠1=3∠∴2∠∠即∠∠C∴BF=FO=2BE.

BE

FCACAB

5

模角分平行线模分有角平分线常过角平分线上一点作角一边的平行.构等腰三角形为证明结论提供更多的条件.现了用平分线与等腰三角形之间的密切关.模实解答下列问题：如图①△中EFBC,点D在上BD、分别分、∠ACB.写出线段EF与、什么数量关系？如图②BD平分ABC,CD平外角∠DE//BCAB于点AC于F，线段EF与、什么数量关系？并说明理如图③BDCD为外角CBM、的分线DE//BCAB延线于点E.交AC延长线于点直接写出线段BE、有么数关系？解答(1)EF//BC,EDB=∠∴BD平∠EBCEBD=∠DBC=EDB.∴EB=ED.同理：∴6

图②中有EF=BE=CF，BD平∠BAC,∴∠ABD=∠又、∴EDB=DBC.∴同理可证CF=DF∴EF=BE+CF.练如图eq\o\ac(△,)ABC中ABC和ACB的分交于点E.过点E作∥BC交于M点交AC于N.若BM+CN=9，则线段MN的为解答：∵∠ABC、ACB的分线相交于点E,∴∠EBC∠∠ECB.∵MN//BC,∴∠∠∠NEC=ECB.∴MBE-∠∠ECN.∴BM=ME,∴MN=ME+EN,MN=BM+CN.∵BM+CN=9,∴MN=9.如.eq\o\ac(△,)ABC中AD平分BAC.点EF分在BDAD上∥AB.且求证：EF=AC.证明：如图，过点C作CM交AD的长线于点∵AB∴CM∴∠∵DE=CD